基于非均勻有理B樣條的多尺度三維建模研究

胡學軍 李嘉誠

摘? 要：機械加工零件時，由于加工誤差的存在導致模型表面不夠光滑。傳統計算機輔助設計方法在構建機械零件模型時，無法對零件表面進行表達，因此提出一種隨機生成點的算法來模擬零件表面因粗糙度導致波峰、波谷的出現。為了保證生成的點在零件粗糙度范圍內，將某一范圍作為約束得到所需要點的坐標，然后將點插入利用非均勻有理B樣條表達的模型，使建模能夠更接近真實零件。最終得到的模型實現了宏觀尺度上模型結構的表達和微觀尺度上模型表面質量的表達。該算法實現點的隨機生成，生成數據有60%符合要求，可用于體參數化建模，實現模型宏觀結構與微觀波峰、波谷的表達。

關鍵詞：多尺度;非均勻有理B樣條;三維建模

中圖分類號：TP391.4? ? ?文獻標識碼：A

Research on 3D Modeling of Multi-scale based on Non-uniform Rational B-spline

HU Xuejun1， LI Jiacheng2

（1.School of Mechanical Engineering， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China;2.Energy and Mechanical Engineering， Shanghai University of Electric Power， Shanghai 200240， China）

Abstract： When machining parts， model surface is not smooth enough due to processing errors. Traditional computer-aided design method cannot express part surface when constructing the mechanical part model. Therefore， this paper proposes an algorithm of randomly generating points to simulate the appearance of the peaks and valleys caused by the roughness of part surface. In order to ensure that the generated points are within the roughness range of the part， a certain range is used as a constraint to obtain the coordinates of the required points， and then the points are inserted into the model expressed by non-uniform rational B-spline so that the modeling can be closer to the real part. The final model can realize the expression of the model structure on the macroscale and the expression of the surface quality of the model on the microscale. The algorithm realizes random generation of points， and 60% of the generated data meets the requirements and can be used for volume parametric modeling， realizing the expression of peaks and valleys of the model on both the macroscopic and microscopic structure.

Keywords： multi-scale; non-uniform rational B-spline; 3D modeling

1? ?引言（Introduction）

為了實現對機械零件的三維表達，依據不同的體參數化建模方式可以將其劃分為重建式和創建式[1-2]。重建式建模主要依據已有的參數信息完成模型的構建;創建式則是實現從無到有的建模方式，完成三維模型的構建。傳統三維建模方式一直將模型視為理想模型，只從宏觀角度對模型進行研究，忽略了模型表面粗糙度。這種方式雖然能夠大大減少建模工作量，但是模型的微觀結構卻難以體現[3]，因此對于一些微觀上的行為也就無從考證。

然而在機械加工過程中，由于機床加工精度的影響[4]，刀具經常會在零件的表面留下凹凸不平的痕跡。大部分痕跡粗加工后可以直接觀察到，精加工之后的零件可以利用顯微鏡等工具觀察到。為了對模型有更深入的研究，有學者提出了多尺度的概念，即宏觀尺度和微觀尺度。目前，國內外大多數學者主要將多尺度建模方法利用到復合材料上或用于有限元計算模型分析中。雷友鋒[5]建立了細觀復合材料模型，分析其對于宏觀模型性能的影響;郝寶坤[6]從多尺度出發，宏觀角度實現結構設計，微觀角度實現材料設計;陸新征等人[3]采用有限元多尺度計算方法，將微觀有限元模型更加自然地植入宏觀模型之中。

因此，本文通過將多尺度的概念與模型重建相結合，利用體參數化的方式實現三維模型宏觀結構以及微觀粗糙度表達。

2? ?基礎理論（Theoretical basis）

2.1? ?三維幾何模型及映射關系

三維幾何模型構建包含多種方法，其中體參數化模型適用于等幾何分析，在建模的過程中就完成模型的網格劃分，二維曲面模型的網格是四邊形，三維曲面模型的網格為六面體。體參數化得到的模型可以直接用于分析，對于CAD、CAE的集成具有推動意義。對于零虧格模型來說，體參數化的意義在于先創建二維模型和三維模型T，建模之前需要先建立T與正四邊形和正立方體之間的一一映射關系。對于多虧格模型，則需要先對其進行域分割，劃分成多個零虧格的子域，然后再建立映射關系[7]，如圖1所示。圖1中，①②③分別表示物理域到參數域，物理域單元體到參數域單元體和參數域到物理域的映射。

2.2? ?B樣條基礎理論

B樣條的性質包括：（1）仿射不變性：經過變換的B樣條仍為B樣條，且保持其性質不發生改變。（2）局部修改性：對于任意控制點P的坐標，當P發生改變的時候，只對其對應的節點矢量集有效。（3）連續、可微性：B樣條函數的基函數在節點矢量集合之中無限次可微。（4）曲線次數越低，B樣條曲線就越接近控制多邊形等[8]。

3? 點隨機生成算法（Points random generation algorithm）

為了模擬機械零件表面由于加工誤差導致凹凸不平的現象，本文提出一種通過修改控制點實現NURBS曲面形狀修改的方法。因為控制點容易修改，易于編程實現，對曲面整體影響比較小，所以基于粗糙度的原理限定模型表面控制點在一定范圍內進行變化。改變控制點得到加工曲面，其仿真效果如圖3所示。圖3（a）是沒有修改的NURBS曲面，圖3（b）是修改其中間控制點的坐標后得到的NURBS曲面，在不改變原模型邊界的情況下模擬機械零件表面的凹凸不平。

基于上述NURBS曲面的性質，本文提出根據時間種子隨機生成控制點的算法。根據模型表面微觀幾何形狀表面波峰與波谷間μ的大小，假設波峰、波谷與理想平面的距離相等，可以獲得零件加工表面最大尺寸和最小尺寸之差A;通過搜索需要修改模型表面控制點的NURBS面片，得到需要修改的控制點，記為P。為了模擬模型表面不同尺寸的隨機性，利用srand（（int）time（NULL））和rand（）%200-100，通過系統時鐘生成不同的隨機數種子X。判斷X的絕對值是否在A/2之內，將不符合條件的舍去。若符合要求的則z方向上坐標值與A之和重新賦值給原控制點P，即可得到一個隨機的控制點。算法流程圖如圖4所示。

4? 多尺度體參數化建模（Multi-scale volume parametric modeling）

4.1? ?體參數化建模

機械零件一般在幾何形狀上都是比較復雜的，涉及諸多尺寸，因此采用體參數化方式表達能夠實現一變多變的效果。通過設定動態的參數，可以驅動其他尺寸發生變化，實現模型的重新生成。由于大多數機械零件具有對稱性，因此構建部分模型之后，可以通過旋轉、拉伸、放樣等基本幾何變換得到完整的機械零件，這種方法能夠更好地提高建模效率。

體參數化建模有一個重要前提就是其必須為零虧格模型，但大多數機械零件是非零虧格模型。因此在建模之前需要將模型劃分成多個零虧格的四邊形或者六面體模型，如圖5所示為二維體參數化模型的劃分。通過將二維模型或三維模型劃分成四邊形或者六面體網格，再設定相對應的控制點，即可按照上述方法完成模型的建立。

為了能夠更好地研究機械零件表面粗糙度但又能觀察到零件幾何外形，首先建立宏觀模型，能夠直接觀察模型的幾何外形。對于分析而言，施加約束和力就更加方便了，不容易出錯。提取宏觀模型的部分區域，放大之后進行微觀尺度上的表達，展現零件表面的不平整或者波峰、波谷分布不均性。

4.2? ?宏觀尺度模型表達

機械零件的設計是一個復雜的過程，為了能夠表達模型表面一些圓孔等特征，需要從宏觀尺度進行零件的結構設計。如圖6所示為一片圓孔板，板子上存在三個圓孔，所以該零件為多虧格模型。為了實現該模型表達，需要先對圓孔板進行域分割，連接外輪廓線以及三個圓孔線即可將模型劃分成連通區域。確定模型的尺寸、NURBS曲線的次數、節點矢量之后，即可完成模型結構表達。

4.3? ?微觀尺度模型表達

選取宏觀模型的局部區域進行微觀建模。由于通過隨機生成控制點算法給定波峰、波谷間大小A=10（單位為μm）之后，生成的數值需要在A/2之內，因此篩選隨機生成的數字X判斷點是否在此范圍內。若在此范圍內，則保留并賦予需要改變NURBS面上的中心控制點P;若不在此范圍內則刪除，如表1所示。

得到上述隨機生成的數據后，通過X|≤A/2篩選符合要求的控制點，將符合條件的數值進行重新排序，再賦值給要求改變的控制點。通過算法生成的數據中共有16 組數據符合要求，取滿足要求的前12 組數據帶入三維模型得到如表2所示的新控制點在z方向上的坐標大小。

然后，通過體參數化建模得到如圖7所示的局部微觀尺度模型的表面。通過從u、v兩個方向對模型表面進行觀察，可以看到模型表面模擬出機械零件表面凹凸不平的情況。通過將該方法拓展到整個模型表面，在理論上即可得到存在粗糙度的零件模型。

5? ?結論（Conclusion）

本文利用體參數化建模的方法，站在多尺度的角度，從整體和局部兩個方面對模型進行表達。模擬機械加工零件表面粗糙度，給出了數值隨機生成算法，然后將其重新賦予需要改變的控制點。在給定A=10的情況下，求解得到16 組數據，最終篩選得到12 組符合在給定A的情況下的隨機生成點，通過將這12 組生成點分別重新插入體參數化模型，得到微觀粗糙度模型表達。該方法對于三維建模來說具有一定的意義，能夠從微觀尺度上對機械零件進行研究。但是想要將微觀尺度的模型完全轉換為宏觀模型是需要大量的數據支持的，因此本方法在今后的計算機輔助設計建模研究中具有一定的啟發意義。

參考文獻（References）

[1] AKHRAS H A， ELGUEDJ T， GRAVOUIL A， et al. Isogeometric analysis-suitable trivariate NURBS models from standard B-Rep models[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2016， 307（1）：256-274.

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[3] 陸新征，林旭川，葉列平.多尺度有限元建模方法及其應用[J].華中科技大學學報（城市科學版），2008（04）：76-80.

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[7] 陳龍，劉玉生，徐崗.體參數化模型離散調和映射生成[J].中國圖象圖形學報，2015（04）：568-575.

[8] 朱秉鐸.基于NURBS的復合材料構件多尺度設計與制造一體化技術研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業大學，2019.

作者簡介：

胡學軍（1997-），男，碩士生.研究領域：結構拓撲優化.

李嘉誠（1999-），男，碩士生.研究領域：CAD圖形學.