例說與球有關的切、接問題

■譚先美

與球有關的切、接問題是高考命題的熱點,也是同學們學習的難點。為了更好地學好這部分內容,下面歸納幾種常見題型,供同學們學習與參考。

一、錐體的外接球問題

例1 已知正四面體ABCD的棱長為2,E,F,G分別為AB,BC,CD的中點,則正四面體ABCD的外接球被平面EFG所截的截面面積是( )。

解：將正四面體ABCD放入正方體中,如圖1所示。

圖1

因為E,G分別為AB,CD的中點,所以E,G分別為左右側面的中心,所以正方體的外接球即為正四面體的外接球,其球心為線段EG的中點,所以正四面體ABCD的外接球被平面EFG所截的截面即為大圓。

二、柱體的外接球問題

例2 已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2 的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為( )。

評注：所有圓柱都有外接球,其球心是上下兩底面圓的圓心連線的中點。

三、臺體的外接球問題

圖2

四、錐體的內切球問題

解：如圖3,過點P作PD⊥平面ABC于點D,AD的延長線交BC于點E。

圖3

在正三棱錐P-ABC中,因為△ABC是正三角形,所以AE是BC邊上的高和中線,D為△ABC的中心,PD為正三棱錐的高,內切球的球心O在正三棱錐的高上。

五、柱體的內切球問題

圖4