混沌脈寬調制電場激勵油中液滴振動動力學特性分析

彭 燁， 張又于， 龔海峰,2， 廖治祥， 邱 值， 余 保

(1.重慶工商大學 制造裝備機構設計與控制重慶市重點實驗室，重慶 400067；2.重慶工商大學 廢油資源化技術與裝備教育部工程研究中心，重慶 400067；3.中國石油大學(華東) 重質油國家重點實驗室，山東 青島 266580)

電場破乳脫水被廣泛應用于石油開采、廢油資源化等領域，具有清潔、高效和節能的優點[1-3]。在電場破乳工藝中，常見的電場形式可分為：交流電場法、直流電場法、交直流雙電場法、脈沖電場法[4-6]。比較而言，脈沖電場破乳能更加有效激勵油中液滴振動和碰撞，提高聚結效率，具有更好的破乳效果[7]。研究表明，脈沖電場破乳關鍵因素是乳化油中液滴在電場激勵下產生共振現象，劇烈振動變形為相鄰液滴碰撞聚結提供了動能，并減小了油/水界面膜的強度，實現了油中液滴的快速聚結，存在最佳電場頻率，策動油中液滴發生共振，使液滴聚結更為高效[7-10]。

然而，油包水(W/O)型乳化油中液滴粒徑分布范圍廣，小至微米級，大至毫米級，且在破乳過程中不斷發生聚結與破碎[11]。顯然，恒定頻率脈沖電場不能覆蓋油中所有液滴的共振頻率，未能完全發揮脈沖電場法的破乳效果。景微娜等[12]首次將混沌信號引入脈沖電場脫水，提出應用具有混沌特性的脈沖電場實現W/O型乳化油的最佳共振脫水，并通過仿真獲得了液滴在混沌電場中的狀態，結果表明液滴的振動響應具有混沌特性。但其研究屬于初步探索階段，混沌電脫水的破乳機理和液滴的變形機制尚不明確。Peng等[11]通過手動調節脈沖電場頻率以應對破乳過程中液滴粒徑動態分布導致的最佳共振頻率變化，結果表明變頻脈沖電場能有效改善液滴的聚結效率，但是手動調節操作性差，難以滿足工業需求。龔海峰等[13]在前期研究中采用定幅值、等脈寬的混沌頻率脈沖電場激勵油中液滴振動，以期應對最佳破乳頻率的動態變化，結果表明混沌頻率電場能有效覆蓋油中所有液滴的共振頻率，且液滴在電場中的振動為混沌振動。然而，不同粒徑液滴達到共振所需的脈沖寬度不同，故使用等脈寬的混沌電場不能使油中所有液滴達到理想的共振狀態。

此外，占空比(脈沖電場高電平時間與整個脈沖周期的比值)是脈沖電場破乳方法的一個重要參數，恰當的占空比可以保證液滴在脈沖持續時間內的變形達到最大，并且在休止期內水鏈能夠及時消散。Bailes等[14]認為脈沖施加時間等于休止時間時，聚并效果最好。在后續的研究中，學者們大多都采用占空比為0.5的脈沖電場。梁雯[15]發現，對于不同含水率的乳狀液，低占空比可有效防止高含水率乳狀液液滴成鏈；而對于低含水率乳狀液來說，提高占空比可進一步改善脫水效果。孫治謙等[16]在理論分析基礎上進行顯微實驗，得出隨占空比的增加，作用于水滴的電場能隨之增加，水滴變形度增加；占空比過大，部分電場能經油相發生泄漏，水滴變形度小幅降低。

鑒于此，筆者提出一種混沌脈寬調制電場破乳方法，即應用定幅值、等占空比、脈寬混沌的脈沖電場實現乳化油液滴的高效聚結。通過建立液滴混沌脈寬調制電場振動模型，研究液滴在混沌脈寬調制電場中的變形動力學行為與混沌特性，為混沌脈沖電場破乳方法提供理論依據。

1 液滴混沌脈寬調制電場振動模型

1.1 混沌脈寬調制電場

混沌脈寬調制電場具有占空比恒定、脈沖寬度混沌變化的特點，可滿足乳化油中絕大部分液滴共振頻率。由于目前尚無能夠實現占空比恒定、電場頻率混沌變化的混沌脈寬調制的方法，故采用Logistic滿映射[17]構造一維混沌序列，將該序列映射到電場頻率中，使得電場頻率混沌，而占空比保持恒定，從而實現混沌脈寬的調制。其電場信號調制原理如圖1所示。

令電場強度為E，占空比為d，使脈沖頻率ωi在[ωl,ωn]范圍內混沌。ωi的公式如式(1)所示。

(1)

調制的脈寬τi如式(2)所示。

(2)

式中，τi(i=1, 2, 3…n)為迭代i次的電場脈沖寬度，從而得到混沌脈寬調制電場E(t)表達式如式(3)所示。

(3)

ωi(i=1,2,3……n)—Electric field pulse angular frequency of the nth iteration；τi(i=1,2,3……n)—Electric field width of the nth iteration圖1 混沌脈寬調制電場信號Fig.1 The signal of chaos pulse width modulation electric field

1.2 液滴振動動力學模型

a—Long half axis of droplet； b—Short half axis of droplet； half-axis deformation velocity of droplet； half-axis deformation velocity of droplet；Fe—Electric field excitation of droplet vibration；Fr—Oil resistance of droplet vibration；Fi—Inertia force of droplet vibration；Fh—Restoring force of droplet vibration圖2 液滴右半球受力示意圖Fig.2 The force diagram of the righthemisphere of the droplet

油中的液滴在電場中主要受4個力的作用[19-20]：電場激勵液滴振動的激勵力Fe、油液阻力Fr、液滴慣性力Fi和振動恢復力Fh。根據平衡條件得到：

Fr+Fi+Fh=Fe

(4)

(5)

其中：

(6)

(7)

(8)

(9)

2 數值計算

2.1 計算初始條件

為了便于分析液滴在混沌脈寬調制電場中的振動變形規律，采用不同粒徑的液滴作為考察對象。設油中含有半徑(R)為0.4、0.6、0.8、1.0、1.2、1.4 mm的液滴，液滴密度ρw(20 ℃)為1×103kg/m3，油的黏度μo(20 ℃)為47.2 mPa·s，相對介電常數ε2為 5，油/水界面張力γ為12 mN/m，所施加的混沌脈寬調制電場強度E為3×105V/m。當電場頻率和液滴共振頻率相接近時，液滴出現共振，電場破乳效果較好[21]。求解液滴非線性振動動力學模型[20]得到不同粒徑液滴在脈沖電場中的幅頻特性曲線如圖3所示。

混沌頻率的上下限可通過液滴的共振頻率范圍確定，從而取混沌脈寬調制電場頻率上限為610 rad/s，下限為70 rad/s，即脈寬上限為0.0449 s，下限為0.0052 s，令混沌初值x1為0.2，占空比d為0.5。由式(1)～式(3)求出混沌脈寬調制電場脈沖信號，如圖4所示。

—The amptitude of droplet； ω—The angular of electric field圖3 液滴幅頻特性曲線Fig.3 Amplitude frequency characteristic curve of dropletsε2=5； γ=12 mN/m； E=3×105 V/m

由圖4可以看出，電場脈沖信號的幅值保持一定，占空比恒為0.5，脈沖寬度隨時間不斷迭代變化，使得脈沖電場的角頻率在0～1 s內在77～603 rad/s之間混沌變化。取液滴在混沌脈寬調制電場中的初始振動速度為0，初始振幅為0.0001。計算起始時間為0，結束時間為1 s，采用自適應步長Runge-Kutta算法ode45對模型進行求解。

2.2 模型驗證

由圖5可知，液滴振幅的數值結果略低于實驗結果。這是因為液滴振幅的數值結果是在理想的條件下得出的，而實驗會受外界的干擾以及測量誤差的影響，同時由于計算精度的影響，液滴振幅的數值結果也存在一定的誤差，故模型計算得到的液滴變形量相較而言低于實驗結果，但兩者趨勢具有很好的一致性，說明液滴振幅的數值結果可以較為準確地預測油中液滴的變形情況，即此模型能夠合理地預測液滴在混沌脈寬調制電場中的振動。

—The amptitude of droplet； t—Time圖5 液滴變形數值結果與實驗結果[20]對比Fig.5 Comparison of numerical and experimental results[20]of droplet deformationConditions： =998 kg/m3； =60.3 mPa·s；ε2=4.6； γ=19 mN/m； E=2×105 V/m

3 結果與討論

3.1 單個液滴響應特性

取半徑R為0.6 mm的單液滴，計算得到該液滴在混沌脈寬調制電場中的振動響應結果如圖6所示。

由圖6可知，液滴在混沌脈寬調制電場作用下存在共振，其振幅不超過共振幅值，液滴在電場中表現為在高頻區域振動頻率較高，振幅較低，在電場低頻區域振動頻率較低，振幅較高。由于液滴在電場高頻區域，脈寬較小，液滴所受的電場激勵時間較短，液滴被極化拉伸的程度不足，故振幅較低；在低頻區域，脈寬較大，液滴受到電場激勵時間較長，液滴被充分拉伸，振幅較大。為探究液滴在混沌脈寬調制電場中的振動變形機制，對液滴在0 s至0.3 s的振動變化情況進行深入分析，如圖6(b)所示。當電場頻率趨近于液滴共振頻率(ω/ωr≈1)時，液滴振幅趨近于共振幅值；當電場頻率與液滴共振頻率的比值大于0.5(ω/ωr>0.5)時，液滴的振動頻率與電場頻率一致；而當電場頻率與液滴共振頻率的比值小于0.5(ω/ωr<0.5)時，液滴的振動頻率高于電場頻率，在高電平內持續振動，且振幅出現衰減。這是由于當ω/ωr≈1時，液滴發生共振，故振幅趨近于共振幅值；而當ω/ωr>0.5時，電場作用時間相對較短，液滴所受到的電場激勵力大于振動恢復力和油液阻力，液滴持續拉伸，當失去電場后，液滴失去電場激勵力的作用，振動恢復力克服油液阻力而收縮，這種伸縮振動周期同步于電場脈沖周期，故其振動頻率與電場頻率一致；當ω/ωr<0.5時，電場頻率較低，液滴受電場作用時間較長，被拉伸至最大振幅后繼續受到電場激勵力作用，由于電場激勵力會隨著振動幅值增大而減小，振動恢復力隨著振動幅值增大而增大，液滴達到最大振幅時，油液阻力和液滴慣性力均為0，振動恢復力大于電場激勵力使其收縮，液滴振動幅值減小，電場激勵力再次大于振動恢復力和油液阻力使其拉伸，故液滴出現衰減振動。

—The amplitude of droplet； t—Time；r—The resonance amplitude of the droplet；ω/ωr—The ratio of electric field frequency to droplet resonance frequency圖6 單液滴振動響應曲線Fig.6 The vibration response curve of single droplet(a) 0—1 s; (b) 0—0.3 sConditions： =1×103 kg/m3； =47.2 mPa·s； ε2=5； γ=12 mN/m； E=3×105 V/m

3.2 不同液滴響應特性

取液滴半徑R分別為0.4、0.6、0.8、1.0、1.2、1.4 mm，通過計算得到不同液滴在混沌脈寬調制電場中的響應結果，如圖7所示。

E—The strength of electric field；—The amplitude of droplet； t—Time圖7 各液滴變形與電場信號對比圖Fig.7 The comparision of droplets deformation and electric field signal(a) R=0.4 mm; (b) R=0.6 mm; (c) R=0.8 mm; (d) R=1.0 mm; (e) R=1.2 mm; (f) R=1.4 mmConditions： =1×103 kg/m3； =47.2 mPa·s； ε2=5； γ=12 mN/m

由圖7可知，各液滴在混沌脈寬調制電場中的振動響應趨勢存在明顯差異，具體表現為液滴粒徑越大，最大振幅越高，振動頻率越低。當液滴半徑小于0.8 mm時，其在混沌脈寬調制電場中存在局部高頻振動；當半徑大于0.8 mm時，液滴的局部高頻振動現象不明顯甚至消失。上述情況是由于對于半徑較小(R≤0.8 mm) 的液滴，如3.1節所述，當電場頻率較高時，液滴的振動頻率與電場頻率一致，由于混沌脈寬調制電場的脈沖頻率存在局部高頻區，故液滴的振動也存在局部高頻現象；當液滴半徑較大(R>0.8 mm)時，液滴的質量較大，其液滴慣性力也越大，當失去電場作用后，液滴會在液滴慣性力的作用下繼續拉伸，而電場高頻區的脈沖間隔較短，液滴尚未發生收縮并繼續受到下一脈沖的作用，所以液滴的振動并未完全跟隨電場頻率，因此未出現明顯的高頻振動現象。深入分析不同液滴在電場中的振動響應特性，當液滴R=0.4 mm時，其在電場的每個脈沖均能達到最大振幅，但是當脈沖頻率較低時，其振幅會在高電平先達到最大振幅，隨后略微降低，最終趨于穩定；當R=0.8 mm時，在電場頻率小于液滴共振頻率的周期內，其振動存在明顯的滯后現象，具體表現為液滴在電場低電平持續被拉伸，在高電平繼續收縮；隨著液滴粒徑的增大，振動響應滯后現象更為突出，如R=1.0 mm至R=1.4 mm的響應結果所示，液滴在頻率較高的低電平內不發生收縮且高電平內不被拉伸，從而振動周期變長。

造成上述現象的原因在于液滴的變形受電場頻率和自身受力變化的影響。因為本研究的混沌脈寬調制電場的頻率范圍是根據不同粒徑的共振頻率確定的，R=0.4 mm的共振頻率接近電場頻率的上限，因而電場的脈沖寬度均大于液滴共振所需的脈寬，其在電場中的振動均能達到最大振幅，在脈沖頻率較低時，高電平持續時間較長，液滴受力變化跟液滴的瞬時振幅相關，當液滴被拉伸到最大振幅之后，振動恢復力大于電場力而發生收縮，當收縮到一定程度后，振動恢復力小于電場激勵力而被拉伸，振幅逐漸衰減，最終趨于穩定，此時電場激勵力與振動恢復力相等，不再振動。隨著液滴粒徑增大，其質量逐漸增大，慣性力增大，當電場頻率高于液滴共振頻率時，液滴在高電平階段受到電場激勵力的作用被拉伸，當失去電場作用時，液滴受到的電場激勵力突變為0，此時慣性力大于振動恢復力，液滴被繼續拉伸，從而出現拉伸響應滯后現象；液滴在低電平階段失去電場激勵力作用，振動恢復力使其收縮，當在下一高電平受到電場激勵力時，液滴的振動恢復力和慣性力大于電場激勵力，液滴持續收縮，因此產生收縮滯后現象。

max—The droplet response amplitude； ω—The angular of electric field； R—Radius of spherical dropletsωχmax—Electric field frequency at maximum vibration amplitude of droplets； ωr—The resonance frequency of droplets圖8 液滴的最大振幅與共振頻率隨粒徑的變化Fig.8 Maximum amplitude and resonance frequency of droplet change with particle size(a) Maximum amplitude of droplet; (b) Contrast of frequencyConditions： =1×103 kg/m3； =47.2 mPa·s； ε2=5； γ=12 mN/m；E=3×105 V/m

由圖8可得，液滴最大振幅隨半徑增大而增大，液滴達到最大振幅時的電場頻率和液滴共振頻率接近。這是由于隨著液滴粒徑的增大，其受到的電場激勵力和慣性力增大的程度大于振動恢復力增大的程度，所以粒徑越大的液滴更容易拉伸到較大振幅。電場頻率的調制范圍是根據液滴共振頻率計算得出的，其頻率在設定的最大粒徑和最小粒徑的共振頻率之間混沌變化，在有限時間內，電場頻率的迭代值并不完全趨近于所有液滴的共振頻率，但是當電場頻率接近液滴共振頻率時，液滴能達到最大振幅。

3.3 液滴振動混沌特性

研究表明，通過引入混沌信號能使液滴的振動具有混沌特性[13]。液滴在混沌脈寬調制電場中振動的混沌特性可以通過Kolmogorov熵進行表征。在混沌系統中，Kolmogorov熵K表示系統不可預測性的程度，描述混沌軌道隨時間演化信息的產生率[22]。當K=0時，系統運動是周期狀態；K→∞時，系統運動是隨機狀態；K為一個確定的正值時，系統運動是混沌狀態，且K越大，其混沌程度越大，運動越無序[23]。

可通過最大似然法估算Kolmogorov熵(KM)[24]。不同粒徑液滴在混沌脈寬調制電場中振動時間序列的最大似然估計值KM的計算結果如圖9所示。

KM—Maximum likelihood estimation of kolmogorov entropy；R—radius of spherical droplets圖9 不同粒徑液滴振幅的Kolmogorov熵(KM)Fig.9 Kolmogorov entropy (KM) of droplet amplitudewith different particle sizesConditions： =1×103 kg/m3； =47.2 mPa·s；ε2=5； γ=12 mN/m； E=3×105 V/m

由圖9可知，所有液滴振動響應的KM均大于0，隨著液滴粒徑的增大，其振動響應的KM逐漸減小。這說明液滴在混沌脈寬調制電場中的振動為混沌振動，且其混沌程度隨液滴粒徑的增大而減小。這是由于液滴振動是由電場激勵產生的，電場脈寬的混沌導致了液滴振動的混沌，隨著粒徑的增大，液滴振動響應的滯后程度加深，導致液滴振動頻率與電場頻率的一致性降低，從而混沌程度減小。

4 結 論

建立了乳化液滴在混沌脈寬調制電場中的混沌振動動力學模型，通過對模型的數值計算和結果分析，得出以下結論：

(1)當電場頻率與液滴共振頻率的比值小于0.5時，液滴在電場高電平發生衰減振動，振動頻率大于電場頻率；當電場頻率與液滴共振頻率的比值大于0.5時，液滴振動頻率與電場頻率一致。

(2)液滴在電場中的響應存在滯后現象，且粒徑越大，滯后現象越明顯，導致液滴的振動頻率不完全跟隨電場頻率。

(3)液滴最大振幅隨半徑增大而增大，達到最大振幅時的電場頻率和液滴共振頻率接近，即液滴在共振頻率附近發生共振。

(4)液滴在混沌脈寬調制電場中振動時間序列的KM大于0，說明液滴的振動為混沌振動，且KM隨粒徑增大而減小，表明液滴振動的混沌程度隨粒徑的增大而降低。

符號說明：

a——液滴長半軸，m；

A,B,G——振動方程各受力項常數；

b——液滴短半軸，m；

d——混沌脈寬調制電場的占空比；

E——電場強度，V/m；

Fe——液滴振動受到的電場激勵力，N；

Fr——液滴振動受到的油液阻力，N；

Fi——液滴振動慣性力，N；

Fh——液滴振動恢復力，N；

K——Kolmogorov熵，nats/s；

KM——Kolmogorov熵的最大似然估計值，nats/s；

R——液滴半徑，mm；

t——時間，s；

γ——界面張力，N/m；

δx——液滴長半軸伸長量，m；

ε0——真空介電常數；

ε2——油液相對介電常數；

τi——第i(i=1,2,3…n)次迭代的電場脈寬，s；

xi——Logistic滿映射第i(i=1,2,3…n)次混沌迭代值；

χ——液滴振幅；

χr——液滴共振幅值；

χmax——液滴最大振幅；

ωl——電場角頻率下限，rad/s；

ωn——電場角頻率上限，rad/s；

ωi——第i(i=1,2,3…n)次迭代的電場角頻率，rad/s；

ωr——液滴共振角頻率, rad/s；

ωχmax——液滴最大振幅下的電場角頻率，rad/s。