小議折疊問題

■姚 潔

平面圖形的折疊問題是高考的常考題型,解答這類問題的關鍵是要分清折疊前后圖形(折疊前的平面圖形和折疊后的空間圖形)的各元素間的位置關系和數量關系。

一、折疊成四面體求體積

例1 將長、寬分別為4 和3 的長方形ABCD沿對角線AC折成二面角,得到四面體A-BCD,則四面體A-BCD的外接球的體積為____。

評注：求球的體積的關鍵是根據已知條件以及圖形的性質找到球心,確定球的半徑。

二、折疊成正方體,求異面直線所成的角

例2 一個正方體的展開圖如圖1 示,A,B,C,D為原正方體的頂點,則在原來的正方體中,AB與CD所成的角為( )。

圖1

A.30° B.45°

C.60° D.90°

解：把展開圖中的各正方形按圖2 所示的方式分別作為正方體的前、后、左、右、上、下面還原,得到圖3所示的直觀圖。

圖2

圖3

在圖3 中,因為BE//CD,所以∠ABE就是AB與CD所成的角。因為△ABE為等邊三角形,所以∠ABE=60°。應選C。

評注：判斷異面直線的兩種方法:判定定理法,平面外一點與平面內一點的連線和平面內不經過該點的直線是異面直線;反證法,證明兩直線不可能平行、相交或證明兩直線不可能共面,從而可得兩直線異面。

三、折疊成四棱錐,證明面面平行

例3 如圖4,矩形ABCD中,E為邊AB的中點,將△ADE沿直線DE翻轉成△A1DE。若M為線段A1C的中點,N為DC的中點,則在△ADE翻轉過程中,平面A1DE與平面MNB的位置關系是( )。

圖4

A.垂直 B.相交不垂直

C.平行 D.無法確定

解：因為M為線段A1C的中點,N為DC的中點,所以MN//A1D。因為MN?平面A1DE,A1D?平面A1DE,所以MN//平面A1DE。同理可得,NB//平面A1DE。

又因為MN∩NB=N,所以平面MNB//平面A1DE。應選C。

評注：證明面面平行的五種常用方法:利用面面平行的定義;利用面面平行的判定定理,如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行;利用垂直于同一條直線的兩個平面平行;兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行;利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉化。

四、折疊成三棱錐,證明線面垂直

例4 如圖5,在正方形SG1G2G3中,E,F分別是G1G2,G2G3的中點,D是EF的中點,現沿SE,SF及EF把這個正方形折成一個幾何體,使G1,G2,G3三點重合于點G。現給出下列五個結論:①SG⊥平面EFG;②SD⊥平面EFG;③GF⊥平面SEF;④EF⊥平面GSD;⑤GD⊥平面SEF。

圖5

其中正確的結論是( )。

A.①③ B.②⑤ C.①④ D.②④

解：因為在折疊過程中,始終有SG1⊥G1E,SG3⊥G3F,所以SG⊥GE,SG⊥GF,可得SG⊥平面EFG,①正確,②錯誤。因為SG⊥GF,SG⊥GD,所以GF不垂直于SF,GD不垂直于SD,即GF不垂直于平面SEF,GD不垂直于平面SEF,③⑤錯誤。因為EF⊥GD,EF⊥SG,GD∩SG=G,所以EF⊥平面GSD,④正確。應選C。

評注：證明線面垂直的三種常用方法:利用線面垂直的定義,直線a與平面α內的任何直線都垂直,則a⊥α;判定定理1,m,n?α,m∩n=A,l⊥m,l⊥n?l⊥α;判定定理2,若a//b,a⊥α,則b⊥α。

五、折疊成四棱錐,求直線與平面所成角

例5 如圖6,在平面五邊形EABCD中,已知BCDE是邊長為4 的正方形,△ABE是正三角形。

圖6

把△ABE沿BE折起得到四棱錐A-BCDE,使得點A在平面BCDE上的投影是正方形BCDE的中心(如圖7),則AB與平面BCDE所成角的正切值是____。

圖7

解：依題意可知,把△ABE沿BE折起,使得點A在平面BCDE上的投影是正方形BCDE的中心,則得到的四棱錐A-BCDE是正四棱錐。

評注：求直線與平面所成角就是求直線與平面的射影所成的角,一般需要把直線與平面所成的角轉化到一個三角形中進行求解。

如圖8,已知PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,E,F分別是AB,PD的中點。

圖8

求證:AF//平面PCE。