一題多變，提高思維能力

■胡 彬

平行關系是立體幾何中點、直線、平面位置關系的重點,是歷年高考繞不開的一個考點,所以同學們要高度重視,還要全面掌握。下面通過一題多變方式的訓練,進一步拓展同學們的思維,從不同角度加深對平行關系問題的認識。

題目 如圖1 所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,點D,D1分別為AC,A1C1上的中點。

圖1

(1)證明:AD1//平面BDC1。

(2)證明:BD//平面AB1D1。

思路分析：本題的兩問都是證明線面平行,證明線面平行有一種非常重要的轉換思想,就是把線面平行轉換為面面平行。本題的兩問都可以通過這種方式來證明。當然,最直接的方法就是證明直線與平面內的一條直線平行。

證明：(1)由D1,D分別為A1C1與AC的中點,四邊形ACC1A1為平行四邊形,可得C1D1//DA,且C1D1=DA,所以四邊形ADC1D1是平行四邊形,所以AD1//C1D。

又AD1?平面BDC1,C1D?平面BDC1,所以AD1//平面BDC1。

(2)由BB1//平面ACC1A1,BB1?平面BB1D1D,平面ACC1A1∩平面BB1D1D=D1D,可得BB1//D1D。

因為D1,D分別為A1C1,AC的中點,所以BB1=DD1,所以四邊形BDD1B1為平行四邊形,可得BD//B1D1。

又BD?平面AB1D1,B1D1?平面AB1D1,所以BD//平面AB1D1。

證明直線與平面平行,一般有三種方法:利用定義直接判斷,一般用反證法;利用判定定理證明,關鍵是在平面內尋找一條直線與已知直線平行;利用兩平面平行的性質,即兩平面平行,其中一個平面內的任意直線都平行于另一個平面。

圖2

由棱柱的性質知四邊形A1ABB1為平行四邊形,可得O為A1B的中點。

在△A1BC1中,點O,D1分別為A1B,A1C1的中點,所以OD1//BC1。又OD1?平面AB1D1,BC1?平面AB1D1,所以BC//平面AB1D1。

由于棱柱的側面都是平行四邊形,側面的對角線相互平分,于是取A1C1的中點,就可得到平面AB1D1內的直線與BC1平行。

圖3

面面平行的一個重要性質:兩個平行平面與第三個平面相交,則交線平行。由此性質可確定兩條平行直線,從而得到相應線段的比例關系。