考慮鐵心非線性的三相立體卷鐵心變壓器建模及空載特性分析

楊北超 范學鑫 王瑞田 張新生 揭貴生

（海軍工程大學艦船綜合電力國防科技重點實驗室 武漢 430033）

0 引言

相對于三相平面疊鐵心變壓器，立體卷鐵心變壓器具有磁路對稱、振動噪聲低等優勢，近年來廣泛應用于高層建筑、地鐵、新能源接入等場合。通過對電工鋼帶進行卷繞加工，得到截面為近似半圓形的鐵心框，將三個尺寸相同的鐵心框兩兩拼接，構成三角形立體結構鐵心，典型結構如圖1所示。

圖1 立體卷鐵心變壓器 Fig. 1 3D wound core transformer

立體卷鐵心三相磁路長度相同，導磁方向與硅鋼片軋制方向相同，結構對稱合理，而常規疊鐵心三相磁路長度不對稱，硅鋼片接縫處搭接存在氣隙。在同等變壓器指標要求下，立體卷鐵心通常比傳統疊片鐵心節省硅鋼材料約20%[1]。因此，立體卷結構在電力電子電能變換領域具有廣闊的應用前景。為了提高功率密度，應盡可能提高變壓器鐵心工作磁密幅值，因此迫切需要準確評估立體卷鐵心變壓器在飽和邊界狀態的工作特性。

在立體卷鐵心磁路工作特性方面，文獻[2]給出了磁路約束方程，并采用拉格朗日函數極值分析方法和枚舉法分析了單框磁通諧波成分。文獻[3]推導了立體卷鐵心變壓器的H平衡方程，研究了三相平衡勵磁條件下立體卷鐵心的磁通密度。文獻[4]應用硅鋼片材料特性曲線分析了立體卷鐵心變壓器的空載損耗。但以上文獻未深入研究鐵心非線性對變壓器工作特性的影響。

在變壓器鐵心非線性建模方面，目前主要可以分為Preisach模型、Jiles–Atherton（J-A）模型、等效電路模型三類。

Preisach模型：美國馬里蘭州立大學的Mayergoyz將輸出隨時間的變化率引入分布函數，得到了動態Preisach模型，以標量磁滯單元為基礎，提出了矢量Preisach模型[5]。文獻[6]基于Preisach磁滯模型，提出了面向非對稱磁滯回線模擬的參數辨識方法，并應用于靜態磁滯特性模擬。文獻[7]提出了一種適用于100kW雙有源橋式變換器的三相中頻變壓器的修正Preisach模型，并提出優化的Preisach分布函數參數識別方法。

Jiles-Atherton模型：結合微觀結構參數和材料的宏觀特性，基于磁疇運動假設，用磁疇壁運動的一個耦合系數和一個抵制系數來描述磁矩的相互作用，對鐵心的動態磁化過程進行準確的模擬[8]。文獻[9]提出一種基于模擬退火（Simulated Annealing, SA）與Levengerg-Marquardt（L-M）混合的J-A模型參數提取方法。文獻[10]利用J-A磁滯模型描述變壓器鐵心的非線性特性，得到二次電壓幅值和相位用于分析變壓器一次側短路故障。

等效電路模型：文獻[11]指出在阻尼衰減、正弦穩態等工作條件下并不需要非常精確的磁滯模型，建立了基于高階多項式的等效磁滯模型。文獻[12]基于代數方法，使用非線性電感、非線性電阻并聯形式反映鐵心材料的非線性特征。文獻[13]改進了上述模型，在非線性電阻的參數求取時考慮了空載損耗試驗結果，優勢在于模型簡單，便于電路仿真應用，不足之處是準確性受限，模型適應性較差。

在立體卷鐵心變壓器FEM建模方面，目前文獻報道較少。文獻[14]建立1MV·A立體卷鐵心干式配電變壓器三維有限元模型（Finite Element Model, FEM）仿真模型，通過仿真進行鐵耗計算。文獻[15]建立了簡化單柱二維電磁場模型，分析了繞組漏磁。

本文開展了考慮鐵心非線性的三相立體卷鐵心變壓器建模及空載特性分析。建立了考慮飽和、磁滯特性的三相立體卷鐵心變壓器非線性磁路模型與FEM二維等效模型。最后搭建80kV·A立體卷鐵心變壓器試驗平臺，驗證了模型的準確性。

1 磁路建模與分析

1.1 立體卷鐵心磁路模型

立體卷鐵心由AB單框、BC單框、CA單框三個單框拼接組成，其中CA單框和AB單框組成A相心柱，AB單框和BC單框組成B相心柱，BC單框和CA單框組成C相心柱，如圖2所示。

記立體卷鐵心三個單框中流過的磁通分別為ΦAB(t)、ΦBC(t)、ΦCA(t)，A相、B相、C相心柱平均磁通分別為ΦA(t)、ΦB(t)、ΦC(t)，根據各單框磁通與心柱平均磁通之間的關系可得約束方程

圖2 立體卷鐵心變壓器磁通分布圖 Fig.2 Flux distribution of transform with threedimensional wound core

由式（1）可知，ΦA(t)+ΦB(t)+ΦC(t)=0。記初級繞組匝數為NP，次級繞組匝數為NS，各單框磁阻分別為RmAB、RmBC、RmCA，三相勵磁電流分別為IA(t)、IB(t)、IC(t)，二次電流分別為Ia(t)、Ib(t)、Ic(t)。二次繞組開路時，相應磁動勢Fa~Fc為零。基于磁路歐姆定律構建約束方程[2]為

由式（2）可得

由于鐵心材料的非線性特性，各單框鐵心的磁化曲線與其當前工作點及歷史軌跡相關。當各單框磁路工作點均位于磁化曲線線性段時，各單框磁阻基本相等，則

根據以上理論分析，建立立體卷鐵心變壓器等效磁路如圖3所示。可知ΦAB、ΦBC、ΦCA形成閉合環路，存在零序磁通通路。

圖3 立體卷鐵心變壓器等效磁路 Fig.3 Equivalent magnetic circuit of 3D wound core transformer

在理想正弦波電壓源激勵下，單框鐵心磁通僅含基波分量和零序諧波分量[2]。由式（1）可知，心 柱處磁通由兩個單框的基波分量和零序諧波分量合成，其中兩個單框的零序諧波分量相互抵消，故心柱處磁通主要由兩個單框的基波分量合成，如圖4所示，圖中ΦAB1、ΦBC1、ΦCA1為單框磁通的基波分量。由圖4可得。由于心柱處截面積是單框截面積的2倍，故心柱平均磁通密度幅值為單框基波磁通密度幅值的0.866倍。

圖4 單框磁通與心柱磁通相量圖 Fig.4 Flux phasor diagram of Single frame and core column

1.2 立體卷鐵心磁滯模型

根據變壓器鐵心磁化機理，本文采用J-A磁滯模型建立立體卷鐵心變壓器非線性磁路模型。J-A磁滯模型物理意義明確，能夠較準確地描述磁感應強度B與磁場強度H的非線性關系。該磁滯模型將實際磁化強度M分為可逆磁化強度Mrev與不可逆磁化強度Mirr兩部分，即

J-A正模型為[16]

式中，δ為方向系數，當dH/dt＞0時，δ=1，當dH/dt＜0時，δ=-1；k為磁疇間的牽制系數；α為磁疇內部耦合平均場參數；c為可逆磁化系數；Man為無磁滯磁化強度；δM是為了避免式（6）出現非物理解而引入的系數，即

Man為

式中，Ms為飽和磁化強度；He為有效磁場強度；a為無磁滯磁化曲線形狀參數。

以實測與計算的磁滯回線誤差最小為優化目標，通過優化算法確定J-A模型的參數[9]。目前，該類算法主要包括遺傳算法、粒子群算法[17]、人工魚群算法、蛙跳算法[18]和模擬退火算法[9]及兩兩之間的混合算法[19]等。

本文采用GlobalSearch(GS)算法對五個模型參數進行辨識提取，GS算法是一種全局最優算法，在參數區間內使用分散搜索算法進行多次局部尋優，并對局部最優結果進行對比，返回目標函數全局的最小值和對應的參數[20-21]。

引入磁通密度B的方均根誤差RMSE作為GS算法的目標函數，將J-A磁滯模型五個參數的提取問題轉換為尋找目標函數全局最小值的優化問題。目標函數為

式中，Bj為磁通密度試驗測量值；Bsimj為磁通密度計算值；J為采樣個數。

使用GS全局最優算法辨識五個參數的上下限設置范圍可參考表1[9]。

表1 J-A模型參數上下限范圍 Tab.1 Range of J-A model parameters

表1中Hd為矯頑力，Mmax為磁化強度最大值。對于部分軟磁材料，k取值近似等于Hd[16]。

根據本文樣機所用硅鋼片標準樣片的實測磁滯回線數據，利用GS優化算法提取此材料的J-A模型參數為a=6.543A/m，k=16.653A/m，c=0.032 6，Ms=1.537×106A/m，α=1.640×10-5。GS優化算法求出的磁滯回線與硅鋼片標準樣片磁滯回線對比如圖 5所示?？梢钥闯觯珿S優化算法計算的磁滯回線在飽和區與實測曲線基本吻合，可以有效反映變壓器在飽和狀態的工作特性。

圖5 GS算法計算與實測磁滯回線對比 Fig. 5 Hysteresis loop of the GS model and the measurement results

2 FEM建模與分析

平面疊鐵心變壓器通常在鐵心窗口截面建立二維簡化模型，而立體卷鐵心變壓器的各相鐵心窗口截面不在同一平面，難以建立二維模型，而三維模型的計算精度與計算規模存在較大矛盾。

本文嘗試提出一種立體卷鐵心變壓器有限元二維等效建模方法，便于開展變壓器鐵心工作特性的定量分析。

2.1 FEM二維等效模型

變壓器所滿足的電磁感應定律、安培定律公式為

式中，e為感應電壓；N為匝數；A為單框鐵心截面積；i為電流；L為單框鐵心磁路長度。

針對立體卷鐵心變壓器的結構特征，平行于鐵心窗口，沿等邊三角形展開為二維等效模型，同時設置周期性邊界條件，建立立體卷鐵心變壓器二維等效模型如圖6所示。二維等效建模時應當遵循上述變壓器基本公式（10）、式（11），維持N、A、L不變，保持鐵心和繞組主體結構不變，特別是鐵心彎曲半徑要與三維模型保持一致性。

圖6 立體卷鐵心變壓器二維等效模型 Fig.6 Two-dimensional equivalent model of 3D wound core transformer

2.2 單框鐵心等效模型參數確定

設定單框中軸線長度為磁路長度L，鐵心窗口寬度為b，磁路寬度為w，將三維模型轉換成二維模型時保持單框中軸線長度仍為L，同時b、w保持不變。單框鐵心示意圖如圖7所示，圖中h為鐵心窗口高度。

圖7 單框鐵心示意圖 Fig.7 Single frame core

為保持單中心投影后單框鐵心截面積A不變，磁路寬度w與二維模型深度d的關系式為

由圖7可得磁路長度L計算公式為

2.3 二維等效模型與三維模型對比

為了驗證本文提出的二維等效模型計算的準確性與快速性，針對本文變壓器樣機案例（參數詳見第4節），建立三維模型進行對比，網格剖分對比如圖8所示。

圖8 FEM三維模型與二維等效模型網格剖分對比 Fig.8 Comparison of mesh division between FEM 3D model and 2D equivalent model

以三相額定電壓激勵空載工況為例，立體卷鐵心變壓器矢量磁通密度分布及各單框磁通密度仿真結果對比如圖9~圖11所示，其中圖11中的磁通密度是指三維模型或二維等效模型中鐵心截面的平均磁密。

由圖11可知，FEM二維等效模型與三維模型AB單框、BC單框、CA單框磁通密度幅值的仿真誤差分別為0.89%、3.32%、0.58%，誤差在允許范圍內。

圖9 FEM三維模型鐵心矢量磁通密度 Fig.9 Core vector magnetic density in 3D FEM model

圖10 FEM二維等效模型鐵心矢量磁通密度 Fig.10 Core vector magnetic density in 2D equivalent FEM model

圖11 二維等效模型與三維模型各單框磁通密度仿真值 Fig.11 Simulation results of single frame magnetic density in 2D equivalent model and 3D model

兩種仿真模型使用同樣的計算硬件條件，CPU型號Intel I5-9400F，計算內核共6核，仿真設置使用5核，主頻2.90GHz，內存16GB，仿真文件存儲在固態硬盤，二維等效模型與三維模型FEM仿真資源消耗情況見表2，表中磁通密度幅值是指三維模型或二維等效模型中鐵心截面平均磁通密度的幅值。對比可知，二維等效模型與三維模型仿真得到的磁通密度幅值誤差在允許范圍內，但三維模型耗時長且占用大量內存空間，二維等效模型可以比三維模型縮短96.66%的仿真時間，減少92.93%的內存占用空間。另一方面，在仿真計算過程中發現三維模型不易收斂，仿真效率較低。

表2 仿真計算時間 Tab.2 Simulation calculation time

本文二維等效模型主要考慮鐵心工作特性，通過有限元矢量磁滯法考慮鐵心非線性的影響，也可同時考慮繞組損耗與漏感的影響。

3 非正弦激勵下變壓器的工作特性

根據圖3立體卷鐵心變壓器等效磁路圖，搭建立體卷鐵心變壓器非線性磁路模型，將GS優化算法提取的J-A模型參數代入磁路模型，分別設置正弦波、三角波、方波激勵，添加給非線性磁路模型與FEM二維等效模型，驗證非正弦激勵下立體卷鐵心變壓器磁路模型的準確性與適用性。其中正弦波激勵驗證結果見第4節與試驗對比部分。

3.1 三角波激勵

三角波激勵采用幅值為282.8V的三相電壓激勵，磁路模型計算結果與FEM二維等效模型仿真結果對比如圖12所示。對比可知，磁路模型計算得到的勵磁電流與二維等效模型仿真得到的勵磁電流波形基本吻合，驗證了三角波激勵下磁路模型的準確性。

圖12 三相三角波激勵下計算值與仿真值結果對比 Fig.12 Comparison of calculation and simulation results under three-phase triangular excitation

3.2 方波激勵

方波激勵采用幅值為200V的三相電壓激勵，磁路模型計算結果與FEM二維等效模型仿真結果對比如圖13所示。對比可知，磁路模型計算得到的 勵磁電流與二維等效模型仿真得到的勵磁電流波形基本吻合，驗證了方波激勵下磁路模型的準確性。

圖13 三相方波激勵下計算值與仿真值結果對比 Fig.13 Comparison of calculation and simulation results under three-phase square excitation

4 試驗驗證

建立試驗平臺如圖14所示，試驗用某80kV·A樣機參數見表3。主要測量設備為橫河DL850示波記錄儀、Isoprobe Ⅱ700929（10:1）電壓探頭、致遠ZY-CTS5（10mV/A）電流探頭，在AB單框與CA單框鐵軛處設置10匝測量線圈。試驗內容包括單相激勵空載試驗、三相激勵空載試驗兩部分。

圖14 試驗平臺 Fig.14 Experimental platform

表3 某立體卷鐵心變壓器樣機基本參數 Tab.3 Basic parameters of 3D wound core transformer prototype

4.1 單相激勵

單相激勵空載試驗原理如圖15所示。圖中Ap、Bp、Cp表示A、B、C三相的一次繞組，As、Bs、Cs表示二次繞組，UPA表示單相電壓激勵。單相額定電壓激勵下立體卷鐵心變壓器試驗值與非線性磁路模型計算值、FEM二維等效模型仿真值對比如圖16所示，具體數值對比見表4，表中磁通密度幅值，對于計算值是指磁路分析法中磁路等效截面平均磁通密度的幅值；對于試驗值是指鐵心截面平均磁通密度的幅值；對于仿真值是指FEM三維或二維等效模型中鐵心截面平均磁通密度的幅值。對比試驗值可知，在單相額定電壓激勵下，非線性磁路模型單框鐵心的磁通密度幅值相對誤差不大于0.29%，勵 磁電流幅值相對誤差不大于0.46%；FEM二維等效模型單框鐵心的磁通密度幅值相對誤差不大于0.41%，勵磁電流幅值相對誤差不大于0.31%。

圖15 單相激勵空載試驗原理圖 Fig.15 Schematic diagram of no-load experiment under single-phase excitation

圖16 單相激勵下試驗值與計算值、仿真值結果對比 Fig.16 Comparison of experimental values with calculation and simulation values under single-phase excitation

表4 單相激勵下試驗值與計算值、仿真值結果對比 Tab. 4 Comparison of experimental values with calculation and simulation values under single-phase excitation

4.2 三相激勵

三相激勵空載試驗原理如圖17所示。圖中UPA、UPB、UPC表示三相額定電壓激勵。

圖17 三相激勵空載試驗原理圖 Fig.17 Schematic diagram of no-load experiment under three-phase excitation

三相額定電壓激勵下立體卷鐵心變壓器試驗值與非線性磁路模型計算值、FEM二維等效模型仿真值對比如圖18所示，具體數值對比見表5，表中磁密幅值的定義同表4。

圖18 三相激勵下試驗值與計算值、仿真值結果對比 Fig.18 Comparison of experimental values with calculation and simulation values under three-phase excitation

表5 三相激勵下試驗值與計算值、仿真值結果對比 Tab. 5 Comparison of experimental values with calculation and simulation values under three-phase excitation

與試驗值對比，在三相額定電壓激勵下，非線性磁路模型單框鐵心的磁通密度幅值相對誤差不大于0.46%，各相勵磁電流幅值相對誤差不大于13.03%；FEM二維等效模型單框鐵心的磁通密度幅值相對誤差不大于0.46%，各相勵磁電流幅值相對誤差不大于7.63%。

以上結果驗證了本文建立的非線性磁路模型、FEM二維等效模型的準確性。

4.3 磁滯特性對計算結果的影響

針對本文變壓器樣機案例，考慮磁滯特性前后的勵磁電流及各單框磁通密度FEM仿真結果如圖19所示，圖20是考慮磁滯特性前后的勵磁電流仿真值與試驗值幅頻特性對比，具體數值對比見表6。

圖19 磁滯材料與無磁滯材料二維等效模型 仿真結果對比 Fig.19 Comparison of simulation results of 2D equivalent model between hysteresis and non-hysteresis materials

圖20 勵磁電流諧波頻譜 Fig.20 Harmonic spectrum of excitation current

表6 磁滯材料與無磁滯材料二維等效模型仿真與 試驗結果對比 Tab.6 Comparison of experimental values with simulation values of 2D equivalent model using hysteresis and non-hysteresis materials

對比可知未使用磁滯材料的FEM仿真所得到的勵磁電流波形在幅值點所在軸線左右對稱，這與實際勵磁電流波形不吻合。考慮鐵心磁滯特性前后單框磁通密度幅值仿真值與試驗值相對誤差不大于0.28%，但勵磁電流5次諧波幅值仿真值與試驗值相對誤差由37.70%下降至1.03%。

4.4 不同電壓激勵下零序三次諧波對磁密幅值的影響

基于非線性磁路模型，在圖17所示三相激勵空載試驗原理圖下，采用不同的電壓激勵，計算數據匯總見表7，試驗數據匯總見表8，不同電壓激勵下的單框磁通密度幅值與心柱平均磁通密度幅值比值如圖21所示，磁通密度諧波含有率如圖22所示。

表7 不同電壓激勵下非線性磁路模型計算結果 Tab.7 Calculation results of nonlinear magnetic circuit model under different voltage excitation

表8 不同電壓激勵下試驗結果 Tab.8 Experimental results under different voltage excitation

對比非線性磁路模型計算數據與試驗數據可知，鐵心從不飽和狀態進入飽和狀態的過程中，單框磁通密度幅值與心柱平均磁通密度幅值的比值趨近于1，單框三次諧波磁通密度幅值與含有率逐漸增加，單框磁通密度幅值與基波磁通密度幅值之比Bm/Bm1逐漸減小。在額定電壓激勵時非線性磁路模型計算的Bm/Bm1為86.69%，試驗值計算的Bm/Bm1為87.69%，二者相差1.0%，Bm/Bm1趨近于86.6%，與 文獻[2]結論相同，同時也驗證了本文非線性磁路模型的準確性。

圖21 單框磁通密度幅值與心柱平均磁通密度幅值比值 Fig.21 Ratio of single frame magnetic density amplitude to core column average magnetic density amplitude

5 結論

1）本文基于J-A磁滯模型建立了立體卷鐵心變壓器非線性磁路模型，開展了三角波、方波激勵下立體卷鐵心變壓器的空載特性分析。

2）建立了立體卷鐵心變壓器FEM二維等效模型，相比三維FEM模型，可以縮短96.66%的仿真時間，減少92.93%的內存占用空間。

3）考慮磁滯特性前后，單框磁通密度幅值與試驗值相對誤差不大于0.28%，但勵磁電流5次諧波幅值與試驗值相對誤差由37.70%下降至1.03%。可見磁滯特性對勵磁電流5次諧波幅值影響較大。

4）對比單相與三相額定電壓激勵空載工況下磁路模型計算值、FEM二維等效模型仿真值與試驗值，驗證了本文建立的非線性磁路模型、FEM二維等效模型的準確性。

5）立體卷鐵心的三個鐵心框磁路相對獨立，鐵心飽和時，由于三次零序磁通的存在，單框磁通密度幅值接近基波磁通密度幅值的86.6%，單框磁通密度幅值與心柱平均磁通密度幅值的比值趨近于1。因此，與傳統三相三柱疊鐵心結構相比，三相立體卷鐵心結構的心柱材料利用率相當。

6）本文模型可用于非正弦供電立體卷鐵心變壓器的鐵心工作特性分析，為立體卷鐵心變壓器在電力電子電能變換領域的應用提供技術支撐，后續擬開展SPWM激勵下的立體卷鐵心變壓器電磁暫態過程與直流偏磁的研究。