基于有限元分層級聯技術SAW濾波器精確計算

陳正林，趙雪梅，賀 藝，潘虹芝，白 濤，杜雪松，李樺林，肖 強，陳彥光，馬晉毅(1.模擬集成電路重點實驗室, 重慶400060；.中國電子科技集團公司 第二十六研究所, 重慶400060)

0 引言

聲表面波(SAW)器件因具有低插損、高矩形度、小體積和低成本等優良特性而被廣泛應用于雷達、通信和電子對抗等領域[1-3]。隨著系統的快速發展，對SAW器件的損耗、帶寬和頻率溫度系數等指標提出了越來越高的要求。因此，迫切需要發展能快速精準分析各種復雜邊界條件下SAW器件的理論模型，并實現工程化應用和突破。

SAW器件精確理論計算過程復雜。2004年南京大學水永安教授和王為標[4]率先在國內實現了有限長結構SAW器件有限元/邊界元法(FEM/BEM)精確計算方法，對于具有200根叉指電極的SAW諧振器每頻率點計算時間約需5 min，且隨著指條數的增加，計算時間也將增加，使得FEM/BEM難以滿足高效率工程化應用[5]。K.Hashimoto等[6]提出了有限元/譜元法(FEM/SDA)方法，通過簡化邊界元計算實現了多層復合薄膜結構SAW器件的精確分析，然而對于近年來出現的多樣化、復雜化新型多層薄膜結構SAW器件，FEM/SDA法無能為力[7]。與FEM/BEM和FEM/SDA法相比，FEM可分析具有任意多層薄膜結構、幾何結構、邊界條件及材料類型的SAW器件，并實現聲學模式完整信息的獲取[8]。但是FEM模型必須有足夠細的網格和自由度，才能得到較精確的解。因此，FEM需要消耗大量的計算機資源[5]。

為了能夠利用FEM可靈活處理任意結構、電極形貌及材料選型的優勢，且兼顧計算效率和工程化應用，2016年，Koskela等[9]創新性地給出了二維有限元分層級聯技術(HCT)模型，盡管計算效率有較大改進，但仍存在因各種理想假設導致的精度不足問題。近年來，K. Hashimoto等[10]和Koskela等[11]在分層級聯技術基礎上結合圖形加速器(GPGPU)加速技術，對各類型的SAW器件進行了計算，由于該模型未充分考慮SAW器件實際工藝因素，從而限制了該方法的工程化應用。

本文基于分層級聯算法推導用于描述有限長結構SAW器件的有限元數學模型。該有限元數學模型充分考慮了壓電材料的傳播損耗、介電損耗、電極粘滯損耗及電阻損耗等因素，結合GPGPU加速技術，提高了有限長SAW器件的計算速度，縮減了完整SAW器件的計算時間。基于全波仿真技術，考慮了管座及鍵合線等封裝模型電磁效應，對漏波型42°Y-XLiTaO3溫度補償型聲表面波(TC-SAW)器件進行計算并研制了樣品，計算所得結果與實驗結果吻合較好。

1 分層級聯基礎理論

HCT是以FEM為基礎，結合有限元自由度降階技術，從而實現快速計算。因此，分層級聯技術既保留了FEM可任意處理多層薄膜結構、幾何結構、邊界條件及材料類型的優勢，又克服了FEM自由度龐大的缺點。

1.1 分層級聯理論

圖1(a)為TC-SAW器件的分層級聯單元結構示意圖。壓電材料上覆蓋一層SiO2作為溫度補償層，底部完美匹配層(PML)用于吸收反射波，級聯單元結合實際工藝情況，并考慮電極的傾斜形貌。圖1(b)為相應的分層級聯單元有限元網格示意圖。其中，XL，XR分別為單指結構有限元模型的左、右邊界自由度。

由于有限長SAW器件結構由具有周期性或非周期性的單指單元構成，根據級聯單元左右邊界力學量和電學量的連續性原理，將2個或2個以上的單指單元聯成完整SAW結構(見圖2)，每次級聯都是以2n的形式增加，級聯9次可完成512根指條的計算。

壓電體是各向異性的電介質，在外力作用下發生形變時，物質結構變化引起介質電極化，稱為壓電效應。壓電效應反映了力學量和電學量間的相互耦合作用。除彈性應變場和應力場外，同時還存在電場和電位移場，且其相互作用。本文仍將討論局限于線性范圍，可任意取1個力學量和1個電學量作為自變量。因此，本文將應變和電場強度作為自變量，根據胡克定律和電學關系可得到應力和電位移的本構方程。應力及電位移[3]以張量的形式可表示為

(1)

(2)

根據胡克定律，應變S和位移u間的關系以張量的形式表示為

(3)

其中：

(4)

根據電學可知，電場強度E和電勢φ之間的關系為

(5)

根據牛頓第二定律和麥克斯韋方程，得到SAW器件的壓電平衡方程以張量形式表示為

(6)

(7)

式中ρ為電荷密度。采用FEM求解式(6)、(7)可得表征分層級聯單元(見圖2)的系統矩陣:

(8)

式中:K為剛度矩陣;M為質量矩陣;XL，XI，XR分別為單指結構有限元模型的左邊界、內部、右邊界自由度(分別包括位移和電勢自由度)；RA，RI，RB為左邊界、內部及右邊界外力；v為電極表面電勢自由度；q為電極表面電荷量;ω為角頻率。

在無外力作用時，則RA=0，RI=0，RB=0，對式(8)進行整理可得：

(9)

其中，A=K-ω2M。

采用有限元降階技術和自由度壓縮法，將內部自由度XI消除，XI為

(10)

對式(9)消除XI，可將系統矩陣由4×4矩陣降維為3×3矩陣，即：

(11)

對式(11)進行整理可得表征SAW結構單指單元的B矩陣，即：

(12)

式(12)只包含XL、XR、v自由度，等價于分層級聯單元的系統矩陣方程(9)，但系統矩陣方程(12)所包含的自由度遠小于系統矩陣方程(9)，減少了需要計算的自由度。式(12)結合圖1(b)中單指結構左右邊界聲學量和電學量連續性條件，得到級聯單元A和級聯單元B的級聯系統矩陣方程：

(13)

式中：X′L為級聯單元A的左邊界；X′I為級聯單元A、B的相鄰邊界；X′R為級聯單元B的右邊界自由度；V=[VA,VB]，Q=[qA,qB]分別為級聯單元A、B級聯后的電壓自由度。由式(13)可看出，分層級聯的本質和P矩陣級聯相同，即將聲學參量串聯、電學端并聯。

通過式(13)重復采用式(9)～(12)進行自由度消除和級聯，得到包含整個器件的電壓自由度和電荷量，并能表征完整有限長結構的矩陣方程：

(14)

求解式(14)需考慮傳播方向上的左右二端PML吸收層，同時根據整個器件電荷量為0，求取有限長SAW濾波器結構的Vref。

1.2 全波仿真理論

從SAW器件單指結構式(9)到能夠表征有限長SAW器件的系統矩陣方程(14)，分層級聯算法采用有限元降階技術和GPGPU加速技術相結合，求解式(14)可得有限長SAW器件的聲/電響應特性。

對于更高頻率和更小尺寸的器件，封裝結構對SAW器件的電學性能影響明顯。圖3為基于全波仿真分析準確地模擬SAW器件特性的模型。設計過程中，考慮了整個封裝的電磁效應，該模型包括SAW濾波器電路拓撲結構及在HFSS軟件中構建的射頻濾波器封裝結構。

圖3 全波仿真模型

根據圖3(a)的電路拓撲結構研制了相應的SAW濾波器，其中以42°Y-XLiTaO3作為襯底，Al電極厚為210 nm，SiO2厚為1 430 nm，濾波器中心頻率設計為804.14 MHz，相對帶寬為3.1%，頻率溫度系數為-8.5×10-6/℃。圖4為SAW濾波器的計算結果與實測的插損曲線。由圖可知，仿真曲線與測量結果吻合良好，通帶內的微小差異主要是由于有限元模型的聲傳播損耗設置所致。

圖4 42°Y-XLiTaO3 TC-SAW濾波器計算結果和實測結果對比

2 結束語

基于有限元數學模型引入分層級聯算法，從數學論證和物理意義上嚴格推導了有限長結構SAW器件的有限元數學模型。該模型充分考慮壓電材料的傳播損耗、介電損耗、電極粘滯損耗、電阻損耗及基于實際工藝條件下的電極形貌，使SAW器件的有限元模型盡可能地接近實際，得到用于表征有限長結構SAW器件的系統矩陣。引入有限元降階技術和自由度壓縮法，實現了有限長結構的系統矩陣降維和降階。基于全波仿真分析，并結合有限元降階技術和GPGPU加速技術，對42°Y-XLiTaO3TC-SAW濾波器進行了精準快速計算，經實驗驗證了該方法的準確性。