內置圓球陣列的Rayleigh-Bénard熱對流傳熱特性

劉 壯，周 全

(上海大學 上海市應用數學和力學研究所，上海 200072)

0 引 言

在自然界和工程生產中，存在許多的對流現象，例如：地球上的大氣和海洋對流，晶體生長和金屬制備過程中的對流等。Rayleigh-Bénard（RB）湍流熱對流模型是一種從眾多自然現象中抽象出來的經典對流模型[1-4]。Rayleigh-Bénard湍流熱對流簡單的描述就是在一個封閉的充滿介質的對流槽內，下板加熱，上板冷卻，形成溫差，下板附近熱的流體受熱膨脹在浮力作用下向上運動，上板附近冷的流體密度變大在重力作用下向下運動，由此形成了熱對流。而自然界工程生產中除了上述對流現象外，還有一些其他對流現象，例如：礫石路堤中的對流[5]，地熱能回收過程中[6-7]的熱對流以及填充床反應器中的對流[8]。這些對流現象中的不同之處在于，對流介質在發生流動時會受到其他物體的影響。礫石會影響水在對流過程中的流動方向，填充床中的填充物會影響反應效率。研究者把這些對流現象稱為多孔介質自然熱對流[9-15]。

傳統Rayleigh-Bénard（RB）對流系統中有三個控制參數，分別是Rayleigh數Ra=αgΔTH3/(υκ)，Prandtl數Pr=υ/κ ， 對流槽寬高比 Γ=L/H，其中α為對流介質的熱膨脹系數，g為重力加速度， ΔT為上下板溫差，H為系統的高度，υ為運動黏性系數，κ為熱擴散系數，L為系統水平長度。本文在傳統RB對流系統中加入有機玻璃實心圓球，所以在內置圓球RB對流系統中還有一個控制參數孔隙度φ，孔隙度[16]的計算方法為：

其中，VS為 加入圓球的總體積，V為對流槽的總體積。Ra數表征的是系統無量綱化的溫差；Pr數是流體本身的屬性，表征的則是流體的動量擴散與熱擴散之間的相對強弱。系統對流傳熱的響應參數是Nusselt數Nu=J/(λΔT/H)，其中J為熱流量密度，λ為對流介質的熱傳導系數。Nu數表征的是對流傳熱的效率。

1 研究現狀

為了模擬多孔介質熱對流，研究者對Darcy型對流進行了各種研究，相關的數值模擬主要是基于粗粒度的宏觀模型[13,17-19]。近些年來Darcy型對流的數值研究已經擴展到非常高的Ra數，并且觀察到Nu數相對于Darcy-Rayleigh數Ra*的線性標度律[17-18]（Ra′′=RaDa，Da為Darcy數）。壓力驅動的多孔介質流動在Darcy體系中的輸運和混合過程已經取得了顯著的進展。運輸動力學受孔隙中速度概率密度函數的制約，尤其是在低速范圍內的速度分布，這在多孔介質中異常或非定常的輸運行為中起著關鍵作用[20]。使用連續時間隨機游走方法對非均質流場中的異常輸運行為進行建模，以解釋孔隙中平流時間廣泛分布的影響, 大概率出現的低速度區域會導致持續的反常的non-Fickian行為[16,21-23]，即隨著孔隙度提高，在相應長時間內的位移方差與Fickian行為相比會出現比較明顯的偏移。Dentz[24]等研究了三維多孔介質中層流在孔隙空間中的擴散機理。確定了兩種不同的流動區域，第一個區域的特點是平流停留時間在單孔中分布很廣，第二個區域的特征是隨著固體顆粒向低速區的擴散傳質。Souzy[25]等測量了由隨機堆積的固體球組成的各向同性多孔介質中的三維速度場。發現低速下速度值的分布是平坦的，這與Dentz等的數值結果是一致的。在粗粒多孔介質中，與流體中的流動和熱長度尺度相比，固體多孔材料的長度尺度并不小，Darcy模型不再有效。Keene和Goldstein[26]研究了以壓縮氬作為飽和流體，直徑為25.4 mm球形聚丙烯珠用簡單立方包裝排列方式填充在279 mm×279 mm×279 mm對流方腔中的系統傳熱。其中壓力在5.6～77 bar之間變化，得到了1.68×109＜Ra＜3.86×1011的高Ra數區間內的傳熱結果，他們還結合Kladias和Prasad[20]等的數據，分析得出，在高Ra數下，除非固相具有較高的導熱性，否則多孔介質中的傳熱會逐漸接近均質流體層中的傳熱行為。2019年Iman等和Manu等[21-22]分別用實驗和數值研究了方腔中相同孔隙度下不同材料多孔介質對傳熱的影響，結果發現低Ra數下，對流傳熱會被減弱；高Ra數的漸近范圍內，Nu數與粗粒多孔介質大小無關，但明顯依賴于流體和多孔介質的導熱性能。Liu等[16,23]通過二維數值模擬發現圓形填充物陣列在傳熱方面有兩個相互競爭的影響。一方面，脈動溫度與垂直速度的相關性增強，逆梯度對流換熱受到抑制，流動變得更加一致，從而傳熱增強。另一方面，由于圓形填充物陣列的阻抗，對流強度降低，導致傳熱降低。結果表明Nu數跟孔隙度大小以及球形填充物排列方式有關。

然而，目前還沒有相關實驗探究在內部添加圓球填充物，通過改變圓球的排列方式、排放位置及圓球直徑的大小來調節孔隙度的大小，以測定孔隙度對系統傳熱效率的影響，本文的目的就是完成這一項工作。

2 實驗裝置及方法

圖1是本實驗對流槽示意圖，對流槽的長Lx=240 mm，寬Ly=60 mm，高H= 120 mm，對應的寬高比分別為 Γx=Lx/H=2， Γy=Ly/H=0.5。對流槽由上下導板和有機玻璃邊壁組成。其中上下導板用紫銅制作（導熱系數為400 W/(m·K)），導板表面電鍍了一層很薄的鎳以防止紫銅被空氣氧化。有機玻璃的厚度為8mm，利用四根直徑為8 mm的不銹鋼柱將上下導板和有機玻璃邊壁固定在一起。下導板為加熱板，內部嵌入一片厚度約為1 mm，大小為240 mm×60 mm的矩形加熱片，加熱片與小型直流電源（GPD-3303S，最大輸出電流為3 A，最大輸出功率為180 W，穩定性高達99.9%）。上導板為冷卻板，內部設計了可以通過水流的槽道，連接水冷機（Polyscience 9702，溫度控制精度0.01℃）以使其冷卻并保持溫度恒定。在上下導板內分別插入直徑約為2.5 mm的溫度探頭（OMEGA TH-44008，溫度穩定性為±0.02℃），連接溫度采集儀（AGIENT Keysight 34972A）采集溫度探頭的電阻數據并保存到電腦，利用溫度探頭的溫度-電阻標定曲線，測定溫度數據進行后續相關計算。

圖1 實驗裝置示意圖Fig. 1 Schematic diagram of experimental device

實驗中所采用的對流介質為水，Pr數固定為5.5，我們在對流槽內部加入直徑分別為D= 30 mm、20 mm的有機玻璃實心圓球，通過改變圓球大小、排列方式及排放位置來探究內置圓球填充物對傳統RB熱對流的湍流傳熱影響。需要強調的是實驗中圓球采用的材料是PMMA有機玻璃，其導熱系數相較于對流介質水來說要小得多，所以將圓球看作絕熱填充物。另外，我們先在側壁打一直徑為2 mm的半深孔，有機圓球內部同樣打孔，然后用相同材料的有機玻璃棒把圓球串起來后插入側壁孔中，黏合對流槽時將其固定，有機玻璃棒與圓球之間、以及圓球與圓球之間是緊密接觸的，所以圓球不會發生移動或者旋轉。此外，為了減少系統漏熱，在對流槽外測包裹兩層保溫棉，并且在實驗過程中，保持實驗室溫度穩定。

3 實驗結果及分析

圖2為雙對數坐標中不同孔隙度條件下，測得的Nu數隨Ra的變化情況。當φ= 1時，此時沒有添加圓球填充物即為傳統RB對流系統，Nu數與Ra數存在著Nu～Ra0.30這一標度律關系，圖2中給出了與Grossmann-Loshe（GL）理論[27-29]中方形對流槽的數據對比結果，具有很好的吻合性，實驗結果得到了很好的驗證。本文中加入圓球后所測得的Nu數測量誤差均不超過1%。

本文設置了一組對照實驗，用直徑相同的圓球填充物（直徑D= 30 mm）填充兩個大小相同的對流槽，其中工況1（φ = 0.497）中的圓球規則填充在整個對流槽當中，圓球與上下導板均緊密接觸；工況2（ φ =0.623）中的圓球規則填充在距離上下導板為15 mm的對流槽內部。圖2給出了對照實驗的結果，對于工況1（φ= 0.497），當5×107＜Ra＜1×108時，此時溫差較低，對流槽內湍流度較低，填充圓球對整個系統的影響較小，系統的整體傳熱與傳統RB對流的情況相當；當Ra＞1×108時，上下導板附近的溫度邊界層變得更薄，圓球填充物之間的有序流動促進了羽流的生成與發射，系統的整體傳熱明顯高于傳統RB對流的情況。對于工況2（φ = 0.623），當Ra＜1×108時，此時系統的整體傳熱與傳統RB對流的情況相當；當Ra＞1×108時，系統的整體傳熱顯著高于傳統RB對流的傳熱。對比工況1 和工況2，發現 φ = 0.623工況下Nu數的增強幅度要高于 φ = 0.497工況下Nu數的增強幅度。因為前者對流槽內的流體比后者要多，在相同Ra數時，有更多的流體在對流槽內流動進行熱交換因此Nu數提升的幅度更大。在較高Ra數時，兩種工況下Nu數提高效率都趨于穩定。

圖2 Nu數隨Ra數的變化關系 (黑色實心圓點對應傳統RB對流系統的結果(φ = 1)，黑色直線表示GL模型的結果，紫色五角星實心點對應使用圓球填充物規則填充整個對流槽 (φ = 0.497)，金色三角形實心點對應使用圓球填充物規則填充與上下導板間距為h1 = h2 = 15 mm的區域 (φ= 0.623))Fig. 2 The relationship between Nu number and Ra number.The black solid dot corresponds to the result of the traditional RB convection system (φ = 1), the black straight line represents the results of the GL model, and the purple five-pointed star solid dot corresponds to the regular filling of the entire convection groove with a spherical filler (φ = 0.497), the golden triangle solid point corresponds to the area where the distance between the upper and lower guide plates and the upper and lower guide plates is h1 = h2 = 15 mm (φ= 0.623)

為了研究不同填充區域對系統傳熱的影響，本文設置了第二組對照實驗，用直徑相同的圓球（直徑D= 30 mm）填充三個大小相同的對流槽，其中工況2（ φ = 0.623）的 填 充 區 域 與 上 下 導 板 距 離 為h1=h2=15 mm，工況3（φ = 0.874）的填充區域與上下導板距離為h1=75 mm，h2=15 mm，工況4（φ = 0.874）的填充區域與上下導板距離為h1=h2=45 mm。圖3給出了對照實驗中不同工況Nu數隨Ra數的變化關系。從圖3中可以看到，當Ra＜1×108時，對比傳統RB對流的Nu數，三個工況的Nu數沒有明顯差別；當Ra＞1×108時，三個工況的系統傳熱均高于傳統RB對流的傳熱。這是因為在這三個工況中，圓球填充區域內部形成了穩定的對流通道，系統的整體流動更加有序，上下導板促發的羽流可以更加高效地將熱量從邊界層區運輸到主流區。然而隨著Ra數的增大，工況2傳熱增大的幅度逐漸高于工況3和工況4。這是因為在對照實驗中，工況2的圓球填充區域大于工況3和工況4的圓球填充區域，在圓球填充區域形成的對流通道更穩定，系統的整體流動也更有序。而工況3和工況4的對流槽內部雖然也布置了圓球填充物，但數目太少且只有一層，當羽流通過圓球之間的通道后不能維持穩定有序的流動狀態。從結果上看，工況3和工況4的孔隙度 φ相同，傳熱增強的幅度也基本相同，說明高孔隙度 φ下，圓球在對流槽內部的位置對傳熱增強效率影響不大；在高Ra數時，三種工況Nu數增大的幅度均趨于穩定。

圖3 Nu數隨Ra數的變化關系 (黑色實心圓點對應傳統RB對流系統(φ = 1)，黑色直線表示GL模型的結果，藍色右向三角形實心點對應使用圓球填充物規則填充與上下導板距離為h1 =75 mm，h2 = 15 mm的區域(φ= 0.874)，紅色正方形實心點對應使用圓球填充物規則填充與上下導板距離為h1 = h2 = 45 mm的區域(φ = 0.874))Fig. 3 The relationship between Nu number and Ra number.The black solid dot corresponds to the traditional RB convection system (φ = 1), the black straight line represents the results of the GL model, and the blue right triangle solid dot corresponds to the regular filling of the spherical filler and the distance between the upper and lower guide plates is h1 = 75 mm , h2 = 15 mm area(φ = 0.874), the red square solid point corresponds to the area where the distance between the upper and lower guides and the upper and lower guide plates is h 1 = h 2 = 15 mm (φ = 0.874)

為了研究圓球填充物尺寸對系統傳熱的影響，我們設置了第三組對照實驗，分別用兩種不同直徑的圓球填充大小相同的對流槽。兩個工況的填充區域與上下導板間距均為h1=h2=15 mm，其中工況2（φ =0.623）圓球的直徑為D= 30 mm，工況5（φ = 0.775） 圓球直徑為D= 20 mm。圖4給出了兩個工況的Nu數隨Ra數的變化關系。結果顯示，相較于傳統RB對流，當Ra＜1×108時，這兩種工況下Nu數無明顯變化；當Ra＞1×108時，兩種工況的結果均大于傳統RB系統的傳熱。從圖中可以明顯地看到，工況2增大的幅度要高于工況5的幅度，這因為工況5中圓球的直徑要小于工況2中圓球的直徑，球與球之間形成的對流通道更加狹窄，對流通道中的流動也更加緩慢，導致羽流的熱輸運效率更低，因此工況5的傳熱Nu數要低于工況2的傳熱Nu數。隨著Ra數的逐漸增大，兩種工況下Nu數增大的幅度同樣會趨于穩定。

圖4 Nu數隨Ra數的變化關系(黑色實心圓點對應傳統RB對流系統(φ = 1)，黑色直線表示GL模型的結果，綠色倒三角形實心點對應使用直徑D = 20 mm的圓球填充物不規則填充與上下導板間距為h1 = h2 = 15 mm的區域 (φ= 0.775)，金色三角形實心點對應使用直徑D = 30 mm的圓球填充物規則填充與上下導板間距為h1 = h2 = 15 mm的區域 (φ = 0.623))Fig. 4 The relationship between Nu number and Ra number.The black solid dot corresponds to the traditional RB convection system (φ = 1), the black straight line represents the results of the GL model, and the green inverted triangle solid dot corresponds to the irregular filling and up and down using spherical filling with a diameter of D = 20mm. The area where the distance between the guide plates is h1 = h2 = 15 mm (φ = 0.775), the golden triangle solid point corresponds to the irregular filling with a diameter of D = 30mm the area where the distance between the upper and lower guide plates is h1 = h2 = 15 mm (φ = 0.623)

為了更清楚地說明填充物對RB對流系統傳熱的影響，我們將三組對照實驗的五種不同工況的Nu數結果畫到一起，如圖5所示。從圖中可以看到，在本文研究的Ra數的范圍內，當Ra數較低時，所有工況的系統傳熱均與傳統RB對流系統的傳熱相當；當Ra數較高時五種工況的系統傳熱相對于傳統RB對流都有所增強，這說明在對流槽內填充圓球可以增強RB對流的系統傳熱。其中工況1、工況2、工況3、工況4、是采用相同大小的圓球填充對流槽，不難發現，加入圓球后，都是在高Ra數下提高系統傳熱，但從孔隙度的變化來看，系統傳熱的增強幅度并不是與孔隙度呈單調變化，當孔隙度由 φ = 0.874減小到 φ = 0.623后，系統傳熱的增強幅度是變大的，但當孔隙度由 φ = 0.623進一步減小到 φ = 0.497時，系統傳熱的增強幅度并沒有繼續變大，反而是降低的，這說明加入圓球調節傳熱是一種可行的方式 。

圖5 五種工況下Nu數隨Ra數的變化關系Fig. 5 The relationship between Nu number and Ra number under 5 working conditions

圖6為五種工況下NuRa?0.30隨Ra數的變化情況，圖7為五種工況下Nu(φ)/Nu(1)隨Ra數的變化情況。根據圖6可以發現，對比不同孔隙度 φ下，在較低Ra數區間（5×107＜Ra＜3×108）內，相近Ra數下NuRa?0.30的大小比較明顯的變化，且呈逐漸增大的趨勢，這意味著傳熱效率出現提升，且不同孔隙度 φ的提升幅度也有差別，而在較高Ra數區間（3×108＜Ra＜2×109）內，NuRa?0.30的值呈現先減小再增大的趨勢，但變化幅度非常小，基本上趨于穩定。

圖6 五種工況下NuRa?0.30數隨Ra數的變化關系Fig. 6 The relationship between NuRa?0.30 number and Ra number under 5 working conditions

不同孔隙度下，在Ra數由低向高的變化過程中發現，在Ra= 2.7×108附近，Nu數會出現一個小峰值，此時填充圓球對系統的傳熱提高效果最為顯著。這可能是因為在該Ra數附近，填充圓球對羽流的有序性流動影響最為明顯。結合圖7的結果，發現在孔隙度 φ = 0.623時，傳熱提高效率最為明顯，Nu數的增幅可達16%，而在其余4種工況下，傳熱效率同樣有所提升，Nu數的增幅最高可達7%。

圖7 五種工況下Nu(φ)/ Nu (1) 數隨Ra數的變化關系Fig. 7 The relationship between Nu(φ)/Nu(1) number and Ra number under 5 working conditions

4 結 論

本實驗以長方體RB湍流熱對流系統為研究對象，通過給對流槽內部加入不同數目及不同大小的圓球，調節不同的孔隙度φ，精確測量了新系統湍流傳熱效率Nu數，研究了圓球不同孔隙度對Nu數的影響。實驗結果表明，在系統內部添加圓球填充物，可以改變系統的傳熱Nu數。在本文研究的參數范圍內，主要的結論有：

1）在低Ra數的情況下，填充圓球對系統傳熱影響不大，系統的傳熱沒有明顯的變化。

2）在高Ra數的情況下，系統內的圓球之間會形成較為穩定的對流通道，從上（冷）下（熱）導板發射的冷（熱）羽流可以沿著對流通道有序流動，從而提高系統的傳熱效率，填充圓球起到了穩定流場的作用，這與Chong等[30]提到的適當強度的穩定力可以通過增加流動一致性來強化傳熱這一結論是吻合的。

3）在高Ra數的情況下，當圓球與上下導板留有足夠空間時，對于相同直徑的圓球，圓球填充的區域越大，系統的傳熱增強的幅度越大。

4）在高Ra數的情況下，當圓球與上下導板留有足夠空間時，若圓球填充的區域相同，圓球直徑較大時，系統的傳熱增強的幅度較大。在本實驗中，當孔隙度 φ = 0.623時，Nu數的提升最大達到16%。

傳熱效率是RB湍流熱對流系統中的核心問題之一，我們通過實驗發現在對流槽內部填充圓球可以增強長方體 RB 湍流熱對流系統的傳熱，傳熱效率增強的幅度與填充圓球數目及填充位置有關，當圓球距離上下導板一定高度且規則填充時，增強幅度最大。本文證明了填充圓球可以調節RB湍流熱對流系統的傳熱效率，但目前實驗并未找到提高傳熱效率的最佳填充位置和最佳填充數目，同時改變填充圓球的材料是否也會影響系統的傳熱，這都是值得探索的方向。