2021 年高考“空間幾何體”問題聚焦

■向洪標

下面以2021年高考題為載體,探究空間幾何體中經典問題的類型以及求解的思維方法,希望對同學們的學習有所幫助。

聚焦1：多面體表面積或體積的計算

例1 (2021 年新高考卷)正四棱臺的上,下底面的邊長分別為2,4,側棱長為2,則其體積為( )。

解：由正四棱臺的幾何特征可得該幾何體的高及上,下底面的面積,再由棱臺的體積公式即可得解。

作出圖形,如圖1所示。

圖1

回味：計算柱、錐、臺體的體積,關鍵是根據條件找出相應的底面面積和高,應注意充分利用多面體的截面,特別是軸截面,將空間問題轉化為平面問題求解。

聚焦2：旋轉體的表面積或體積的計算

例2 (2021 年高考北京卷)定義:24h內降水在平地上積水厚度(mm)來判斷降雨程度。其中小雨(＜10mm),中雨(10mm～25 mm),大雨(25 mm ～50 mm),暴雨(50mm～100mm),小明用一個圓錐形容器接了24h的雨水,如圖2,則這天降雨的等級是( )。

圖2

回味：借助降雨程度,將問題轉化為圓錐的體積與圓面積的有關計算。本題主要考查數據收集與處理、數學運算、直觀想象等數學素養。

聚焦3：多面體的外接球的體積計算

例3 (2021年高考全國卷)已知A,B,C是半徑為1的球O的球面上的三個點,且AC⊥BC,AC=BC=1,則三棱錐O-ABC的體積為( )。

解：根據截面△ABC的外接圓,確定小圓的圓心及半徑,再根據球半徑、小圓半徑、小圓圓心到球心的距離,得到球心O到平面ABC的距離,最后求得體積(圖略)。

因為AC⊥BC,AC=BC=1,所以

回味：解答本題的關鍵是明確球心和三角形外接圓的圓心的連線必垂直于三角形所在的平面。求多面體的外接球的表面積或體積的兩種常用方法:三條棱兩兩互相垂直時,可恢復為長方體,利用長方體的體對角線為外接球的直徑,求出球的半徑;利用直棱柱的上下底面平行,借助球的對稱性,球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點,再根據勾股定理求出球的半徑。

聚焦4：空間位置關系的判斷

例4 (2021年高考浙江卷)如圖3,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,M,N分別是A1D,D1B的中點,則( )。

圖3

A.直線A1D與直線D1B垂直,直線MN//平面ABCD

B.直線A1D與直線D1B平行,直線MN⊥平面BDD1B1

C.直線A1D與直線D1B相交,直線MN//平面ABCD

D.直線A1D與直線D1B異面,直線MN⊥平面BDD1B1

解：利用正方體間的垂直、平行關系進行證明。由正方體知A1D⊥AD1,A1D⊥AB,所以A1D⊥平面ABD1,所以A1D⊥D1B。在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是A1D的中點,N是D1B的中點,所以MN//AB。因為MN?平面ABCD,AB?平面ABCD,所以MN//平面ABCD,A 正確。由正方體知A1D與平面BDD1相交于點D,D1B?平面BDD1,D?D1B,所以直線A1D與直線D1B是異面直線,B,C錯誤。因為MN//AB,AB不與平面BDD1B1垂直,所以MN不與平面BDD1B1垂直,D 錯誤。應選A。

回味：熟練掌握正方體中的垂直、平行關系是解題的關鍵,如正方體的兩條棱平行或垂直,同一個面上的對角線互相垂直等。

A.3π B.4π C.9π D.12π

提示：如圖4,設兩個圓錐的底面圓的圓心為D,設圓錐AD和圓錐BD的高之比為3∶1,即AD=3BD。

圖4