帶干擾的廣義泊松風險模型最優預防策略

周 瑾，王傳玉，陳 哲

(安徽工程大學 數理與金融學院，安徽 蕪湖 241000)

傳統的經典風險模型是在1903年由Filip Lunberg[1]提出的，定義了在經典風險模型中的索賠次數為泊松過程。保費收取時間為連續的過程，是在調節系數存在唯一性、相對安全負載和獨立性條件下得到的破產概率結果。隨后Gerber[2]在1970年最先提出了帶干擾的經典風險模型，其中擾動項是一個方差為2D(D>0)的布朗運動，將破產分為理賠引起的和干擾引起的兩種情況。此外，Durfesene等[3]直觀地導出了生存概率和破產概率滿足的瑕疵更新方程，由此也導出了理賠與干擾滿足的瑕疵更新方程，若再利用調節系數將這些瑕疵更新方程化為適定更新方程，便可分別導出索賠及干擾引起的破產概率，從而也就導出了破產概率的Lunberg近似。彭勤文[4]考慮了一種帶干擾的風險模型，其中保費收入過程和索賠計數過程均為常數率的泊松過程。運用鞅方法求得其破產概率及其上界，并討論了調節系數與破產概率之間的關系。方世祖等[5]研究了帶干擾的經典風險模型，討論了盈余過程的鞅性和馬爾科夫性，利用鞅方法求得相應的破產概率表達式。傅立群等[6]研究了盈余過程服從復合泊松，且分紅決策時間服從Erlang(2)分布下對偶中的最優分紅。利用數值模擬的方法，分別描述了最優分紅策略與利率、分紅頻率、波動率、費用率的關系。周金樂等[7]研究了帶擾動的廣義Erlang(n)對偶風險模型，并在利潤額服從指數分布時，得出了直到破產為止總的紅利貼現值的期望值表達式。

廣義泊松分布最早是1973年由Consul[8]提出，指的是一種具有附加參數的廣義泊松分布，以及作為某一模型極限形式下得到的廣義泊松分布，并根據附加參數取值的正負來決定廣義泊松分布的方差與均值之間的關系，為大多數模型提供了一種方法來計算其期望，以表明廣義分布對一些二項、泊松、負二項數據提供了很好的擬合。龔日朝等[9]將索賠發生由之前的泊松分布推廣為廣義泊松，并解決了多個索賠同時到達的問題。陳雪嬌[10]在考慮將單一險種推廣為雙險種的前提下，研究了雙險種的廣義泊松風險模型。推導出了破產概率所滿足的積分表達式以及上界，并在索賠額服從指數分布時給出了破產概率的具體表達式。

1972年，Ehrlich等[11]提出將自我保護(減少損失的規模)和自我保險(減少損失的可能性)兩類預防分開。在保險公司的實際經營當中，自我保險就相當于再保險，自我保護就相當于預防策略。Dionne等[12]提出了預防可以降低索賠到達的強度的經濟學假設。Gauchon等[13]在前人的基礎上，首次將最優預防策略與經典風險模型整合，研究了經典風險模型的最優預防策略。證明了在經典的有預防的破產模型中，實現破產概率最小的預防量使調節系數最大化，以及在有紅利的破產模型中達到破產前的期望紅利最大化。研究還指出，如果一個人的目標是在固定的時間范圍內使得平均盈余最大化，那么最優的預防策略是不同的。

相比于經典風險模型最優預防策略，帶干擾的廣義泊松風險模型最優預防策略還考慮到了其他不確定實際收入對廣義泊松的影響，更為貼近現實生活情況。因此，本文在Romain[13]的結果上進行推廣，將干擾、廣義泊松過程引入到經典風險模型最優預防策略中，運用鞅方法得到了該模型的破產概率的一般表達式，在索賠服從指數分布的情形下，給出了生存概率和使風險達到最小的最優預防量的精確表達式，最后分別畫圖分析擾動對調節系數以及生存概率的影響和服從指數分布下的理賠額參數對調節系數以及生存概率的影響。

1 建立模型

(1)

本文假設λ(p)在[0，c]是一個正的、遞減的嚴格凸的二階連續函數。

(1)λ(·)為正意味著不能阻止一切風險。這個假設的解釋是，如果λ(·)可以等于0，它將允許一些套利機會。

(2)λ(·)遞減意味著預防可以降低索賠到達的強度。

(3)λ(·)嚴格凸意味著預防費用越高，索賠頻率的額外減少會減少。

(2)

式中，μ=E[Xi]<∞。

定義1安全荷載系數：

(3)

定義2 破產時刻Tu=inf{t;U(t)<0}，最終的破產概率ψ(u,p)=p{Tu<∞|U(0)=u}。下面需要準備一些引理：過程{U(t):t≥0}是一個右連續的隨機過程，且具備平穩獨立增量；過程{U(t):t≥0}存在調節系數方程；調節系數方程g(k(p))=0存在符合條件的正解k(p)；對過程{U(t):t≥0}構造一個鞅。

2 預備引理

引理1過程{U(t):t≥0}是一個右連續的隨機過程，且具備平穩獨立增量。

證明根據{Xi}、{N(t)}、{W(t)}的連續性，易知過程{U(t):t≥0}是一個右連續的隨機過程。對任意的0≤t1≤t2≤…≤tn…有

因為{Xi}、{N(t)}、{W(t)}是相互獨立的，故

N(t2)-N(t1),N(t3)-N(t2),…,N(tn)-N(tn-1),…

W(t2)-W(t1),W(t3)-W(t2),…,W(tn)-W(tn-1),…

上述三式也是相互獨立的，因此{U(t):t≥0}為獨立增量過程。

根據文獻[14]有

U(t+s)-U(t)=

綜上所述，過程{U(t):t≥0}具有平穩獨立增量性。

引理2存在函數g(k(p)),使得E[e-k(p)U(t)]=etg(k(p))。

證明

式中，MXi(k(p))=E[e-k(p)Xi]為Xi的矩母函數。所以，存在函數g(k(p))使得E[e-k(p)U(t)]=etg(k(p))。

引理3 設索賠Xi服從參數α的指數分布，則方程g(k(p))=0存在符合條件的正解k(p)。其中k(p)為調節系數。

證明

(4)

該三次方程3個解分別為：k(p1)、k(p2)、k(p3)。

其中，

k(p)1=0,

(5)

(6)

(7)

k(p)1=0為平凡解，k(p)2、k(p)3為正解。另外在索賠Xi服從參數α的指數分布時，有k(p)<α，從上述的正解來看，只可以考慮k(p)<α的解，故符合條件的正解為k(p)2。即調節系數表達式為

證明

引理5Tu是FU停時[13]。

下面需要先證明破產概率所滿足的Lundberg不等式，接著對破產概率所滿足的確定性表達式進行求解，最后證明最優預防量與初始盈余的關系以及最優預防量和生存概率的關系。

3 模型求解

定理1 在帶干擾的經典風險模型的預防過程{U(t):t≥0}中，最終破產概率滿足不等式

ψ(u,p)≤e-k(p)u,

(8)

式中，k(p)為調節系數，滿足g(k(p))=0。

證明因為Tu是FU一停時，選取t0<∞,易知t0∨Tu是FU一停時，又根據停時定理，得到

e-k(p)u=Mu(0)=E[Mu(t0∧Tu)]=

E[Mu(t0∧Tu)|Tu≤0]P{Tu≤t0}+E[Mu(t0∧Tu)|Tu>0]p{Tu>t0}=

E[Mu(Tu∧t0)|Tu≤t0]=p{Tu≤t0}=E[Mu(Tu)|Tu≤0]p{Tu≤t0}。

(9)

在T(u)<∞的條件下，U(Tu)<0，得到

(10)

在上式兩端令t0→∞，得到

(11)

定理2 在帶干擾的經典風險模型的預防過程{U(t):t≥0}中，則最終破產概率為

(12)

證明Tu是破產時刻，對任意常數t，Tu∧T為有界停時，根據有界停時定理得

e-k(p)u=E[X(Tu∧t)]=E[X(0)]=

E[X(Tu∧t)|Tu≤t]P{Tu≤t}+E[X(Tu∧t)|Tu>t]P{Tu>t}=

E[e-k(p)U(t)|Tu≤t]P{Tu≤t}+E[e-k(p)U(t)|Tu>t]P{Tu>t}。

(13)

當t→∞時有

(14)

令a=(c-p)-λ(p)E(X)E(Y)>0

b2=λ(p)(D2(Y)E2(X)+E2(X)E2(Y)+D2(X)E2(Y)+β2,

(15)

可得

E(U(t)]=u+at,var[U(t)]=b2t,

(16)

E[e-k(p)U(t)|Tu>t]P{Tu>t}=

E[e-k(p)U(t)I0≤U(t)≤Q(t)|Tu>t]P{Tu>t}+E[e-k(p)U(t)IU(t)≥Q(t)|Tu>t]P{Tu>t}。

(17)

當T>t時，U(t)>0，所以X(t)=e-k(p)U(t)≤1。因此對于式(17)右邊第一項，由切比雪夫不等式可得

E[e-k(p)U(t)I0≤U(t)≤Q(t)|Tu>t]P{Tu>t}≤E[I0≤U(t)≤Q(t)|Tu>t]P{Tu>t}≤

(18)

對于(17)式右邊第二項有

E[e-k(p)U(t)IU(t)>Q(t)|Tu>t]P{Tu>t}≤e-k(p)Q(t)。

(19)

因此，當t→∞時，式(17)趨于0，因此有

e-k(p)u=E[e-k(p)U(t)|Tu<+∞]P{Tu<+∞}。

(20)

由此可知,

(21)

定理3在帶干擾的經典風險最優預防策略模型中，當理賠{Xi}服從參數為α的指數分布時，最終的破產概率為

(22)

因此有

P{-U(T)X|T<∞}=1-e-αx,

(23)

對式(23)求導有

所以有

(24)

2p-2c-β2α+2β2[λ′(p)+α]>0，

(25)

并且有

(26)

該最優預防量與初始盈余u無關。

(27)

(28)

式中,

(29)

(30)

k″(p)=

(31)

因為2p-2c-β2α+2β2[λ′(p)+α]<0，如果

由式(16)、(19)以及λ(·)的嚴格凸性，對于所有的p∈R+，φ′(0,p)≤0,有φ″(0,p)<0。

有φ″(0,p)=

現在證明如果φ′(0,0)≤0，那么對于所有的p>0，有φ′(0,p)≤0和φ″(0,p)<0。可以將證明限制在情形φ′(0,0)<0，因為在0的鄰域內，φ′(0,0)=0意味著φ″(0,p)<0，這反過來意味著，φ′(0,·)是0的鄰域中的遞減函數。

在這個目標中，我們定義I?R+,有

(1)0∈I。

(2)φ″(0,p)≤0對于所有的p∈I都成立。

(3)如果J=[a,b]?R+也就意味著0∈J且對于所有的p∈J都有φ″(0,p)≤0成立，且J?I。

如果I=R+，證明了期望的結果。否則，它意味著存在一個a>0，使得I=[0,a]。但是在這種情況下，因為φ″(0,·)是連續的，中間值定理告訴我們，將有φ″(0,a)=0。根據定義，在區間I上，φ″(0,·)為負，φ′(0,·)遞減。由于φ′(0,0)<0，會有φ′(0,a)<0，必然有φ″(0,a)<0，這與I=[0，a]時得到的結果φ″(0,a)=0相矛盾。則I=R+。

如果φ′(0,0)<0成立，就意味著φ′(0,·)是一個遞減函數，這就表示不需要在預防策略上進行投資。因此應該有φ′(0,0)>0，等價于φ(0,·)在0附近的鄰域增加，這就意味著預防可以起到降低風險的作用。

(32)

(33)

因為改變時間尺度不會影響無限時間下的破產概率，這就意味著存在一個時間t滿足下列條件：

ψ(u,p)=P(U(t,p)<0)=P(U2(t,p)<0)。

(34)

這里盈余過程U2(t,p)定義為

(35)

(36)

(37)

另外可以從式(36)、(37)推出：

圖1 預防量與生存概率的關系圖

4 數值模擬

本文考慮了擾動、索賠計數過程為廣義泊松過程，索賠服從指數分布等因素，下面將分別分析擾動對調節系數和生存概率的影響，理賠參數對調節系數和生存概率的影響。

首先，先對擾動對調節系數和生存概率的影響進行分析。設保費c=10，經營不確定性的擾動率β=10，預防量p=1.8，索賠額參數α=0.8服從指數分布，選取不同的擾動率，運用Matlab求解方程，得到相應的調節系數，進而通過式(23)得到生存概率的精確值。分別畫出相應的擾動與調節系數，調節系數與生存概率，擾動與生存概率的圖像如圖2～4所示。對于不確定支出和收入來看，由圖2中可以發現,隨著擾動的增大，調節系數會不斷地減小。由圖3中可以發現，調節系數不斷增加會導致生存概率不斷增大。由圖4中可以發現，隨著擾動的不斷增加，其生存概率會不斷地減小。針對不同的初始盈余，隨著擾動的增加，其生存概率的減小幅度也有很大的區別。對于保險公司來說，準備一部分的初始盈余資金是很有必要的。

圖2 擾動與調節系數的關系圖 圖3 調節系數與生存概率的關系圖

圖4 擾動與生存概率的關系圖 圖5 參數α與調節系數的關系圖

然后，對理賠參數對調節系數和生存概率的影響進行分析。以理賠參數α為例分析，設擾動率β=5，保費c=10，最優預防量p*=1.8，參數α取值為0.2到5，步長為0.05，利用Matlab畫出參數α與調節系數的關系如圖5所示。由圖5可見，隨著參數α的增加，保險公司的理賠均值會減小，意味著保險公司的理賠總量就會相應的減小。同樣參數α的增加使得調節系數會不斷地增加。另外，調節系數不斷地增加也會導致生存概率不斷地增加。也就意味著參數α的增加，最終會導致生存概率增加。

5 結論

本文研究索賠次數為廣義泊松過程下的帶擾動的風險模型的最優預防策略,研究發現針對其不同的初始盈余，其最優預防量均保持一致且使得生存概率達到最大化。然后，在保持最優預防量的條件下，通過Matlab畫圖分析了擾動β以及理賠參數α對生存概率的影響。研究的意義在于分別考慮了保險公司的不確定收入與支出和不同理賠參數α對調節系數的影響,進而分析調節系數的變化對生存概率的影響,從而評估該擾動參數和理賠參數分別對生存概率的影響,這對保險公司的風險管理有著重要的理論指導意義。在現實生活中，保險公司經常經營多個險種來分散風險。那些利潤比較少的或者處于虧損狀態的險種無法立即篩除是為了穩定大部分長期持有的客戶或者為了公司長久的計劃。保險公司通過那些有著高額收益的險種來謀求收益或者生存，通過不斷地改變險種的組合來尋求更高的盈利水平和機會。所以下一步我們可以研究雙險種或者多險種下的帶干擾的廣義泊松風險模型的最優預防策略。