立體幾何初步常見典型考題賞析

■張文偉

立體幾何是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)分支,在解決實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用。立體幾何中的概念、公理、定理是同學(xué)們需要掌握的核心知識(shí)。下面就空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、立體圖形的直觀圖、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積、空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系以及直線、平面的平行和垂直關(guān)系,進(jìn)行舉例分析,幫助同學(xué)們更好地學(xué)好這部分知識(shí)。

題型1：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征與直觀圖

例1 (多選題)下列命題中正確的是( )。

A.棱柱的側(cè)棱都相等,側(cè)面都是全等的平行四邊形

B.在四棱柱中,若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱

C.存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體

D.棱臺(tái)的上、下底面可以不相似,但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等

解：根據(jù)棱柱的定義可知,棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形,但不一定全等,A 不正確。在直四棱柱中,兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱,又垂直于底面,B 正確。正方體ABCD-A1B1C1D1(圖略)中的三棱錐C1-ABC,其四個(gè)面都是直角三角形,C 正確。棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形,各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn),但側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等,D 不正確。應(yīng)選B,C。

跟蹤訓(xùn)練1：如圖1所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,水平放置的正方形ABCO,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,4),則由斜二測(cè)畫法畫出的該正方形的直觀圖中,頂點(diǎn)B＇到x＇軸的距離為____。

圖1

提示：由斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖,如圖2所示。

圖2

作B＇E⊥x＇軸于點(diǎn)E。在Rt△B＇EC＇中,B＇C＇=2,∠B＇C＇E=45°,所以B＇E=

題型2：空間幾何體的表面積問題

求多面體的表面積:只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形,利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積。求旋轉(zhuǎn)體的表面積:可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手,將其展開后求表面積,但要搞清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系。求不規(guī)則幾何體的表面積:通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體,先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積,再通過求和或作差,求出所給幾何體的表面積。

圖3

圖4

跟蹤訓(xùn)練3：如圖5 所示,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積為36,E為棱CC1上的點(diǎn),且CE=2EC1,則三棱錐E-BCD的體積是( )。

圖5

題型4：與球有關(guān)的切、接問題

一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切,則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體,這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球。一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上,則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體,這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球。內(nèi)切球的球心到多面體各面的距離均相等,外接球的球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等。

例4 在三棱錐P-ABC中,PA=PB=PC=2,AB=AC=1,BC= 3,則該三棱錐的外接球的表面積為( )。

解：如圖6,已知PA=PB=PC=2,過P作PG⊥平面ABC,垂足為G,則G為三角形ABC的外心。

圖6

題型5：空間點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系

判斷兩條直線異面的常用方法(反證法):假設(shè)兩條直線不是異面直線,即兩條直線平行或相交,由假設(shè)出發(fā),經(jīng)過嚴(yán)格的推理,導(dǎo)出矛盾,從而否定假設(shè),肯定兩條直線異面。直線與平面位置關(guān)系的判斷:借助模型(如正方體、長(zhǎng)方體)是解決這類問題的有效方法,證明直線在平面內(nèi),只要證明直線上兩點(diǎn)在平面內(nèi);證明直線與平面相交,只需說明直線與平面只有一個(gè)公共點(diǎn);要證明直線與平面平行,必須說明直線與平面沒有公共點(diǎn)。判斷平面與平面相交,只要找到一個(gè)交點(diǎn)即可;判斷平面與平面平行,只要說明兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)。

例 5 如圖 7 所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點(diǎn)。

圖7

現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)論:①直線AM與CC1是相交直線;②直線AM與BN是平行直線;③直線BN與MB1是異面直線;④直線AM與DD1是異面直線。

其中正確的結(jié)論為_____。(把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)都填上)。

解：因?yàn)辄c(diǎn)A在平面CDD1C1外,點(diǎn)M在平面CDD1C1內(nèi),直線CC1在平面CDD1C1內(nèi),CC1不過點(diǎn)M,所以AM與CC1是異面直線,①錯(cuò)誤。取DD1的中點(diǎn)E,則BN//AE,但AE與AM相交,②錯(cuò)誤。因?yàn)辄c(diǎn)B1與BN都在平面BCC1B1內(nèi),M在平面BCC1B1外,BN不過點(diǎn)B1,所以BN與MB1是異面直線,③正確。同理知④正確。答案為③④。

跟蹤訓(xùn)練5：現(xiàn)有以下四個(gè)命題,其中正確的命題是( )。

①在平面α內(nèi)有兩條直線和平面β平行,那么這兩個(gè)平面平行;②在平面α內(nèi)有無數(shù)條直線和平面β平行,那么這兩個(gè)平面平行;③平面α內(nèi)的△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在平面β的同一側(cè)且到平面β的距離相等且不為0,那么這兩個(gè)平面平行;④平面α內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)到平面β的距離相等且不為0,那么這兩個(gè)平面平行或相交。

A.③④ B.②③④

C.②④ D.①④

提示：當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí),一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于它們的交線,即平行另一個(gè)平面,①②錯(cuò)誤。應(yīng)選A。

題型6：直線與平面的平行問題

證明直線與平面平行的關(guān)鍵是尋找線線平行,證明中常構(gòu)造三角形中位線或平行四邊形。證明直線與平面平行的五種常用方法:(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))。(2)利用線面平行的判定定理(a?α,b?α,a//b?a//α)。(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α//β,a?α?a//β)。(4)利用面面平行的性質(zhì)(α//β,a?β,a//α?a//β)。(5)向量法,證明直線的方向向量與平面的法向量垂直。

例6 在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD為梯形,AB//CD,∠BAD=60°,PD=AD=AB=2,CD=4,E

為PC的中點(diǎn)。

(1)證明:BE//平面PAD。

(2)求三棱錐E-PBD的體積。

解：(1)如圖8,取PD的中點(diǎn)F。

圖8

圖9

(1)求證:BC//EF。

(2)求三棱錐B-DEF的體積。

提示：(1)由AD//BC,AD?平面ADEF,BC?平面ADEF,可得BC//平面ADEF。因?yàn)锽C?平面BCEF,平面BCEF∩平面ADEF=EF,所以BC//EF。

題型7：平面與平面的平行問題

證明兩個(gè)平面平行的六種常用方法:(1)利用面面平行的定義。(2)利用面面平行的判定定理。(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。(4)如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行。(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化。(6)向量法,證明兩平面的法向量平行。

例7 如圖 10 所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點(diǎn)。

圖10

求證:(1)B,C,H,G四點(diǎn)共面。

(2)平面EFA1//平面BCHG。

證明：(1)因?yàn)镚,H分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),所以GH//B1C1。又B1C1//BC,所以GH//BC,所以B,C,H,G四點(diǎn)共面。

(2)在△ABC中,E,F分別為AB,AC的中點(diǎn),所以EF//BC。因?yàn)镋F?平面BCHG,BC?平面BCHG,所以EF//平面BCHG。因?yàn)镚,E分別為A1B1,AB的中點(diǎn),所以A1GEB,所以四邊形A1EBG是平行四邊形,所以A1E//GB。因?yàn)锳1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,所以A1E//平面BCHG。又A1E∩EF=E,所以平面EFA1//平面BCHG。

跟蹤訓(xùn)練7：如圖11,在四棱錐P-ABCD中,∠ABC= ∠ACD= 90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1。設(shè)M,N分別為PD,AD的中點(diǎn)。

圖11

(1)求證:平面CMN//平面PAB。

(2)求三棱錐P-ABM的體積。

提示：(1)由M,N分別為PD,AD的中點(diǎn),可得MN//PA。

因?yàn)镸N?平面PAB,PA?平面PAB,所以MN//平面PAB。

在Rt△ACD中,由∠CAD=60°,CN=AN,可得∠ACN=60°。由∠BAC=60°,可得CN//AB。由CN?平面PAB,AB?平面PAB,可得CN//平面PAB。因?yàn)镃N∩MN=N,CN、MN?平面CMN,所以平面CMN//平面PAB。

(2)由(1)知,平面CMN//平面PAB,所以點(diǎn)M到平面PAB的距離等于點(diǎn)C到平面PAB的距離。

題型8：直線與平面的垂直問題

證明直線與平面垂直的四種常用方法:(1)利用線面垂直的判定定理。(2)利用兩平行線中的一條與平面垂直,則另一條也與這個(gè)平面垂直。(3)利用一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面,則與另一個(gè)平面也垂直。(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理。

例8 如圖12,PA⊥圓O所在的平面,AB是圓O的直徑,C是圓O上的一點(diǎn),E,F分別是點(diǎn)A在PB,PC上的射影。

圖12

給出下列四個(gè)結(jié)論:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC。其中正確結(jié)論的序號(hào)是____。

解：由PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,可得PA⊥BC。因?yàn)锳B是圓O的直徑,C是圓O上一點(diǎn),所以BC⊥AC。因?yàn)镻A∩AC=A,所以BC⊥平面PAC。又AF?平面PAC,所以BC⊥AF,③正確。因?yàn)锳F⊥PC,PC∩BC=C,所以AF⊥平面PBC。又PB?平面PBC,所以AF⊥PB,①正確。因?yàn)锳E⊥PB,AF⊥PB,AE∩AF=A,所以PB⊥平面AEF。又EF?平面AEF,所以PB⊥EF,②正確。因?yàn)锳F⊥平面PBC,AF∩AE=A,所以AE不與平面PBC垂直,④錯(cuò)誤。答案為①②③

跟蹤訓(xùn)練8：如圖13,S是Rt△ABC所在平面外一點(diǎn),且SA=SB=SC,D為斜邊AC的中點(diǎn)。

圖13

(1)求證:SD⊥平面ABC。

(2)若AB=BC,求證:BD⊥平面SAC。

提示：(1)取AB的中點(diǎn)E。 在Rt△ABC中,由D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),可得DE//BC,所以DE⊥AB。

由SA=SB,可得SE⊥AB。因?yàn)镾E∩DE=E,所以AB⊥平面SDE。又因?yàn)镾D?平面SDE,所以AB⊥SD。

在△SAC中,由SA=SC,D為AC的中點(diǎn),可得SD⊥AC。又AC∩AB=A,所以SD⊥平面ABC。

(2)由AB=BC,可得BD⊥AC。由(1)知SD⊥平面ABC。因?yàn)锽D?平面ABC,所以SD⊥BD。又SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC。

題型9：平面與平面的垂直問題

證明兩個(gè)平面垂直,關(guān)鍵是尋找其中一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與另一個(gè)平面垂直,也就是利用線面垂直,得到面面垂直。已知兩個(gè)平面垂直,一般要在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線,轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直。求作空間一點(diǎn)向平面引垂線(段)或求幾何體的高,可利用面面垂直的性質(zhì)。

例9 如圖14,點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn),則( )。

圖14

A.BM=EN,

且直線BM,EN是相交直線

B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線

D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線

解：取CD的中點(diǎn)F,DF的中點(diǎn)G(作法略)。由△ECD是正三角形,可得EF⊥CD。由平面ECD⊥平面ABCD,可得EF⊥平面ABCD,所以EF⊥FN。

提示：如圖15,過點(diǎn)P作PO⊥平面ABC于O,則PO為P到平面ABC的距離。

圖15

過O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,則PE⊥AC,PF⊥BC。

題型10：立體幾何中的探索性問題

探索性問題一般可以分為判斷存在型、條件探索型、結(jié)論探索型、類比推理型、知識(shí)重組型等。立體幾何中的探索性問題一般以判斷存在型為主。這類問題一般的設(shè)問方式是“是否存在…,若存在…,若不存在…”。由于沒有一個(gè)明確的結(jié)論,在沒有經(jīng)過深入分析、嚴(yán)格計(jì)算和推理論證前其存在性是未知的。

例10 如圖16 所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M滿足____時(shí),平面MBD⊥ 平面PCD。(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)

圖16

解：由四邊形ABCD的各邊都相等,可得AC⊥BD。由PA⊥底面ABCD,可得PA⊥BD。因?yàn)镻A∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC。

當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí),則PC⊥平面MBD。而PC?平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD。

答案為DM⊥PC(或BM⊥PC)。

跟蹤訓(xùn)練10：如圖17

圖17

所示,一張A4紙的長(zhǎng)、寬分別為2 2a、2a,A,B,C,D分別是其四條邊的中點(diǎn)。現(xiàn)將其沿圖中虛線折起,使得P1,P2,P3,P4四點(diǎn)重合為一點(diǎn)P,從而得到一個(gè)多面體。下列關(guān)于該多面體的命題,正確的是____。(寫出所有正確命題的序號(hào))

①該多面體是三棱錐;②平面BAD⊥平面BCD;③平面BAC⊥平面ACD;④該多面體外接球的表面積為5πa2。