聚焦空間幾何體的最值問題

■王先陽

空間幾何體主要研究空間中點、線、面之間的位置關系,與空間圖形有關的線段、角、面積、體積等最值問題是高考的常考點。此類問題涉及知識面廣,靈活性較大,解題時需要較強的空間想象能力和思維能力。

一、線段問題

例1 如圖1,在棱長為2 的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點,點P在線段D1E上,則點P到直線CC1的距離的最小值為( )。

圖1

二、角度問題

三、面積問題

例3 如圖2,在棱長為1 的正方體ABCD-A1B1C1D1中,若G,E分別是BB1,C1D1的中點,點F是正方形ADD1A1的中心,則四邊形BGEF在正方體側面及底面共6個面內的射影圖形面積的最大值是____。

圖2

評注：解答本題的關鍵是找到四邊形BGEF的四個頂點在各個側面上的投影點的位置,再根據正方體的性質計算其射影圖形面積。需要注意的是正方體有6個面,共有6種情況。

四、體積問題

例4 我國古代的數學名著《九章算術》中有這樣一些數學用語,“塹堵”意指底面為直角三角形,且側棱垂直于底面的三棱柱,而“陽馬”指底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐。現有一如圖3 所示的“塹堵”,即三棱柱ABC-A1B1C1,其中AC⊥BC,若AA1=AB=1,當“陽馬”(四棱錐B-A1ACC1)體積最大時,“塹堵”(三棱柱ABC-A1B1C1)的表面積為( )。

圖3

已知直三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長為6,且底面是邊長為2的正三角形,用一平面截此棱柱,與側棱AA1,BB1,CC1分別交于三點M,N,Q,若△MNQ為直角三角形,則該直角三角形斜邊長的最小值為( )。

A.2 2 B.3 C.2 3 D.4

提示：如圖4 所示,不妨設點N在點B處,AM=h,CQ=m。

圖4