用Excel解決高中物理中的復雜問題

林輝慶

（杭州市余杭高級中學 浙江 杭州 311100）

高中物理研究的主要是可以通過簡單運算得出結果或能較方便地求出解析解的問題.對于復雜的很難甚至無法求出解析解的問題，一般是直接給出結論，或只作定性分析，或回避.學生具有強烈的求知欲，迫切希望了解這些復雜問題的答案以及答案是如何求出的.高一信息技術課程學習的Excel工具，具有函數功能、計算功能、圖表功能，以及由于單元格的關聯（即某個或某幾個單元格的計算結果可以作為別的單元格中的函數的自變量）具有的簡單編程功能，我們能用它編寫簡單程序，通過微元數值計算求得高中物理中某些復雜問題的數值解或圖像解.

1 示例一 單擺周期公式準確度的研究

高中教科書在證明擺角很小時單擺近似做簡諧運動后，直接給出周期公式.學生關心用這個公式計算出的單擺周期在不同擺角下的準確度如何.要回答這個問題，必須求出不同擺角時單擺的實際周期T′，與用公式計算出的周期T作比較.

由機械能守恒定律求得擺球從最大偏角θ0處運動到偏角θ處的速度為

從理論上講，求出了擺球在圓弧上各點的速度，就能進一步求得單擺的實際周期T′，但由于速度v與θ的關系較復雜，T′與θ0的關系不能用中學數學中的初等函數表示.教科書曾直接給出θ0=15°時，T與T′的相對誤差約為0.5%［1］.下面用Ex cel工具設計一個微元數值計算的程序，求擺角為15°時T與T′之間的相對誤差.

將最大偏角θ0到豎直位置θ=0之間的弧分成很多圓心角為Δθ的微元.第一個微元中心的偏角，第二個微元中心的偏角θ2=θ1-Δθ，第n（n＞1）個微元中心的偏角

建立如圖1（a）的Excel工作表.在第一行的A1，B1，C1和D1單元格分別輸入θ，cosθ，x和Δy作為各列所代表的量.θ0=15°取Δθ=1°.在第二行的A2單元格輸入θ1的值14.5°，B2單元格為cosθ與A2單元格關聯.由式（3），C2單元格與B2單元格關聯；由式（4），D2單元格與C2單元格關聯.第二行的單元格分別為

A2=14.5°，B2=cos（A2*π／180），C2=SQRT（2*B2-2*cos 15°），D2=1／180／C2

接著，A列利用式（2），下一單元格與上一單元格關聯；B，C，D列的關聯關系同上.第三行的單元格分別為

A3=A2-1，B3=cos（A3*π／180），C3=SQRT（2*B3-2*cos 15°），D3=1／180／C3

此后各行單元格的關系重復前一行單元格的關系，形成了一個完整的計算程序.

選中第三行的全部單元格，將光標移到右下角，當光標呈實心“+”字狀時，按住鼠標左鍵向下拉到第16行，得到全部計算結果.選中Δy列的數據求和得到y≈0.466 9，如圖1（b）所示.

圖1 用Excel計算單擺周期

將Δθ取更小的值，擺球運動時間的計算值會更準確.取Δθ=0.1°，用同樣方法求得y≈0.491 0.取Δθ=0.02°，求得y≈0.497 2.取Δθ=0.015°，求得y≈0.497 7.可見，當Δθ小到0.015°，求得的y值到小數點后第三位都是準確的.將y≈0.497 7與0.5比較，相對誤差為0.46%.這正是教科書給出的數值.

2 示例二 在變化磁場中導體棒運動情況的研究

在學習電磁感應時，學生經常求解導體棒在恒定磁場中運動的問題，在這種問題中只有動生電動勢.常有好學的學生問，如果導體棒在隨時間變化的磁場中運動，電路中既有動生電動勢，又有感生電動勢，這種問題如何求解？例如下面的問題.

如圖2所示，水平光滑U形框架左邊接有R=1 Ω電阻，框架兩臂的距離為l=0.1 m，質量m=0.01 kg的導體棒垂直框架兩臂，與左端的距離也為l.框架所在的空間在距離左端為2l的范圍內（虛線左側）有豎直向上、磁感應強度大小為B0=1 T的勻強磁場.除電阻R外，其他電阻不計.t=0時刻開始，磁感應強度大小B隨時間以變化率為k=1 T／s均勻減小，減小到零后保持不變.試求導體棒的運動情況.

圖2 磁場、導體框架裝置

容易判斷出導體棒向右運動.設t時刻導體棒離開初始位置的距離為x，速度為v，此時回路中的感應電動勢為E=kl（l+x）-Blv.由歐姆定律I=，安培力公式F=BIl和牛頓第二定律F=ma，得到棒的加速度

其中B與時間t的關系為

理論上，由式（5）和（6）兩式就能求出導體棒的運動情況，但由于x，v，B都是變化的，所以a也是變化的.而某時刻的x和v又是由此前各時刻的a決定的，所以這是一個復雜的非線性問題，很難求出它的解析解.下面用Excel工具設計一個微元數值計算的程序，求解導體棒運動情況的數值解，并作出運動圖像.

建立如圖3所示的Excel工作表.

圖3 導體棒運動數值解

在A1，B1，C1，D1和E1單元格分別輸入t，B，x，v和a作為各列所代表的物理量.在第二行的A2，B2，C2，D2和E2單元格分別輸入初始值0，1，0，0和0.1.利用式（7）～（11）將有關的單元格相關聯.第三行的單元格分別為

此后各行單元格的關系重復前一行單元格的關系，形成了一個完整的計算程序.

選中第三行的全部單元格，將光標移到右下角，當光標呈實心“+”字狀時，按住鼠標左鍵向下拉到第22行，得到全部計算結果，如圖3所示.由“插入”中的“散點作圖”功能，作出導體棒的x-t圖像和vt圖像如圖4所示.

圖4 導體棒的運動關系圖

3 用Excel解決物理中的復雜問題的基本步驟

通過上述兩個例子，可以總結出用Excel解決高中物理中的復雜問題的基本步驟如下.

第一，分析原理列出方程.分析物理過程或現象，根據有關的物理規律寫出方程，由這些方程從理論上就可以求出這個復雜問題的解.示例一中，由式（1）求出擺球在各個位置的速度，在理論上就能算出周期；示例二中，由式（5）和（6）兩式在理論上就能解出導體棒的運動情況.

第二，設計微元計算程序.將物理過程或現象中的自變量分成很多等大的微元.微元的大小需要根據問題的精確度要求確定.在微元內，將某個描述狀態變化的物理量看作不變，然后根據第一步列出的方程和與看作不變的物理量有關的公式，寫出由微元的初始狀態量或過程量計算微元的末狀態量或下一個微元過程量的關系式.示例一為式（2）～（4）這3式，示例二為式（7）～（11）.這一步需要考慮假設哪個量不變和如何計算能減小誤差.在示例一中，計算對應微元Δθ的時間Δt，取速度保持圓弧中點時的值不變，比取速度保持圓弧起點時的值不變，所得結果的誤差要小.在示例二中，計算導體棒在微元Δt內的位移Δx，認為加速度不變用勻加速運動的公式計算，比認為速度不變用勻速運動計算，所得結果的誤差要小.

第三，輸入微元計算程序.建立Excel工作表，在第一行各單元格輸入有關物理量的符號.物理量從左到右的排列順序，需要考慮由各單元格的關聯關系；一般地說，前一單元格的計算結果為后一單元格計算所需要，上一行單元格的計算結果為下一行單元格的計算所需要.在第二和第三行各單元格輸入初始狀態物理量的數值和由第二步中設計的計算微元中各物理量的關系式，形成一個完整的計算程序.

第四，運行程序得到結果.選中第三行的全部單元格，將光標移至右下角，當光標呈“+”狀時，按下鼠標左鍵向下拖動，得到計算結果.這就是問題的數值解，如果需要某兩個物理量之間關系的圖像，選中這兩列物理量，用“插入”中的“散點作圖”功能，可在屏幕上得到需要的圖像.

高中物理中，天體的運動軌跡［2］、拋體受與速度成正比或與速度平方成正比的阻力作用時的運動軌跡、電容器的充電電流和放電電流、LC振蕩電路中的電流等問題，都可以用Excel工具設計微元數值計算程序，得到數值解或有關圖像.

4 讓學生用Excel解決物理中的復雜問題的意義

4.1 有利于培養學生運用信息技術的意識和能力

當今社會，信息技術越來越多地應用于我們的生產生活.運用信息技術解決問題的能力，是學生發展核心素養的重要部分［3］.讓學生用Excel解決高中物理中的復雜問題，能有效培養他們在生產生活中運用信息技術工具解決問題的意識和能力.

4.2 有利于增強學生學習物理的興趣

學生通過自己分析、設計，用Ex cel演算出復雜問題的數值解，能使求知欲得到極大的滿足，能體驗到輕松愉悅的心情，感受到物理理論的威力，從而增強學習物理的興趣.

4.3 有利于發展學生解決實際問題的能力

真實的現象總是復雜的，絕大多數不能用函數解析式描述.對這些問題的研究，都需要用微元數值計算法求得有關量的一系列數值，或描繪出不同量之間的變化圖像.因此，引導學生用Excel解決高中物理中的復雜問題，能提高學生運用所學知識解決實際問題的能力.