基于Homotopy-Tikhonov算法的接地網電阻抗成像方法

閆孝姮 林曉雪 呂秋皓 陳偉華

（遼寧工程技術大學電氣與控制工程學院 葫蘆島 125000）

0 引言

接地網是變電站、發電廠的重要組成部分，接地網性能的好壞直接影響工作人員及電氣設備的安全[1-3]。由于接地網常年埋于地下，接地網導體常常因受土壤侵蝕而無法正常工作，目前已經發生了多起因接地網造成事故的事例，因此需要對接地網進行故障診斷，為電力系統穩定運行提供保障[4-5]。目前提出的很多方法難以得到準確的結果，實際上憑借經驗進行停電開挖判斷，具有盲目性并且無法直觀成像[6]。

電阻抗成像（Electrical Impedance Tomography, EIT）技術具有非入侵、無損傷、結構簡單、易于操作且成本低廉等優點，有廣闊的應用前景[7]。然而提高圖像質量和分辨率是當前電阻抗成像領域的一大挑戰[8]，特別是EIT技術應用于接地網故障診斷領域，由于接地網的測量電壓數據有限，不足以反映重構目標的基本特征，且接地網中導體和土壤的電阻率數量級相差巨大使其系統矩陣病態性嚴重，因此EIT逆問題具有不適定性[9]。

為了克服EIT逆問題的不適定性，國內外學者提出了具有各種技術的逆問題方法。其中，B. S. Kim[10]提出了自適應閾值的網格細化方法，能在一定程度上提高圖像質量。但對于接地網而言，網格剖分單元太多會加劇逆問題病態性且計算時間增加。2012年，劉杰等[11]設計了一套基于電阻抗成像的接地網故障診斷自動測量系統，在接地網電壓循環測量原理的基礎上獲得更多的測量電壓數據，然而該系統逆問題成像具有病態性，只能判斷接地網腐蝕的區域，不能準確定位。EIT不適定問題通常需要加入正則化求解，Tikhonov正則化是常用的方法之一[12-14]。因此為了改善逆問題病態性，2015年代鋒[15]將Tikhonov正則化方法應用到接地網電阻抗成像中，使迭代求解過程的穩定性得到很大提高，在一定程度上克服了逆問題的病態性，但Tikhonov正則化是局部收斂的，對于具有多種不同介質的接地網模型，尤其在接地網導體和土壤數量級相差巨大的情況下，迭代過程很難收斂。此外，牛頓類算法對迭代初值要求比較苛刻[16]，對于圖樣已經丟失的老舊變電站，場域剖分單元初值很難預先給定，因此需要一種能夠對初值要求寬松的全局收斂方法。2003年，T. M. Wu[17]在傳統牛頓法中引入輔助同倫函數，避免因初值選取不當而發散的問題。2008年，徐桂芝等[18]提出將同倫延拓法與牛頓類算法相結合，應用于四介質的三維電阻抗成像問題，證明了該算法具有大范圍收斂性。2017年，N. Mostashiri等[19]將同倫延拓法應用在空間并聯機器人數值求解運動學問題中，指出該方法減輕了傳統數值方法的初始取值不當及收斂困難等問題。2020年，Wang Mengran等[20]從數學角度證明了同倫延拓法在求解非線性方程組中的可行性。此外，在文獻[21-24]表明同倫延拓法不依賴于矩陣方程的初始值，計算使得誤差較大的初始值接近真實電阻率，克服迭代過程中的局部收斂性問題。

因此，為了改善接地網電阻抗成像逆問題的病態性，本文將傳統的同倫延拓法與Tikhonov正則化相結合，提出了具有全局收斂性的Homotopy-Tikhonov算法（HT-GN）。在最佳迭代初值和最佳正則化參數基礎上對比了該算法與Tikhonov算法的接地網重建圖像，然后分析了不同迭代初值、不同正則化參數對接地網成像的影響，最后進行了接地網不同腐蝕程度的仿真成像，并針對輕腐蝕情況進行了接地網實驗成像，驗證了該方法收斂性能最優，腐蝕位置更清晰，可更好地改善接地網電阻抗成像的病態性問題。

1 接地網電阻抗成像原理

接地網電阻抗成像原理是通過在接地網的引下線注入電流，測量其他引下線之間的電壓來確定未知介質電阻率分布的問題，其正、逆問題關系如圖1所示。

圖1 接地網正、逆問題關系圖 Fig.1 Diagram of forward and inverse problems of grounding grid

在接地網電阻抗建模中，需假設以下幾個條件：①施加直流電，忽略位移電流；②不考慮接地網引下線的面積；③成像場域是各向同性的；④電導率與電流密度無關。接地網電阻抗成像的數學問題是從狄利克雷-諾依曼圖中反演電阻率。根據Maxwell方程組，場域內滿足拉普拉斯方程，邊界滿足狄利克雷邊界條件和諾依曼邊界條件，接地網電阻抗成像的數學模型表示為[25]

式中，σ為場域內的電導率分布；φ為場域內的電位分布；Ω為待求解的場域，Ω?為場域Ω的邊界；f為已知邊界電位；j為流入場域Ω的電流密度；n為場域Ω的外法向單位向量。

EIT逆問題可以表示為如式（2）的非線性方程組。

式中，U(ρ)為注入直流電后，對應電阻率分布ρ的計算電壓；V為測量電壓；ρ為采用有限元法得到的N個剖分單元的電阻率，ρ=[ρ1ρ2ρ3???ρN]T。

實際上，由于各種誤差存在，很難得到U(ρ)和V的等式關系，通常用最小二乘法構造誤差函數，即求解滿足計算電壓和測量電壓的差值在一定范圍內的電阻率分布，其EIT逆問題數學模型為

式（3）是一個典型的非線性方程組的優化問題，為了使誤差最小，對其進行求導，并且采用迭代法逼近真值。

2 Homotopy-Tikhonov算法（HT-GN）的求解

2.1 Tikhonov正則化原理

由于EIT逆問題具有不適定性，為了得到接地網的電阻率分布情況，通常加入經典的Tikhonov正則化算法，該算法由Tikhonov在20世紀60年代初提出，工程上廣泛使用，其構造的泛函為

式中，α為Tikhonov正則化參數，通過L曲線法求得；L為正則化矩陣，這里取單位陣；ρ0為初始電阻率。

式（5）是在式（4）基礎上得到的忽略高階項的電阻率迭代式，是電阻抗成像中典型的基于Tikhonov正則化的高斯牛頓迭代法（Gauss-Newton）。

式中，k為迭代次數，k=1,2,3,…；J為雅克比矩陣，Δρ為電阻率變化量，ΔU(ρ)為對應Δρ的電壓變化量，ΔU(ρ)=JΔρ。

2.2 Homotopy原理

基于Tikhonov正則化的高斯牛頓迭代法具有局部收斂性質，Homotopy具有全局收斂性，文獻[26]指出常用的數學同倫方法有牛頓同倫、定點同倫、定尺度仿射同倫等，由定點同倫構造的HT-GN算法方程表述為

式中，t為Homotopy參數，取值[0,1]；ρ0為已知量。對于接地網而言，令G(ρ)=ρ?ρ0，E(ρ)=F′(ρ)，t=k/K，其中k=1,2,3,…,K，K為電阻率初始值求取的迭代次數。

2.3 HT-GN算法

基于Tikhonov正則化的高斯牛頓算法具有自校正的性質，只要給予恰當的初值，均能夠收斂到最終解，但是該方法對初值要求苛刻，接地網導體和土壤的電阻率數量級相差巨大，且當接地網拓撲未知的情況下，很難預先給定較好的初值，因此，本文引入對初值要求寬松的Homotopy法，得到基于Homotopy-Tikhonov算法（HT-GN）的接地網電阻抗成像故障診斷方法。

定義Eρ)是式（4）中F(ρ)的一階導數，即

將式（7）代入式（6）得到基于HT-GN算法的定點同倫表達式為

因此，式（9）為基于HT-GN算法的第一階段迭代表達式，目的是獲得新的貼近接地網真實電阻率的初值。

最終，得到基于HT-GN算法的第一階段為式（10），并將其得到的新的初值代入式（11），不斷迭代直至收斂，得到反映接地網腐蝕情況的電阻率分布。

當k=1,2,3,…,K時

當k＜K時

圖2 HT-GN算法流程 Fig.2 HT-GN algorithm flow chart

根據文獻[26]對Homotopy法進行討論，K選取經驗值15。當迭代次數小于等于設定值K時，按照式（10）更新電阻率，當迭代次數大于K時，按照式（11）更新電阻率，這樣式（10）就為式（11）提供一個比較好的初始值，Homotopy-Tikhonov（HTGN）的部分算法流程如圖2所示。 HT-GN算法的接地網成像流程為：首先輸入接地網引下線的測量電壓、初始電阻率、雅克比矩陣，初始化電壓誤差、電壓誤差精度、Homotopy迭代次數；然后通過正問題有限元法計算引下線上的電壓，代入式（10）進行Homotopy第一階段迭代運算，滿足k=K時，獲得新的初始電阻率ρK；最后將ρK代入式（11），求解電阻率分布ρ，并將計算電壓和測量電壓相比較，滿足w＜e則停止迭代，輸出電阻率分布ρ，否則繼續通過有限元計算引下線電壓，更新電阻率，直至滿足迭代條件為止。

3 仿真成像

為了驗證HT-GN算法在改善接地網電阻抗成像病態性的效果，本文通過COMSOL仿真軟件建立接地網正、逆問題模型, 圖3a為2×2接地網正問題的二維模型，“田”字輪廓為接地導體部分，選擇截面積為40mm×4mm的鍍鋅扁鋼構建邊長為40cm的拓撲結構，電阻率為1.67×10?7Ω?m 。接地網導體中上部分小矩形是腐蝕部分，腐蝕電阻率為1×10?6Ω?m 。其余為土壤部分，電阻率為200Ω?m。注入1A的直流電，采用循環測量模式得到測量電壓數據。圖3b是接地網未知拓撲結構的逆問題模型，該模型邊長為40cm，與接地扁鋼拓撲大小一致，根據有限元法對其進行三角形剖分，其中網格剖分單元數為200個，網格剖分節點數為117個。

圖3 接地網正、逆問題模型 Fig.3 Model of forward and inverse problems of grounding grid

在Matlab仿真平臺下，首先計算最佳迭代初值，并且通過L曲線法求取最佳正則化參數，在二者基礎上進行HT-GN算法和Tikhonov算法的接地網電阻抗成像，并引入電壓相對誤差進行圖像質量評價；其次研究不同迭代初值和不同正則化參數對HT-GN算法的接地網電阻抗成像的影響，結合收斂精度和電壓相對誤差，定性和定量地分析HT-GN算法在改善接地網病態性問題上的效果；最后運用HT-GN算法分別對輕腐蝕、重腐蝕和斷裂三種情況進行接地網仿真成像，驗證HT-GN算法在改善接地網電阻抗成像逆問題病態性上的優越性。

3.1 HT-GN算法與Tikhonov算法的成像對比

首先根據文獻[27]的公式計算接地網電阻抗成像迭代初值ρ0，即

式中，m為循環注入電流次數；n為測量電壓數量。經計算，本文接地網每個剖分單元最佳電阻率初值為6.51×10?7Ω?m。

由于電阻抗成像算法需要較優正則化參數來克服逆問題的病態性，因此兩種迭代算法的正則化參數α均通過L曲線法求解。HT-GN算法的最佳正則化參數分兩部分，第一部分為0.482，第二部分為0.446，Tikhonov算法的最佳正則化參數取為0.482。二者的L曲線如圖4所示。

圖4 HT-GN算法和Tikhonov算法L曲線 Fig.4 L curves of HT-GN algorithm and Tikhonov algorithm

最后在最佳迭代初值和正則化參數基礎上，對兩種算法分別進行接地網電阻抗成像，設置迭代精度為1×10?12，迭代上限為50次。圖5a、圖5b、圖 5c分別為無腐蝕情況下、有腐蝕情況下的HT-GN算法和Tikhonov算法的接地網剖分單元圖、色彩云圖及三維地形圖。

圖5 HT-GN算法和Tikhonov算法接地網重構圖像對比圖 Fig.5 Comparison of reconstruction images of ground grid by HT-GN algorithm and Tikhonov algorithm

從圖5可以看出，針對剖分單元圖和色彩云圖，四塊類似方形部分代表土壤，“田”字輪廓代表接地網導體，在有腐蝕的位置兩個方形土壤相連。針對三維地形圖，凸起的四部分代表土壤，其余凹陷部分代表接地網導體，在腐蝕位置兩塊土壤相連，有較小的凸起。對比無腐蝕情況的接地網圖像，可以明顯看出兩種重建算法均能反映2×2接地網中的扁鋼、腐蝕區域及土壤分布，但兩種算法的圖像也不盡相同。本文提出的HT-GN算法在剖分單元成像、色彩云圖成像及三維地形圖成像下能更清晰完整地呈現腐蝕區域。因此，在最佳迭代初值和正則化參數前提下，HT-GN算法重建的接地網腐蝕圖像清晰度優于Tikhonov算法。

為了進一步定量分析基于HT-GN算法的接地網圖像質量情況，本文引入電壓相對誤差評價重構圖像，其定義為

根據最佳迭代初值和正則化參數，兩種算法的電壓相對誤差對比情況如圖6所示，同時為了直觀地展現兩種算法的電壓相對誤差數值，表1為選取了部分迭代次數下的電壓相對誤差結果。由表1可見，基于Tikhonov算法的接地網電阻抗成像在迭代4次開始EV數值逐漸趨于穩定，而HT-GN算法在迭代了19次才開始變得平緩，但是在二者EV均穩定后，HT-GN算法的電壓相對誤差要更小。顯然HTGN算法在最佳迭代初值和最佳正則化參數前提下，無論是直觀還是定量對比，在圖像精度上均優于Tikhonov算法。

圖6 電壓相對誤差對比圖 Fig.6 Voltage relative error comparison diagram

表1 HT-GN算法和Tikhonov算法的電壓相對誤差 Tab.1 Voltage relative error of HT-GN algorithm and Tikhonov algorithm

3.2 迭代初值的影響

對于多介質且介質之間電導率數量級差別大的模型，例如本文的接地網模型，HT-GN算法是適用的，它提高了圖像的精度，且對初值的要求比較寬松。文獻[26]提到Homotopy基本上對任意初始值均具有全局收斂性，但是針對接地網模型，HT-GN算法能否完全消除對初值的依懶性，需要進行大量的探究。3.1節已經求出較好的電阻率迭代初值，因此本文為了探究HT-GN算法的接地網電阻抗成像對初值的依賴性，分別取最佳迭代初值的0.2倍、0.5倍、1倍、1.2倍和1.5倍，圖7為不同初值下HTGN算法的接地網重建圖像。

圖7 不同迭代初值的接地網重建圖像 Fig.7 Reconstruction images of ground grid with different initial iteration values

由圖7所示，在已有的圖像基礎上，由式（12）求得的最佳迭代初值反映接地網腐蝕情況最好，病態性問題較輕。為了直觀驗證結論，引入計算電壓和測量電壓的2范數作為收斂精度進行定量分析。圖8為五種初值下HT-GN算法的接地網圖像收斂曲線。

圖8 不同迭代初值的HT-GN算法收斂曲線 Fig.8 Convergence curves of HT-GN algorithm with different initial iteration values

從圖8的結果可以看出，收斂精度在迭代初期變化大，隨著迭代次數不斷增加，收斂精度變化幅度越來越小，在迭代15~20次之間趨于平穩，穩定之后的收斂精度見表2。從表中可以看出，按照文獻[27]取的初值，其收斂精度一直是最佳的。就目前取的初值，HT-GN算法的接地網圖像均能收斂，進一步證實其對初值的要求比較寬松。

表2 不同迭代初值的收斂精度 Tab.2 The convergence precision of different initial values of iterations

3.3 正則化參數的影響

對于HT-GN算法，正則化參數包含兩部分：第一部分正則化參數的目的是計算出更貼近真實電阻率的迭代初值；第二部分正則化參數的目的是在該迭代初值基礎上更加精確地迭代到真值。因此為了進一步探索正則化參數對基于HT-GN算法的接地網電阻抗成像的影響，本文提出HT-GN算法的第一部分正則化參數仍然根據3.1節L曲線法求解，而第二部分參數設置為以下五種數值，分別為0.04、0.08、0.4、0.8、2。圖9為不同正則化參數下HT-GN算法和Tikhonov算法的接地網重建圖像。

圖9 不同正則化參數的接地網腐蝕成像圖 Fig.9 Corrosion images of grounding grid with different regularization parameters

從圖9可以看出，當正則化參數α=0.04時，Tikhonov算法的接地網圖像不收斂，無法反映腐蝕情況，而HT-GN算法能夠顯示出腐蝕位置；隨著α的增加，兩種算法的接地網腐蝕情況反映逐漸明顯，但是當正則化參數太大，如α=2，與HTGN算法相比，Tikhonov算法的接地網腐蝕成像不明顯。因此，HT-GN算法的接地網腐蝕位置成像受正則化參數影響較小，同時在正則化參數相同情況下該算法重建圖像清晰度、完整性均優于Tikhonov算法。

3.4 腐蝕程度的影響

上文接地網腐蝕位置的電阻率設為1×10?6Ω?m ，鍍鋅扁鋼電阻率為1.67×10?7Ω?m ，土壤電阻率為200Ω?m，其結果表明HT-GN算法更好地改善了接地網電阻抗成像逆問題的病態性，為了進一步研究不同腐蝕程度下，HT-GN算法的接地網成像逆問題改善情況，本文設置了輕腐蝕、重腐蝕和斷裂三種情況，接地扁鋼長度為0.4m，腐蝕長度為0.07m，具體參數見表3。當腐蝕位置的電阻率大小是1×10?6Ω?m 時，經計算，有、無腐蝕的電阻之比為1.873:1，定義為輕腐蝕；同理，當腐蝕位置電阻率大小是2×10?3Ω?m 時，有、無腐蝕之比為2 095:1，定義為重腐蝕；當腐蝕的電阻大小是200Ω?m，與土壤電阻率一致時，定義為斷裂情況，具體成像結果如圖10所示。

圖10 不同腐蝕程度的接地網腐蝕成像圖 Fig.10 Corrosion imaging of grounding grid with different corrosion degrees

表3 三種腐蝕程度的電阻值 Tab.3 Resistance values for three corrosion degrees

由圖10可見，在相同腐蝕程度下，與Tikhonov算法相比， HT-GN算法的接地網圖像腐蝕位置更清晰，且腐蝕程度越大，這種情況越明顯。為了定量分析此結論，借助電壓相對誤差進行圖像質量評價，圖11為兩種算法在不同腐蝕程度下的電壓相對 誤差情況。

圖11 不同腐蝕程度的電壓相對誤差對比 Fig.11 Comparison of voltage relative errors with different corrosion degrees

表4數據取自圖11中電壓相對誤差穩定后的數值，可以明顯看出，每種腐蝕情況下，HT-GN算法接地網成像的電壓相對誤差小于Tikhonov算法，改善接地網逆問題病態性問題效果更好，圖像精度更高。

表4 三種腐蝕程度的電壓相對誤差 Tab.4 Voltage relative error for three corrosion degrees

4 實驗驗證

本文為了驗證HT-GN算法能夠改善接地網的病態性，選用40mm×4mm的鍍鋅扁鋼，搭建3×3的接地網模型，每個網格長度為0.5m，恒流源注入1A的直流電，測量系統采集電壓數據上傳至計算機，最后導入Matlab進行電阻抗成像。圖12為3×3接地網模型，電壓循環測量系統獲取電壓數據，該系 統由電流注入和電壓采集通道的自動切換模塊、高精度模數轉換模塊、數據傳輸模塊和人機交互模塊四部分組成。

圖12 3×3接地網模型 Fig.12 3×3 grounding grid model

電壓測量采用四電極法，以減少兩電極系統的接觸阻抗對接地網成像的影響，測量節點個數為16，測量方式為循環測量，即以第16節點為參考，將一組電極，如1-2、1-3、…1-15、2-3、…2-15、…14-15中的前一個電極作為電流注入點，后一個電極作為電流流出點，依次循環，最終得到105×13個測量電壓數據。

此次實驗是在已知接地網圖樣或者已經通過其他方法重建了接地網拓撲的情況下[28]，在實驗室里模擬了接地網一處和二處腐蝕情況。由于接地網土壤和扁鋼電阻率數量級相差大，鍍鋅扁鋼電阻率為1.67×10?7Ω?m，而土壤電阻率通常為200Ω?m，因此在電阻抗逆問題成像中可以忽略土壤只留下扁鋼。仿真對比了接地網重腐蝕、輕腐蝕、斷裂三種情況，其中接地網輕腐蝕圖像精度最高，按照輕腐蝕中有、無腐蝕電阻率之比為1.873:1的標準，本實驗選用長度為50cm的鍍鋅扁鋼，測得電阻大小為2.519mΩ，用絕緣細繩將斷開的鍍鋅扁鋼與另外長度為10cm的鍍鋅扁鋼綁緊，此時電阻值為4.169mΩ，有無腐蝕之比為1.655:1，能夠滿足輕腐蝕的成像需要，因此本文在輕腐蝕狀態下接地網模擬了1處和2處腐蝕情況。

圖13 一處接地網腐蝕的示意圖和成像圖 Fig.13 Diagram and imaging of a grounding grid corrosion

圖14 兩處接地網腐蝕的示意圖和成像圖 Fig.14 Schematic diagram and imaging of two grounding grid corrosion

圖13a和圖13b分別為一處腐蝕的接地網成像的示意圖和對應的逆問題成像圖。同理，圖14a和圖14b分別為兩處腐蝕的接地網成像的示意圖和對應的逆問題成像圖。兩個逆問題成像圖均能清晰地顯示出腐蝕的數量和位置，驗證了該方法在改善接地網病態性問題上的可行性。

5 結論

為了克服接地網扁鋼和土壤電阻率數量級相差巨大，改善接地網電阻抗成像病態性問題，本文提出了基于Homotopy-Tikhonov算法（HT-GN）的接地網電阻抗成像故障診斷方法。借助COMSOL 和Matlab兩個仿真軟件，對接地網進行了電阻抗成像。仿真和實驗結果表明，基于HT-GN算法的接地網圖像改善病態性效果更好。主要結論如下：

1）在求取的最佳迭代初值和最佳正則化參數基礎上，對比了HT-GN算法和Tikhonov算法的接地網重建圖像，仿真結果表明基于HT-GN算法重構的接地網圖像腐蝕位置更加清晰，且收斂后的電壓相對誤差更小，優于Tikhonov算法重建的接地網圖像，但迭代次數相對較多。

2）針對HT-GN算法的接地網電阻抗成像，分別對比了最佳迭代初值與該初值的0.2~1.5倍、最佳正則化參數與其他正則化參數的接地網重構圖像，仿真結果表明采用HT-GN算法的接地網圖像在幾種迭代初值條件下均能收斂，并且在最佳迭代初值和最佳正則化參數條件下腐蝕區域成像效果最好，圖像清晰度最高。進一步驗證了在接地網電阻抗成像中，該方法對電阻率迭代初值要求更加寬松且成像效果與正則化參數的選取密切相關。

3）仿真設置了接地網輕腐蝕、重腐蝕、斷裂三種情況，結果表明采用HT-GN算法均能反映接地網腐蝕位置，且輕腐蝕狀態下電壓相對誤差最小，隨著腐蝕程度加大，接地網腐蝕區域成像越明顯。同時接地網實驗驗證了輕腐蝕條件下該方法重建圖像的可行性。

因此，本文提出的基于HT-GN算法的接地網電阻抗成像腐蝕位置更清晰，收斂效果最好，更好地改善了電阻抗成像逆問題的病態性，為解決接地網腐蝕定位成像提供了一種新方法，推動了電阻抗成像技術在接地網中的實際應用，有利于解決實際工程問題。