立體幾何初步核心考點綜合演練

■歐陽亮 程 波

一、選擇題

1.下面關于空間幾何體的定義或結構特征敘述錯誤的是( )。

A.空間中把一個平行四邊形按某一方向平移所形成的幾何體是四棱柱

B.有兩個側面都是矩形的三棱柱,它的側棱垂直于底面

C.以直角三角形一直角邊所在的直線為旋轉軸,其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐

D.底面是正多邊形的棱錐的頂點在底面的射影一定是底面正多邊形的中心

2.設平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,且正方體的棱AB,CC1,A1D1在平面α上的射影相等,那么滿足條件的平面α的個數為( )。

A.3 B.4

C.5 D.6

3.設m,n為兩條不同的直線,α,β為兩個不同的平面,給出下列四個命題:

①若m//α,m//n,則n//α;②若m⊥α,m//β,則α⊥β;③若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,則m⊥β;④若m//n,α//β,則m與α所成的角和n與β所成的角相等。

其中正確命題的序號是( )。

A.①② B.①④

C.②③ D.②④

4.(多選題)如圖1,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,將△ABD沿對角線BD翻折到△PBD位置,連接PC(如圖2)。在翻折過程中,下列說法正確的是( )。

圖1

圖2

A.PC與平面BCD所成的最大角為45°

B.存在某個位置,使得PB⊥CD

圖3

二、填空題

圖4

三、解答題

圖5

(1)求證:PD⊥平面ABCD.

(2)求證:平面PAC⊥平面PBD。

(3)求二面角P-BC-D的平面角的大小。

圖6

圖7

圖8

一、選擇題

1.提示:由四棱柱的定義知,A 正確。由直線與平面垂直的判定定理知,得到這兩個側面的交線垂直于底面,B 正確。由圓錐的定義知,C 正確。底面是正多邊形的棱錐的頂點在底面的射影不一定是底面正多邊形的中心,D 錯誤。應選D。

2.提示:棱AB,CC1,A1D1在平面α上的射影相等,即棱AB,AA1,AD與平面α所成的角相等。若三條棱在平面α的同側,這樣的平面有1 個;若其中一條和另外兩條分別在平面α的異側,這樣的平面α有3 個。故滿足條件的平面α的個數為4。應選B。

3.提示:若m//α,m//n,則n//α或n?α,①不正確。若m//β,則β內必存在一條直線m＇//m,因為m⊥α,所以m＇⊥α。又m＇?β,所以α⊥β,②正確。若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,則m?β或m//β或m與β相交,③不正確。若m//n,α//β,則m與α所成的角和n與β所成的角相等,④正確。應選D。

4.提示:對于A,取BD的中點O(作法略),因為四邊形ABCD是菱形,O是線段BD的中點,所以OP⊥BD,OC⊥BD,所以BD⊥平面POC。因為BD?平面BCD,所以POC⊥平面BCD。因為平面POC∩平面BCD=OC,所以PC在平面BCD的射影為OC,則∠PCO是PC與平面BCD所成的角。由PO=OC,可知△POC是等腰三角形,當∠POC=60°時,PC與平面BCD所成角為60°,A 錯誤。對于B,當PD=PC時,取CD的中點N,可得CD⊥PN,CD⊥BN,所以CD⊥平面PBN,PB⊥CD,B 正確。對于C,因為四邊形ABCD是菱形,O是線段BD的中點,所以PO⊥BD,CO⊥BD。因為BD是平面PBD與平面CBD的交線,所以∠POC是平面PBD與平面CBD所成的角。因為二面角P-BD-C的大小為90°,所以∠POC=90°。易得PO=OC= 3,所以PC= 6,C正確。對于D,易得BN= 3,若點B到平面PDC的距離為3,則BN⊥平面PCD。因為BP=2,BN= 3,所以PN=1,ND=1,所以PD= 2≠2,顯然不可能,D錯誤。應選B,C。