基于GeoGeb ra軟件圓柱形螺旋線的可視化

胡桐慶 劉 丹 謝恩東

（安慶市第一中學 安徽 安慶 246003）

數學中螺旋線的種類較多，在物理學中出現較多的是圓柱形螺旋線，物體做勻速圓周運動與沿軸線勻速直線運動的合運動軌跡就是等距螺旋線，生活中彈簧是較常見的等距螺旋線，利用GeoGeb ra軟件可以很好地演示圓柱形等距螺旋線［1］.

1 等距螺旋線的得到

由于等距螺旋線是三維曲線，可在GeoGeb ra的3D視圖中完成，等距螺旋線很難用單一的方程來表示，但可以結合其參數方程和“曲線”指令來繪制.在指令欄輸入：曲線（2t，3cos（2πt），3sin（2πt），t，0，6），得到曲線a就是等距螺旋線，如圖1所示，從指令中不難發現曲線a是以速度2 m·s-1沿x軸勻速運動與垂直x軸半徑為3 m、周期為1 s的勻速圓周運動的合運動在時間0～6 s內的軌跡.

圖1 等距螺旋線

2 彈簧類問題

彈簧的形狀就是等距螺旋線，彈簧在物理學中很常見.

（1）彈簧振子

彈簧振子的運動是最簡單的簡諧運動，彈簧振子構造也很簡單，由輕彈簧和小球組成.

①描點A，其位置設置為：（5+2sin（t），0，0），其中t為時間，用滑動條表示，A的運動為簡諧運動，以A為球心繪出小球表示振子.

②指令欄輸入：曲線（x（A）／20k，0.1cos（2πk），0.1sin（2πk），k，0，20），得到的彈簧一端隨A點位置變化而變化.

③指令欄輸入：向量（（5，0，0.3），（x（A），0，0.3）），得到向量u可表示位移x的動態變化，指令欄輸入：向量（（x（A），0，0.5），（x（A），0，0.5）-0.6u），得到向量v可表示加速度a的動態變化，效果如圖2所示，啟動滑動條t的動畫功能就可看到彈簧振子振動的動態過程.

圖2 彈簧振子

（2）物體沿光滑彈簧下滑

【例1】如圖3所示，一根長度為L的光滑鋼絲繞成一高度為H的彈簧（不計形變），此彈簧豎直放置.有一中間有孔的小球由構成彈簧的鋼絲穿過并從彈簧的最高點A釋放，小球沿彈簧下滑，求經過多長時間小球到達彈簧的最低點B.

圖3 例1題圖

解析：彈簧可以認為分布在圓柱面上，小球沿光滑彈簧下滑時機械能守恒，可以假想在不改變彈簧上各處傾角的條件下將彈簧拉直成一條直線，小球沿此直線下滑的時間與題中要求的時間相等.

小球沿直線下滑的加速度

由幾何知識可得

由位移公式可知

解得

制作方法如下.

（1）指令欄輸入：曲線（2cos（0.5k︿2），2sin（0.5k︿2），8-0.125k︿2，k，0，8），得到曲線表示題中光滑彈簧.

（2）指令欄輸入：（2cos（0.5t︿2），2sin（0.5t︿2），8-0.125t︿2），得到點C可以表示物體位置，如圖4所示，啟動滑動條t的動畫功能就可看到物體的下滑過程，顯示C點軌跡還能得到運動的頻閃圖，如圖5所示，物體的位置能反映物體的加速過程.

圖4 物體沿光滑彈簧下滑

圖5 物體下滑頻閃圖

3 帶電粒子在勻強磁場中的運動軌跡

當帶電粒子的速度方向與磁感線成一定夾角時，可將粒子速度沿磁場方向和垂直磁場方向正交分解，粒子的運動可分解為沿磁場方向的勻速直線運動和垂直磁場平面內的勻速圓周運動，其軌跡是一條等距螺旋線.

【例2】從電子槍打出的電子流并不完全沿直線運動，而是有微小角度的散射，為了使顯示器圖像清晰，需要通過電子透鏡對電子流進行聚焦處理，正好在屏幕上匯聚形成一個亮點.如圖6（a）所示，密繞線圈的玻璃管是一種利用磁場進行匯聚的電子透鏡，又稱為磁場透鏡.如圖6（b）所示為其內部原理圖，玻璃管的管長為L，管內直徑為D，管內存在沿軸線方向向右的勻強磁場.電子流中的電子在與軸線成微小角度θ的頂角范圍內從軸線左端的O點射入磁場，電子速率均為v0，調節磁感應強度B的大小，可以使電子重新匯聚到軸線右端與熒光屏的交點P.已知電子的電荷量為e，質量為m，當角度θ非常小時滿足cosθ=1，sinθ=θ，若要使電子流中的電子均能匯聚到P點，下列說法正確的是（ ）

圖6 例2題圖

A.磁感應強度應滿足B=（n為合適的整數）

B.磁感應強度應滿足B=（n為合適的整數）

答案：A，C.

解析：電子的軌跡為螺旋線，沿磁場方向做勻速直線運動，垂直磁場方向做勻速圓周運動，周期為，兩分運動時間相等即

其中n為環繞周數，如圖7～9所示，又題中

圖7 粒子軌跡（n=1）

圖8 粒子軌跡（n=2）

圖9 粒子軌跡（n=5）

結合式（1）、（2）可得

勻速圓周運動半徑

由圖10可知

圖10 半徑大小關系

又題中

由式（3）～（5）可得

制作方法：

（1）密繞線圈也是等距螺旋線，其指令為：曲線（k，1.5sin（20πk），1.5cos（20πk），k，0，10）.

（2）得到粒子軌跡的指令為：曲線（t，0.5sin（0.2nπt），0.5-0.5cos（0.2nπt），t，0，10），其中n為滑動條，表示題中環繞周數，以上指令只能得到一條軌跡a，要獲得多條軌跡可用“序列”和“旋轉”兩指令，其表達式為：序列（旋轉（a，-k*45°，x軸），k，1，7，1）.

4 等距螺旋面

在Geo Geb ra軟件中可以通過旋轉曲面的方法將等距螺旋線旋轉成等距螺旋面.

【例3】在街頭的理發店門口，常可以看到這樣一個標志：一個轉動的圓筒，外表有紅藍相間螺旋斜條紋，我們感覺條紋在沿豎直方向運動，但條紋實際在豎直方向并沒有升降，這是由圓筒的轉動而使我們的眼睛產生的錯覺.如圖11所示，假設圓筒上的條紋是圍繞著圓筒、連續的一條寬帶，同種顏色相鄰兩條紋在沿圓筒軸線方向的距離（即螺距）為L=10 cm，圓筒沿逆時針方向（從俯視方向看），以2 r／s的轉速勻速轉動，我們感覺到升降方向和速度大小分別為（ ）

A.向上 10 cm／s

B.向上 20 cm／s

C.向下 10 cm／s

D.向下 20 cm／s

答案：B.

解析：由圓筒沿逆時針方向轉動知我們感覺到條紋在沿豎直方向向上運動，圓筒轉動一圈，用時0.5 s，感覺到條紋沿豎直方向向上運動L，因此向上運動的速度為20 cm／s.

制作方法如下.

（1）指令欄輸入：曲線（cos（πk+α），sin（πk+α），8-2k，k，0，4），得到曲線a，表達式中α為表示角度的滑動條，啟動α的動畫功能可看到曲線a的旋轉.

（2）指令欄輸入：曲面（a，90°，z軸），得到曲面b為等距螺旋面，曲面b可隨曲線a旋轉.

（3）指令欄輸入：旋轉（b，π，z軸），得到同樣可隨曲線a旋轉的曲面b′表示另一寬條紋.

（4）利用圓柱體工具按以上尺寸畫圓柱體（半徑取0.99）以表示圓筒，如圖12所示.