基于粒子群算法的灌溉水泵系統優化設計與運行

江如春，徐俊，于洪亮

（江蘇省江都水利工程管理處，江蘇 揚州 225200）

0 引言

灌溉區運行泵站所需的能量可能很大，節約能源成本的最大潛在領域之一在于抽水作業的調度。新建泵站耗資巨大且能源成本的不斷增加，使泵站的優化設計和運行越來越受到研究者重視。吳遠為等使用改進的粒子群算法來優化泵調度系統，以期達到將24 h內的泵送成本降至最低；江磊等在穩態流中尋找泵站和輸水系統的優化設計；馮曉莉和方國華等人使用遺傳算法優化灌溉泵站。

從數學上講，泵站的優化設計和運行是一個大規模的非線性規劃問題，因為該問題在決策變量的數量和約束條件的非線性方面的規模很大。灌溉泵送系統設計和運行問題的目標是在滿足系統約束的同時，使建設和運行的年折舊成本最小化，以考慮水力學行為，決策變量的邊界約束，以及其他可能反映操作員偏好或系統限制的約束。

文章提出了一種用于灌溉抽水系統優化設計和運行的新管理模式。該模型引用粒子群優化算法，開發了一個兩步優化模型，隨后用粒子群優化方法求解。該模型首先對能夠在所需時間段內滿足給定需求的所有可行泵組合進行詳盡的枚舉搜索，然后調用粒子群優化算法來搜索每個集合的最佳操作。在解決了所有可行機組的運行問題后，對所有機組和最優機組計算運行總成本和初始投資折舊，并確定相應的運行策略。將所提出的模型應用于實際灌溉抽水系統的設計和運行，并給出了結果并與遺傳算法的結果進行了比較。結果表明，該模型與粒子群優化算法相結合，是一種通用的灌溉抽水系統設計與運行管理模型真實世界的灌溉泵送系統。

1 粒子群優化算法

在粒子群算法中，每一個粒子個體都根據自己和同事的歷史經驗在一個D維空間中飛行，并且粒子隨機運動，都在問題空間中追蹤自己的坐標。PSO還跟蹤所有粒子的最佳解決方案（gbest），以及目前為止每個粒子實現的最佳解決方案（pbest）。在訓練迭代結束時，粒子群算法改變每個粒子的速度，使其趨近于pbest和當前的pbest值。

之后，有專家學者根據粒子群優化算法的背景和鳥群的模擬，提出了粒子群優化算法的概念。假設搜索空間是D維的，則群的第i個粒子可以用一個D維向量表示，Xi=（xi1，xi2，...xiD）T。這個粒子的速度（位置變化）可以用另一個D維向量來表示，Vi=（vi1，vi2，...viD）T，用以修改其最佳解決方案的位置（pbest）及其坐標。這些信息類似于每個粒子的經歷。此外，每個代理都知道到目前為止在pbest中的最佳值（gbest）。這些信息類似于他們周圍的其他粒子如何執行的知識。即每個粒子都試圖使用以下信息修改其位置：當下位置Xi；目前速度Vi；當前位置和pbest之間的距離；當前位置和gbest之間的距離。

這種修改可以用速度的概念來表示。每個粒子的速度可以通過以下等式進行修改：

上式中，vni,d為粒子i在維度d處的速度；n為迭代次數；w為慣性權重；c1、c2為兩個正常數，分別稱為認知參數和社會參數；r1、r2是隨機數，其值均勻分布在0和1之間；sni,d為粒子i在d維度處的當前位置，迭代次數為n；pbestni,d為在d維度，迭代n時，粒子i的pbest；gbestni,d為d維度群組迭代n次的gbest；i=1，2，...，N，N是群組的大小；d=1，2，...，D，D是維數；n=1，2，...，iTermax；iTermax是迭代次數最大值。

當前位置（解空間中的搜索點）可以通過下式進行修改：

式（1）和（2）定義了PSO算法的初始版本。由于粒子的速度沒有被有效控制，所以必須施加一個最大值，將其定義為vmax。如果速度超過vmax，則令它等于vmax。這個參數被實踐證明是至關重要的，因為過大的值會導致粒子越過好的解，而小的值則會導致搜索空間不足。

方程（1）中慣性權重w的作用被認為是PSO收斂行為的關鍵。慣性權重用于控制先前歷史速度對當前速度的影響。相應地，該參數調節了群體的全局和局部探測能力之間的權衡。大慣性權重有利于全局搜索（搜索新區域），小慣性權重有利于局部搜索，即微調當前搜索區域。慣性權重的適當值通常提供全局和局部探索能力之間的平衡，從而減少定位最優解所需的迭代次數。最初，慣性重量是恒定的。然而，實驗結果表明，最好先將慣性權重設置為一個較大的值，以促進對搜索空間的全局探索，并逐漸減小慣性權重以得到更精細的解。因此，通過專家學者的不懈努力，在各代慣性權重線性變化的情況下，對粒子群優化算法的性能進行了顯著改進，慣性權重從搜索開始時的wmax到搜索結束時的wmin呈線性變化。因此，在等式（1）中通常使用以下加權函數。

其中wmax為初始權重；wmin為最終重量；iTermax為最大迭代次數；n為當前迭代次數。

式（1）中的參數c1和c2對PSO的收斂性不是關鍵性因素。然而，適當的微調可能會導致更快的收斂并減緩局部極小值。作為默認值，c1=c2=2，但實驗結果表明c1=c2=0.5可能會得到更好的結果。最近的研究表明，選擇一個較大的認知參數c1可能比選擇一個社會參數c2更好，但應保證c1+c2≤4。參數r1和r2用于維持種群的多樣性，并且它們均勻分布在（0，1）范圍內。

2 模型優化

為了實現優化過程，可以使用一種適當的方法，根據增量時間流量持續時間曲線來使每個泵組的消耗能量最小化。消耗的能量Ek可表示為以下形式

其中，Ek為第k臺泵機年耗能總量；Qi,j為泵i在時間步長j處的流量；Hi,j為時間步長j時泵i的泵揚程；Eij為時間步長為j時泵i的效率；Δtj為需求-持續時間曲線上的時間步長；IQj為時間步j的總需求；ρ為水的密度；g為重力加速度；i，j，k：表示第k個泵組號的需求量-流量曲線第j部分中第i個泵的下標。并非泵效率是泵流量和泵揚程的函數，而是泵揚程與第j時間步的總排量有關。目標函數式（4）的約束條件為：

凈泵送高度Hi,j（IQj）還與總泵送揚程Hi,j相關，公式如下：

式中Li=泵的輸送管長度；f=摩擦系數；Di=泵的輸送管徑；HSi,j=持續時間步長j時泵i的靜壓頭；hfi,j=泵i持續時間步長j時的摩擦水頭損失。

下一步是計算生成機組的年度總成本（ATC）。目標函數可寫為：

式中CRF為資本回收系數，定義為：

CE、分別為第i臺泵的單位能源成本和成本；CRF=資本回收率；Ci=建設期后泵i的等效成本；CT=施工時間長度；r=利率。

為了進一步簡化計算過程，假設泵效率曲線是流量的函數，如下所示：

其中，ai，bi，ci為通過擬合過程從第i個泵的性能曲線中找到的系數。

3 模型應用

為做案例研究，文章考慮使用江蘇省南水北調項目某農業主泵站。圖1顯示了需求持續時間曲線及其離散化方案，由主泵站泵送。與試驗泵站的現有設計一樣，考慮采用一個流量持續時間曲線問題，其中12個分區代表一年中的每個月，每個泵組中有4種不同類型，最多10個單元泵。

圖1 試驗泵站農工項目需求柱狀圖

從4種不同的泵類型中選擇最佳的泵組。從給定泵的效率相對流量曲線中選擇的點列在表1中，并在設計實例和優化設計中使用。

表1 指定泵類型的效率-流量關系表

需要注意的是，在優化模型中，“相對流量”是每臺泵的流量與最大允許流量之比，qi=Qi/Qmaxi被選為決策變量以簡化計算。此外，令r=0.06每年，CT=3年，TP=20年，以便在優化模型的結果與工程設計的結果之間進行公平的比較。

在實際情況中，為了避免公式（4）計算中被零除的問題，效率-相對流量曲線考慮了兩種不同的曲線，以防止報告不可行和不正確的流量結果。因此，通過在程序中應用兩條曲線，即主曲線ei=aiqi2+biqi+ci和附加曲線，在不損失最終最優結果的情況下，在計算過程中消除了程序向不可行結果的轉移。表2顯示了10個第一優化組的泵數量和年總成本，而最佳泵組的典型排放量如表3所示。

表2 10臺第一最佳機組的泵數量和年總成本表

表3 最佳泵組的典型輸出流量表

在分析由兩個1型泵組成的系統所消耗能量后發現，盡管該變化似乎具有單峰性質，但實際目標函數可能表現出多峰特征，因為它是一些具有不同最佳點的近似單峰函數的疊加。

4 結論

文章將一種新的進化算法即粒子群優化算法應用于灌溉水泵系統的設計與運行問題。從數學上講，泵站的優化設計和運行是一個大規模的非線性規劃問題，因為問題的規模取決于決策變量和約束的個數和非線性。文章所提出的優化模型是一個兩步模型。該模型首先使用一個枚舉方案來尋找能夠提供給定需求曲線的一組可能的泵組合；第二步利用粒子群優化模型，在給定的可行條件下，通過改變泵組的設置和流量，使初始投資的運行成本和折舊成本最小化。研究以江蘇省南水北調某農工項目主泵站為例進行求解，并給出了計算結果，驗證了文章模型的可行性，為泵站運行穩定具有一定的指導意義。