基于整體公平度最小極差的席位公平分配模型

韋碧鵬，史文雷，莫京蘭

(1.柳州職業技術學院 通識教育學院，廣西 柳州 545006；2.山東財經大學 會計學院，濟南 250014；3.柳州工學院 數理教學部，廣西 柳州 545616)

0 引言

席位公平分配來源于美國眾議院在其各州的席位名額分配而產生的問題[1]。它在政治學、管理學以及對策決策等領域獲得廣泛的應用而備受關注。由于公平標準比較難界定，針對此問題，學者們從各方的公平性角度出發，通過定義各自的公平標準對公平分配問題進行研究，提出了一些公平席位分配的方法，如：尾數最大法[1]、Q值法[2]、最大熵法[3]、最小極差法[4-5]、最大概率法[6]等，這些方法在現實生活中也得到了較好的應用。國內學者張建勛在文獻[7]中指出：國外學者M.L.Balinski與 H.P.Young于1974年提出了席位分配問題的公理化體系(以下簡稱為Young的公理化體系)，即人數單調性、無偏性、席位單調性、公平分攤性、接近份額性。但是，在1982年，這兩位學者證明了同時滿足這5個公理化體系的分配方法是不存在的[7]541-542。基于此，國內外學者在考慮滿足Young的公理化體系第四條公平分攤原則的前提下，從各方的公平性角度對席位公平分配問題進行深入研究，提出了一些新的方法[8-9]。

在席位公平分配問題中，存在著個體公平和總體公平之間的矛盾，但它們又是不可分割的。基于此，岳林[10]從整體公平度的角度出發，認為席位公平分配問題的所謂公平應該達到的目標是各個個體和總體之間公平性應該相等或者盡可能相等，整體公平度是整體數量與整體席位數的比值，并對于席位公平分配問題提出了新Q值法。針對文獻[10]所提出的整體公平度問題，不少學者對其進行研究，如：嚴余松[11]提出了0-1規劃法；張建勛[7]提出了席位公平問題的代表個人角度、成員個人角度以及單位角度的評價模型，且對其進行了模型檢驗；吳黎軍和田存福[12]采用相對指標建立了相應的新0-1規劃模型。為了滿足Young的公理化體系公平分攤原則，在文獻[7]的基礎上，張華等學者[13]提出了席位分配問題的整數變量模型，并對其進行了應用。丁會等學者[14]提出了基于平均公平度的席位分配方法。對于席位分配問題，也有一些學者從其他的角度進行研究[15-17]。以上文獻基于不同的標準從各方公平性、整體公平度以及統計量等角度，對席位公平分配問題提出相應的數學模型和算法。雖然也有學者從整體公平的角度對席位公平問題提出相應的模型和算法，但是從整體公平的角度對問題進行研究還比較缺乏。

為此，本文將在整體公平度的基礎上，提出改進的席位代表人數差量和改進的人數代表席位差量最小極差數學模型及其算法，并通過實驗對改進算法與未改進算進行對此分析。

1 席位公平分配問題

2 基于整體公平度的席位代表人數差量最小極差數學模型

2.1 席位代表人數差量

對于席位分配問題，我們認為的公平，不但要考慮整體，還應當考慮各個體間的關系。因此，本文在文獻[11]的基礎上，對席位公平分配問題的整體和個體間的關系進行了研究，提出席位代表人數差量的概念。

2.2 最小極差數學模型

minz=x-y

(1)

案例1設某校有甲乙丙丁戊5個二級學院，這5個二級學院的學生人數分別為345、72、894、68、39(合計1418人)，學校代表大會學生的席位為47個，請對席位進行合理分配。

結合最小極差數學模型(1)，對案例1進行求解，得出其相應的結果如表1所示。

表1 席位分配結果

2.3 改進的最小極差數學模型和算法

2.3.1 改進的最小極差數學模型

minz=x-y，

(2)

其中：pi,N,P,ai是已知常數，yi,x,y為變量；yi表示各方在原有基礎上所分配到的席位數。

2.3.2 算法

針對席位公平分配問題，根據啟發式算法[18-20]的思想，在分配席位過程中，通過各方席位代表人數的數值與整體公平度的數值進行對比，刪除席位代表人數差量小于或者等于零的一方，運用改進的最小極差數學模型IPDQM對下一個席位進行分配，直到剩余的席位等于零為止，具體算法如下。

結合案例1，對最小極差數學模型和改進的最小極差數學模型算法進行對比，具體如表2所示。

表2 PDQM模型算法與IPDQM模型算法結果比較

從表2中結果以及公平分攤性原則可知，運用IPDQM模型算法對各學院席位進行分配的方案滿足公平分攤性原則，說明了IPDQM模型算法比PDQM模型算法優越。

2.4 幾種方法的對比分析

對于席位公平分配問題，結合已有的模型，將文獻[2]中Q值法、文獻[3]中最大熵法、文獻[8]中TMDP模型以及文獻[14]中平均公平度算法與IPDQM模型算法進行對比，說明IPDQM模型算法的正確性。

案例2設某校有甲乙丙3個二級學院，這3個二級學院的學生人數分別為103、63、34，學校代表大會學生的席位為21個，請對席位進行合理分配。

根據2.3.2算法的步驟，可以得出IPDQM數學模型分配方案的具體結果。

步驟1：根據比例的方式，計算出各方的席位數，即

步驟2：運用取整的方式分配各方的席位數，結果為甲分得10個席位，乙分得6個席位，丙分得3個席位。下一步對剩余的2個席位進行分配。

步驟3：計算各方席位代表人數和整體公平度，其計算結果如下。

由于甲乙丙三方席位代表人數都大于整體公平度的值，因此運用IPDQM模型及其算法對第20個席位進行分配，求解得出第20個席位分配給甲，因此，甲分得席位由10個變為11個席位。

步驟4：分配第21個席位，與步驟3一樣。首先計算出各方的席位代表人數和整體公平度，根據計算得出甲的席位代表人數為9.36，小于整體公平度9.52。因此，在分配第21個席位時，不考慮甲方，僅僅把剩余的席位分配給乙方和丙方。重復步驟3得出，第21個席位分配給丙，因此，丙分得席位由3個變為4個席位。最終，21個席位分配結果：甲11個，乙6個，丙4個。

經過計算，可以得出Q值法、最大熵法、TMDP模型算法、平均公平度算法對于21個席位分配的結果，與IPDQM模型算法所獲結果進行比較的情況如表(3)所示。

由表3中結果可以看出，IPDQM模型算法的計算結果與經典Q值法和最大熵法的結果相同，可以說明IPDQM模型算法的正確性。

表3 各算法席位分配結果對比

案例3設某公司有甲乙丙丁戊5個部門，這5個部門的職工人數分別為10、19、40、48、59，公司代表大會職工的席位為78個，請對席位進行合理分配。

基于整體公平度的角度，將文獻[9]中的新Q值法、文獻[10]中的0-1規劃法以及文獻[14]中的平均公平度算法，與本文建立的IPDQM模型算法對席位分配的研究結果進行比較，結果如表(4)所示。

由表4可見，基于整體公平度的角度下建立的席位公平分配模型(新Q值法、0-1規劃法、平均公平度算法)極差較大，本研究基于整體公平度角度建立的IPDQM模型算法所得的分配結果極差較小。本算法結果的極差小能夠使得席位分配更加集中，從而使得分配對于公司各個部門來說更加公平。因此，基于整體公平度的角度，本研究建立的IPDQM模型算法更公平合理。

表4 各算法席位分配結果對比

minz=x-y，

(3)

證明(i)充分性

將不等式變形，則約束條件轉變為

這與模型(3)中的約束條件一致。

(ii)必要性

這與改進的最小極差IPDQM模型中的目標函數一致。又由于有約束條件

這與改進的最小極差IPDQM模型中的約束條件一致。

為了說明基于整體公平度建立的IPDQM模型和算法與文獻[8]在各方公平性下所建立的TMDP模型的差異性，構造某公司甲乙丙丁戊5個部門的4組數據(見表5)，并對這4組數據進行對比分析，結果如表5所示。

表5 IPDQM模型算法與TMDP模型算法對比

從表5中可以看出，基于整體公平度的角度，所建立的IPDQM模型算法與從各方公平性的角度建立的TMDP模型算法是有區別的。例如：甲乙丙丁戊5個部門的人數分別為10、24、31、39、89，總席位為26個。經過分配IPDQM模型和算法的結果為1、3、4、6、12，TMDP模型和算法的結果為2、3、4、5、12。運用IPDQM模型和算法，甲得到的席位數少了1個，丁得到的席位數多了1個。這是由于IPDQM模型和算法考慮了分配的整體性，然而TMDP模型和算法僅僅考慮各個部門之間的關系，忽略了整體性的存在。從而也驗證了定理1，即當席位代表人數差量大于等于零時，IPDQM模型和TMDP模型等價。

3 基于整體公平度的人數代表席位差量最小極差數學模型

3.1 改進的最小極差數學模型

定義2設m個機構(簡稱m方)中有P人參與總席位的分配，第i方的人數為pi(i∈m)，所分配到的席位數為ni(i∈m)，稱為第i方相對于整體公平度倒數的人數代表席位差量。

minz=x-y，

(4)

3.2 算法

針對席位公平分配問題，根據啟發式算法[18-20]的思想，在席位分配過程中，通過各方人數代表席位的數值與整體公平度的倒數數值進行對比，刪除人數代表席位差量大于或者等于零的一方，運用改進的最小極差數學模型ISDQM對下一個席位進行分配，直到剩余的席位等于零為止，具體算法如下步驟。

3.3 IPDQM與ISDQM模型算法對比

案例4(數據來源于案例1)設某校有5個二級學院，這5個二級學院的學生人數分別為345、72、894、68、39，學校代表大會學生的席位為N個，請對席位進行合理分配。

為了說明IPDQM與ISDQM兩種模型算法的區別與聯系，本案例運用案例1數據和相關分配原則對它們進行說明，具體結果見表6。

表6 IPDQM模型算法與ISDQM模型算法結果對比

從表6中可以看出，當學校代表大會學生的總席位分別為47、48、50、101以及102時，模型IPDQM與模型ISDQM的算法結果相同。但當學校代表大會學生的總席位分別為30、99、100以及150時，以上兩種模型的算法結果不一樣，即某些二級學院所獲得的代表席位數不一樣。

4 結論

席位公平分配問題由于其在政治學、管理學以及對策決策等領域得到廣泛的應用而一直以來備受關注。基于整體公平度的角度，本文通過給出席位公平分配問題的席位代表人數差量的概念，提出了一種基于整體公平度最小極差PDQM的數學模型。為了尋求滿足Young的公理體系中公平分攤原則，對最小極差PDQM模型進行改進，進而提出了改進的最小極差IPDQM數學模型和算法。通過案例，將改進分配方法與現有的分配方法進行對比，說明了改進的最小極差IPDQM數學模型和算法的正確性與有效性。此外，為了研究席位代表數量和人數代表數量模型之間的關系，在席位代表人數差量的基礎上，定義了人數代表席位差量的概念，提出了基于整體公平度的人數代表席位差量改進的最小極差數學模型ISDQM。通過具體的案例進行分析，得出IPDQM數學模型算法與ISDQM數學模型算法之間的差異性。