小議流體情境中的相互作用和功率問題

段寶維 張燕怡

（中國人民大學附屬中學 北京 100080）

1 背景介紹

2020年《普通高中物理課程標準》特別重視問題“情境”，一共有67處提到“情境”問題，強調問題、任務、試題情境，并把學生將“情境與知識相聯系的水平”作為學業質量檢測的高階要求，具體又細化為：將情境中的經歷轉化為物理探究過程、將情境中的故事情節轉化為物理現象、將描述情境的文字轉化為物理表述、將情境中需要完成的工作轉化為相應物理問題［1］.

我們常說某個問題出得很“活”，其“活”的本質之一在于情境的轉化，能否把問題中的實際情境轉化成解決問題的物理情境，建立相應的物理模型，這是應用物理觀念思考問題、應用物理知識分析解決問題的關鍵.在物理教學中，應讓學生獲得在實際情境中解決物理問題的大量經驗，形成把情境與知識相關聯的意識.

流體問題，如高壓水槍沖擊、噴泉托舉物體、氣體壓強微觀解釋、離子發動機反沖、自動稱米機的爭議……取材于生活實際，現象常見而富有一定趣味性，是將情境與物理模型結合，培養學生應用力學工具解決具體問題的良好素材［2～5］，屬于綜合性強、難度較大、對能力要求較高的題目，多見于高考和各類高三模擬測試中.

流體情境的常見問題分為兩類：（1）討論流體與環境的相互作用，常規方法是微元思想配合動量定理求解；（2）討論流體噴射的功率，常規方法是應用能量轉化關系.學生在具體思考的過程中常有質疑，為何對于同一問題，不同方法討論的結果經常不自洽：如用能量觀點求流體作用力，或基于相互作用和功的定義計算流體功率，往往與正確答案不符.究其原因，在于沒能建立合適的理想化模型，對物理規律的適用條件、研究對象范圍把握得不夠清晰準確.

本文試圖回顧流體情境中的經典問題，從概念、規律的深入理解角度，厘清學生們的常見誤區，并基于中學物理的常見模型，做一些拓展討論.

2 問題回顧

如下是流體情境中涉及相互作用的經典例題.

【例1】水流射向墻壁，會對墻壁產生沖擊力.假設水槍噴水口的橫截面積為S，噴出水流的流速為v，水流垂直射向豎直墻壁后速度變為零.已知水的密度為ρ，重力加速度大小為g，求墻壁受到的平均沖擊力F.

此題的傳統解法如下：

取Δt時間內入射到墻面上的一小段水柱為研究對象，水柱質量Δm=ρSvΔt，受到墻壁反作用力F′，動量由Δmv變為零，設水柱入射方向為正方向，由動量定理

解得

但如果用動能定理求解，認為墻壁對水做功

于是由動能定理

就會得到錯誤的結果

以下是流體情境中涉及功率的經典例題.

【例2】（人教社2019版《物理·必修2》教材P94練習6）：圖1是某城市廣場噴泉噴出水柱的場景.從遠處看，噴泉噴出的水柱超過了40層樓的高度；靠近看，噴管的直徑約為10 cm.請你據此估計用于給噴管噴水的電動機的輸出功率至少有多大？

圖1 城市廣場噴泉場景

根據功能關系，噴泉噴水功率應等于水在單位時間內獲得的動能，通過噴水高度估算水流出口時的速度v，通過噴管直徑d和出口速度v估算單位時間噴出的水量，有

代入實際數據，不難求得數值解.

但是，按照例1動量定理求解的正確思路，同樣可以求得，出口處噴管對水流作用力為

則有功率

3 誤區分析

在例題1所代表的流體（我們先局限于不可壓縮的理想流體）沖擊問題中，動能定理并不是適合的物理規律，原因如下：

（1）中學物理中的動能定理，實際上是單個質點的動能定理，而題目中的研究對象——“一小段”水柱，即使再短，也不可以看作質點，因為它必須流動、必須形變，應看作質點組，內力做功引起的動能變化不可無視；

（2）若將水柱看作質點組，嚴格意義上說，墻壁外力的作用點并沒有移動，因此，對水柱并沒有做功，自然也不能利用W=-F（vΔt）的公式.否則，根據“功是能量轉化或轉移的量度”，墻壁的能量應有所減少，與實際情況矛盾（類似2006年高考題“人從地面起跳、地面對人不做功”的情境）；

（3）如果改變題目條件，讓水柱原速反彈或水流以相等速率沿墻壁散開，則水柱動能不變，自然也無法運用動能定理，但用動量定理依然可以得到正確的結果.

在例題2的情境中，題目強調求“最小功率”，也就是沒有損耗或浪費的情況，此時，認為噴泉做功全部轉化為噴出水的能量，無疑是正確的.而如果用功率公式P=Fv求解，則需明確，該公式描述的，依然是某個外力F對某個速度為v的質點的做功快慢情況.參考例題1的解法，若此處代入F=ρSv2，則F應該是“如果在噴口垂直水流方向放置一個擋板，并且水流沖擊擋板后不反濺，只是順著擋板平面流走時，水流對擋板的沖擊力”，而并非是“將噴口處一小截水柱看作質點，該水柱從零加速到出射速度v受到的力”.

利用如圖2所示的理想裝置，可以從“力×速度”角度解釋例題2所要求的最小功率.以不可壓縮理想流體定常流動時的一組流管為輪廓，構造如圖2所示的剛性容器，則在很短時間內，忽略一切摩擦損耗，活塞端所受壓力F所做功，將幾乎全部轉化為噴出液體的動能.此時噴射器功率滿足

圖2 不可壓縮流體定常流動示意圖

但顯然，此時F為活塞處受力，并非噴口處的沖擊力ρSv2，而速度部分也應代入活塞被推進的速度v0，而非噴口處水的出射速度v.

參考伯努利原理的證明過程，在活塞處壓力做功=水獲得的動能增量，在極短時間Δt內，有

根據連續性原理

與能量角度的計算結果一致.

4 對流體作用力的拓展討論

為了徹底厘清動能定理不能簡單應用于流體作用力求解的疑惑，我們再看下面例題.

【例3】（由2018年北京市昌平區高三期末統測改編）離子發動機是利用電能加速工質（工作介質）形成高速射流而產生推力的航天器發動機.其原理如圖3所示：首先電子槍發射出的高速電子將中性推進劑離子化（即電離出正離子），正離子被正、負極柵板間的電場（可視為勻強電場）加速后從噴口噴出，從而使飛船獲得推進或姿態調整的反沖動力.這種發動機壽命長，適用于航天器的姿態控制、位置保持等.已知從噴口噴出的正離子速度大小為v，發動機功率為P，求該發動機產生的平均推力大小F.

圖3 離子發動機原理示意圖

解析：我們先用傳統的動量定理方法求解.設在任意極短時間Δt內，噴出的離子總質量為Δm，這些離子獲得的動量為Δmv，因此有

另一方面，考慮到飛船質量遠大于離子質量，發動機輸出的能量幾乎全部轉化為離子的動能，因此有

此處為何不能直接運用公式P=Fv得到F=我們再從微觀粒子受力的角度來深入分析一下.

將離子在電場中的加速過程簡化為如圖4的模型，可以看到，由正負極板（負極為金屬網且忽略打在金屬網上的離子）、絕緣容器代表飛船發動機，其所受推力F的大小等于所有離子在電場中受力的矢量和F′（牛頓第三定律），而不僅僅是剛好離開容器的那些離子的受力.

圖4 離子發動機簡化模型

從能量關系入手考查，離子發動機總功率，可以看做是加速電場對每個離子電場力的功率之和，設第i個離子受力為Fi，某時刻速度為vi，則有

正、負柵極間電場被簡化為勻強電場，顯然，每個離子都受到等大的電場力

其中，N為某時刻電場中離子的總個數，v-i為N個離子瞬時速度的平均值.由于每個離子從正柵極到負柵極的受力-運動過程相同，v-i可以看作一個離子運動全過程的平均速度，離子都做勻加速直線運動，于是有

此時可發現，發動機推力大小與功率關系為

每一個Δt內，雖然電場中各個離子都得到加速，但等效看來，都相當于有一個薄層的質量為Δm、總電荷量為q的離子穿越電場，發生了位移L（L為兩極板間距離），電場力對它做功

同理，圖2中流管容器中的一小塊液體，也可認為是穿越了整個流速場，直接到達噴口，從而將外力F做的功轉化成了自身動能.

5 對流體噴射功率的拓展討論

前面關于例2的分析，我們默認流體的噴射功率，嚴格等于流體單位時間增加的動能，即噴射器轉化效率是100%，但實際情景未必如此.在實際噴水過程中，考慮到粘滯阻力、流體與管壁摩擦等因素，噴射器的功率，應等于將水從靜止加速度到噴射速度v所做的總功.

我們以“傳送帶”傳輸礦粉的例子作為類比進行說明.

【例4】如圖5所示，水平傳送帶以速率v=2 m／s的速率勻速運行，上方料斗每秒將40 kg的礦粉豎直放落到傳送帶上，然后一起隨傳送帶勻速運動，如果要使傳送帶保持原來的速率勻速運行，則皮帶機應增加的功率為多少？

圖5 傳送帶運送礦粉示意圖

解析：設Δt時間內有質量為Δm的礦粉被投放到傳送帶上，對于傳送帶上的礦粉整體，Δt時間內總動量增加了Δmv（注意，礦粉從靜止加速至與傳送帶共速的時間不一定是Δt）.

處于加速狀態的礦粉受摩擦力f，根據動量定理fΔt=Δmv，傳送帶受礦粉反作用力

結合前面分析可知，這個f′是所有礦粉對傳送帶的摩擦力.

傳送帶保持勻速v運動，電動機需額外克服f′提供能量，因此需額外增加的功率P，等于電動機對傳送帶增加的拉力，再乘以傳送帶速度

另一方面，礦粉在單位時間內獲得的動能僅僅為

根本原因在于，礦粉加速過程中與傳送帶有相對滑動，存在摩擦生熱引起的損耗（參考2003年高考全國壓軸題）.不難得到本情境中，如果礦粉離開傳送帶時已經與傳送帶共速，發熱功率和發動機為礦粉提供動能的功率相等，各為.而如果傳送帶速度很大，以至于礦粉離開傳送帶時無法加速到v，摩擦生熱損耗的能量將大于礦粉得到的動能.

對于噴射器噴水求功率的問題，如果我們只考慮水增加的動能，則可以按照發動機模型處理，得

但為了嚴謹起見，題目最好采用求“噴水最小功率”這樣的描述，例題2（課本題）的表述就比較妥當.

6 總結

本文較深入地探討了流體情境中的兩個基本問題（相互作用力、噴射功率），對學生解題過程中的常見誤區及錯因進行了分析澄清，說明了從動量、能量不同角度解決同一問題時應如何更準確地確定研究對象、理解概念含義、把握規律應用范圍并更合理地構建模型等，從多方位、多角度提供了正確理解流體情境的思路.