基于PEBI 網格的考慮誘導裂縫的聚合物驅壓力動態研究

鐘會影，沈文霞，藏秋緣，許嚴芮

（1.東北石油大學提高油氣采收率教育部重點實驗室，黑龍江大慶 163318；2.中國石油大慶油田分公司井下作業分公司，黑龍江大慶 163311）

0 引言

化學驅已成為國內外大多油田提高采收率的主要方法，其中聚合物驅技術是應用最廣泛的方法［1］，以大慶油田為例，已有50 余個區塊成功開展了工業化規模的聚合物驅油。相較于水驅，聚合物驅采收率平均提高了約13%，正在實施的二類油層聚合物驅提效項目，也有望在水驅基礎上提高原油采收率10%以上［2-5］。注聚過程中為了提高井注入能力，往往會提高其注入壓力，當注入壓力高于地層破裂壓力時，將在近井地帶形成誘導裂縫［6］，給油藏進一步挖潛帶來困難。因此，明確誘導裂縫特征及參數成為國內外學者研究的熱點。

關于誘導裂縫對壓力動態的影響研究人員已做過很多研究。Hagoort［7］首先給出注水誘導裂縫的概念，并提出可采用與井筒儲集效應相似的變流量方法求解關井壓力測試時裂縫閉合導致的流量變化；Koning［8］在Hagoort 的基礎上利用拉氏變換等方法求解出二維瞬態橢圓方程的解析解，給出了在裂縫存在條件下水驅的壓力動態；Hoek 等［9-10］研究了水驅在考慮動態裂縫閉合不同邊界條件下的井底壓力解，在處理裂縫閉合時，將裂縫儲集系數分為常數及隨壓力變化2 種情況，并給出無限導流裂縫閉合的解析解及半解析解。國內學者對誘導裂縫成因機理及其延伸規律以及注水誘導裂縫關井閉合的壓力動態曲線也進行了相關研究［11-13］。

在實際水驅開發后的注聚階段，由于聚合物具有剪切變稀、濃度擴散、滲透率下降等特征［14］，考慮誘導裂縫閉合條件下的數學模型的數值求解就顯得尤為方便，PEBI 變尺度混合網格及其符合物理滲流的網格劃分在數值計算中凸顯優勢［15-16］。為此，本文采用數值試井方法，基于PEBI 網格剖分，綜合考慮聚合物溶液黏濃關系、剪切效應、滲透率下降以及吸附機理，建立考慮誘導裂縫的聚合物驅垂直裂縫井數學模型，并對注聚井壓力動態曲線特征及影響因素進行分析，形成考慮誘導裂縫閉合的注聚井壓力降落動態研究方法。該研究結果可進一步拓展注聚井壓力動態分析方法，以期為準確認識誘導裂縫規模及參數提供重要的理論支持。

1 物理模型的建立

1.1 混合PEBI 網格剖分方法

網格剖分是油藏空間離散的基礎，在滲流過程中PEBI 網格剖分可分為圓模塊、圓角矩形模塊、平面模塊幾種形式［15］。PEBI 網格的優勢在于可利用變尺度縮小網格節點數目，減少計算量，且網格剖分更符合物理滲流過程，描述流動更準確。

1.2 物理模型

假設無限大地層中有一口注聚井，一條與井筒共面的垂直誘導裂縫，且在垂直方向上貫穿整個油層，以定流量Q注入，建立考慮誘導裂縫的均質油藏聚合物驅垂直裂縫井物理模型（圖1）。對含垂直裂縫井的無限大地層進行空間離散，在裂縫周圍采用復合線性流動的圓角矩形模塊進行網格剖分；在遠井地帶，采用復合橢圓及徑向流特征的變尺度網格剖分（圖2）。

假設條件：外邊界無限大，地層上下為不滲透邊界，誘導裂縫關于井筒對稱，裂縫末端封閉；誘導裂縫內壓力相同；單相微可壓縮流體流動；考慮井筒儲存和表皮效應。

2 聚合物滲流特征數學模型

2.1 濃度分布模型

聚合物溶液在多孔介質內流動，會發生濃度擴散與對流作用，綜合Fick 定律、對流通量變化及物質守恒原理，得到聚合物溶液在地層中濃度擴散方程的散度形式為

式中：Q為流量，m3/s；r為網格到井中心的徑向距離，m；h為地層厚度，m；φ為孔隙度，%；D為擴散系數，m2/s；t為時間，s；Cp為聚合物質量濃度，kg/m3。

2.2 黏度模型

聚合物溶液的黏度與其在多孔介質內的濃度及剪切速率有關。聚合物溶液黏度μp、剪切速率γ˙的關系可表達為［17］

式中：μp為聚合物流動時的有效黏度，Pa·s；μ∞為剪切率趨于無窮大時聚合物溶液黏度，近似等于水的黏度，Pa·s；μ0為聚合物零剪切黏度，Pa·s；γ˙為剪切速率，s-1；γ˙1/2為μp=()μ0+μ∞/2μ 時所對應的剪切速率，s-1；Pα為無因次常數。

零剪切黏度與濃度的關系可表示為

式中：A1，A2，A3為與聚合物溶液有關的常數，其單位分別為（kg/m3）-1，（kg/m3）-2和（kg/m3）-3；μw為水的黏度，Pa·s。

2.3 滲透率模型

聚合物溶液在多孔介質流動過程中，往往伴隨著吸附滯留現象，增大附加阻力從而導致地層滲透率下降，通過引入滲透率下降系數Rk來修正滲透率模型，建立聚合物溶液修正滲透率模型［18］。

式中：bp為實驗確定常數，10-4；Rkmax［19］為最大滲透率下降系數，1.621。

滲透率模型為

式中：K為地層滲透率，mD；Kp考慮聚合物吸附作用后的滲透率，mD。

3 考慮誘導裂縫聚合物驅垂直裂縫井數學模型

3.1 模型的建立

考慮誘導裂縫的均質油藏聚合物驅垂直裂縫井數值試井模型主要包括基本滲流微分方程，井以定產量生產、外邊界無限大的邊界條件以及初始條件3 個部分，由此建立考慮誘導裂縫的聚合物驅垂直井數值試井數學模型。

運動方程為

式中：v為滲流速度，m/s；?P為壓力梯度，Pa/m。

液體狀態方程為

式中：B為體積系數；B0為原始體積系數；CL為液體壓縮系數，Pa-1；P 為網格壓力，Pa；Pa為原始大氣壓，Pa。

巖石狀態方程為

式中：φ0為原始孔隙度，%；Cf為巖石壓縮系數，Pa-1。

連續性方程為

式中：ρ為流體密度，kg/m3。

將式（6）、式（7）、式（8）同時代入式（9）中，得到考慮誘導裂縫的均質油藏單相流數值試井模型微分方程

3.2 模型的求解

有限體積法具有處理復雜邊界滲流問題的優越性，本文采用有限體積法進行離散求解。PEBI 網格單元與其鄰接網格關系如圖3 所示。

首先對濃度方程在控制體內進行積分

根據高斯定理，將體積積分［式（11）］轉化為面積積分，再根據PEBI 網格特點，得到質量濃度方程離散形式為

對式（10）在控制體積和時間段上積分，得到

根據高斯定理，將式（13）左邊的體積分簡化為網格單元界面周圍的面積分

由于PEBI 網格局部正交特性，最終離散得到

式中：Pi為網格i的壓力，Pa；Pj為與網格i鄰接的網格j的壓力，Pa；Tij為傳導系數，為PEBI 網格任意2 個相鄰網格中心點之間的流動系數λij與其幾何因子Gij的乘積，m3/（Pa·s）；λij為任意2 個相鄰網格中心點之間的流動系數，m3/（Pa·s）；Gij為網格i和j之間的幾何因子，m；ωij為相鄰網格i，j之間流體流動的截面面積，m2；?Cp為聚合物質量濃度梯度，kg/m4；S為表皮系數；Δt為關井時間，s；Vi為網格i的體積，m3；Vj為網格j的體積，m3。

對考慮誘導裂縫的聚合物驅垂直裂縫井物理模型進行簡化，通過計算得到地層總流量為

式中：Qi井筒與相鄰網格i間的流量，m3/s；Qc為井筒儲集效應的流量，m3/s；Pwf為井底壓力，Pa；C為井筒儲集系數，m3/Pa；λ為網格i與井筒間的傳導率，m2/（Pa·s）；WIi為生產指數，m，WIi=其中θ為網格i相對井的張開弧度，rad；ri為網格i的徑向距離，m；rw為井筒半徑，m；S為表皮系數。

結合式（12）、式（15）、式（16）及邊界條件得到考慮誘導裂縫的聚合物驅垂直裂縫井數值離散方程，求解得到井底壓力動態變化，并對計算結果進行無量綱化，無量綱化的計算公式為

式中：PwD為無量綱井底壓力；tD為無量綱時間；CD為無量綱井筒儲集系數；FCD為無量綱導流系數；Ct為流體和裂縫的總壓縮系數，Pa-1；pi為原始地層壓力，Pa；rw為井筒半徑，m；φp為考慮聚合物吸附作用后的孔隙度，%；Kf為裂縫滲透率，mD。

3.3 誘導裂縫閉合模型

注聚井關井測壓，井底流壓PwD逐漸降低，當其降低至低于裂縫開始時的閉合壓力時，誘導裂縫開始閉合。Dam等［20］的實驗結果表明，關井測壓時誘導裂縫首先從尖端開始閉合，之后逐漸向井筒靠攏。為此本文考慮裂縫橫向閉合（圖4），裂縫半長變化滿足式（21）［21］。

式中：Lf為裂縫半長，m；Lf0為初始裂縫半長，m；PwD為井底壓力；為關井后裂縫開始閉合時的壓力；delpat為裂縫閉合速度因子。

誘導裂縫閉合會導致其滲透率發生變化，張陽等［22］的研究發現，即使裂縫完全閉合，其滲透率仍比地層滲透率高950.4 倍左右。說明即使壓裂過程中沒有支撐劑，裂縫的存在也可顯著提高地層滲流條件。

由此建立動態滲透率模型

式中：Kf0為裂縫初始滲透率，mD；Kf1為裂縫閉合滲透率，mD；i為網格節點號。基于上述方法，其計算流程如圖5 所示。

4 壓力動態曲線特征及參數敏感性

通過計算得到無量綱井底壓力及其壓力導數，繪制典型壓力和壓力導數動態曲線，從而研究不同參數對動態曲線的影響（表1）。

表1 模型參數Table 1 Simulation parameters

4.1 壓力曲線特征分析

考慮誘導裂縫的聚合物驅垂直裂縫井典型試井曲線（圖6）存在5 個流動段：純井筒儲存階段（Ⅰ段），該階段曲線主要受井筒儲集系數影響，在雙對數坐標中，無因次壓力和壓力導數曲線重合，呈現一條斜率為1.00 的直線；雙線性流階段（Ⅱ段），為誘導裂縫內及裂縫周圍流體的線性流，該階段壓力和壓力導數曲線互相平行，壓力導數曲線呈斜率為0.25的直線段；線性流階段（Ⅲ段），即誘導裂縫內流體向地層的流動，壓力導數曲線呈斜率為0.50的線性流階段；橢圓流階段（Ⅳ段），此階段壓力導數曲線呈斜率為0.36 的直線；徑向流階段（Ⅴ段），壓力波及范圍逐漸擴大，水驅壓力導數曲線呈水平直線段而聚合物驅則為一條上翹的曲線，這是由于聚合物在多孔介質內的剪切變稀作用，滲流阻力變化從而曲線上翹。本模型計算的聚合物驅垂直裂縫的壓力動態特征曲線與徐有杰等［23］得出的特征曲線流動階段及各階段特征一致，說明了該方法正確可靠。

4.2 參數敏感性

聚合物濃度的變化對試井壓力產生影響，聚合物濃度越大其黏度越大，滲流阻力也越大（圖7）。從圖中可看出，隨著濃度增加，雙線性流及非牛頓徑向流階段曲線均靠上；當聚合物注入質量濃度為0 時，徑向流階段壓力導數曲線呈水平直線段，與水驅現象一致。裂縫長度也會影響試井壓力，隨著裂縫半長的增加，雙線性流持續時間變長（圖8）。

4.3 誘導裂縫閉合壓力動態特征

為驗證方法的正確性，本次研究將聚合物設置為注入水，計算注水井關井后的裂縫閉合壓力，并將壓力動態曲線與Hoek［21］的參數解析解進行對比研究（圖9）。從圖上可以看出，基于PEBI 網格的考慮裂縫閉合的數值計算結果與Hoek［21］的參數解析解吻合良好。誘導裂縫閉合時，壓力導數曲線出現一個突起的尖峰。

將誘導裂縫閉合過程看作裂縫長度的變化，通過引入裂縫閉合速度因子（delpat）來控制裂縫閉合的快慢。誘導裂縫閉合使無因次壓力及壓力導數曲線迅速上升，壓力導數曲線上升趨勢更為顯著，形成一個“尖峰”（圖10）。delpat越小，裂縫閉合越快，壓力導數“尖峰”也就越明顯。相反，delpat越大，裂縫閉合越慢，壓力導數“尖峰”越不顯著，曲線越靠右。delpat值的變化主要對后期擬徑向流出現時間的早晚產生影響，聚合物驅與水驅誘導裂縫閉合的區別主要在裂縫閉合后，由于聚合物擴散及剪切稀化等流變特性使得其徑向流階段壓力導數曲線上翹。

5 結論

（1）考慮誘導裂縫的注聚井壓力動態曲線劃分為5 個流動段：純井筒儲存階段，雙線性流階段，線性流階段，橢圓流階段，非牛頓徑向流階段。

（2）聚合物濃度主要影響試井壓力變化的后期。曲線上表現為隨著濃度增加，曲線上翹明顯；裂縫半長越小，線性流階段持續時間越短。

（3）注聚井關井測壓時，裂縫閉合速度因子（delpat）越大，閉合越慢，壓力導數曲線峰值越低，曲線越靠右，晚期擬徑向流出現時間越晚。