圖形旋轉(zhuǎn)應(yīng)用的一點(diǎn)看法

黃麗芳

摘 要：本文通過對點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)、線的旋轉(zhuǎn)、面的旋轉(zhuǎn)等圖形旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用的例題的分析，闡明了對圖形旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用的一點(diǎn)看法，針對學(xué)生遇到圖形較復(fù)雜的題目往往束手無策的情況，通過把復(fù)雜的問題簡單化，把綜合性的難題分解成幾個(gè)較簡單的小問題，把這些小問題一個(gè)一個(gè)地解決，讓學(xué)生能按照所提示的步驟一步一步地嘗試著通過思考來解決問題，讓學(xué)生能夠通過自己動腦思考，找到解決這個(gè)問題的方法，從而達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生獨(dú)立自主學(xué)習(xí)、靈活學(xué)習(xí)、學(xué)以致用的目的。

關(guān)鍵詞：旋轉(zhuǎn);旋轉(zhuǎn)角;對應(yīng)點(diǎn)

前言

九年級上冊的圖形的旋轉(zhuǎn)是繼圖形的平移、對稱之后的基本變換，現(xiàn)實(shí)生活中旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用十分廣泛，教學(xué)過程中重要的是傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)思想和研究方法。因此本節(jié)課在教學(xué)中要力圖讓學(xué)生了解知識的形成和應(yīng)用過程，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)來源于生活又應(yīng)用于生活。但是很多學(xué)生對類似這樣的應(yīng)用題心存畏懼，有的學(xué)生一看到相對比較復(fù)雜的題目、圖形就想放棄，有的學(xué)生有心想去解題卻又找不到有效的解題方法，有的學(xué)生雖然能解答，但是卻耗時(shí)太長從而影響后面題目的解答，因此，能不能找到有效的解題方法是關(guān)鍵。

本論

圖形旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用題中，很多學(xué)生不能很好找到圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)對應(yīng)的點(diǎn)、線、面，從而不能很好的解決旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用問題。下面就圖形的旋轉(zhuǎn)從幾個(gè)方面談?wù)剬D形旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用的一點(diǎn)看法：

一、點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)

例1： 如圖所示，已知正方形ABCD中的△DCF可以經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到△ECB。

（1）圖中哪一個(gè)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)中心？

（2）按什么方向旋轉(zhuǎn)了多少度？

（3）如果CF=3cm，求EF的長。

分析：找到不動的點(diǎn)即旋轉(zhuǎn)中心、對應(yīng)點(diǎn)，從而找出相等的量：旋轉(zhuǎn)角相等、對應(yīng)線段相等，如上題，依題意得，不變的點(diǎn)是點(diǎn)C，找到旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)C，旋轉(zhuǎn)角∠DCB=∠FCE=90°，BC=DC，F(xiàn)C=EC，得到△FDC≌△EBC，EC=EF=3，在等腰直角三角形EFC中，EF= 。

例2：（2015湘潭）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，若線段AB=3，則BE= 。

分析：找到不動的點(diǎn)A即旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角∠EAB=∠DAC=60°，對應(yīng)線段AB=AE，得到△BAE是等邊三角形，BE=AB =3。

變形練習(xí)：（2010 江蘇鎮(zhèn)江）如圖，在△ABC和△ADE中，點(diǎn)E在BC邊上，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD。

（1）求證：△ABC≌△ADE;

（2）如果∠AEC=75°，將△ADE繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角后與△ABC重合，求這個(gè)旋轉(zhuǎn)角的大小。

小結(jié)：以上兩題都是利用旋轉(zhuǎn)找到對應(yīng)邊相等，構(gòu)成特殊的等腰直角三角形或等邊三角形來進(jìn)行求解。

二、線的旋轉(zhuǎn)

例3：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;

（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE;

（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問DE，AD，BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明。

分析：此題中∠ACB=90°，AC=BC是固定不變的量，直線MN才是旋轉(zhuǎn)的量。

（1）中，∵∠ACB=90°

∴∠DCA+∠BCE=90°

∵AD⊥MN，BE⊥MN

∴∠ADC=∠CEB =90°

∴∠DCA+∠DAC =90°

∴∠BCE=∠DAC

∵AC=BC

∴△ADC≌△CEB

（2）中，∵∠ACB=90°

∴∠DCA+∠BCE=90°

∵AD⊥MN，BE⊥MN

∴∠ADC=∠CEB =90°

∴∠DCA+∠DAC =90°

∴∠BCE=∠DAC

∵AC=BC

∴△ADC≌△CEB

同理求解（3）。

小結(jié)：例3中三個(gè)小題的圖形是不同的，但只要緊緊抓住∠ACB=90°，AC=BC這兩個(gè)固定不變的量，三個(gè)小題的思路、求解過程是基本一樣的，這是圖形旋轉(zhuǎn)中經(jīng)常出現(xiàn)的異圖同解。

三、面的旋轉(zhuǎn)

例4：用兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，把一個(gè)含60°角的三角尺與這個(gè)菱形疊合，使三角尺的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB、AC重合，將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。

（一）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點(diǎn)E、F時(shí)（如圖所示），通過觀察或測量BE、CF的長度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論;

（二）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD的延長線相交于點(diǎn)E、F時(shí)（如圖所示），你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？說明理由。

分析：先找到題中給出的已知條件，AB=AC=BC=CD=AD， ∠ABC=∠ACD=∠BAC=60°，關(guān)鍵是不能漏了∠EAF=∠EAC

+∠CAF=60°。

（1）∵兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△ACD

∴AB=AC， ∠ABC=∠ACD=∠BAC=60°

∵∠EAF=∠EAC+∠CAF=60°

∴∠BAE=∠CAF

∴△ABE≌△ACF

（2）∵兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△ACD

∴AD=AC， ∠ACB=∠ADC=∠CAD=60°

∵∠EAF=∠EAD+∠DAF=60°

∴∠CAE=∠DAF

∵∠ACE=180°-∠ACB，∠ADF=180°-∠ADC

∴∠ACE=∠ADF

∴△ABE≌△ACF

小結(jié)：題目中已知不變的量是兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△ACD，三角尺的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，隱含的條件是∠EAF=60°，在三角形這個(gè)面在動時(shí)，對應(yīng)的邊對應(yīng)的角都不變，得到需要的條件，求證兩個(gè)三角形全等，從而得到對應(yīng)邊相等。

變形練習(xí)：如圖，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)H，點(diǎn)H是正方形EFGH的一個(gè)頂點(diǎn)。如果兩個(gè)正方形的邊長相等，且面積為1，那么正方形EFGH繞點(diǎn)H旋轉(zhuǎn)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積等于多少？證明你的猜想。

結(jié)語

根據(jù)這幾年對學(xué)生的觀察和了解，發(fā)現(xiàn)學(xué)生不愛動腦筋的現(xiàn)象有越來越嚴(yán)重的趨勢。如果想讓學(xué)生不畏懼難題，能根據(jù)已學(xué)的知識靈活地解決所遇到的問題，首先要讓學(xué)生了解所有的綜合題都是有幾個(gè)簡單的知識點(diǎn)組成的，一般問題都是由淺到深，沒有什么大不了的，只要按照幾個(gè)基本的解題步驟很多題就能迎刃而解了：

首先要認(rèn)真審題，把題目里給的已知條件一一找出來，然后通過已知得到想要求的量，了解出題人想要考什么，需要用到什么知識點(diǎn)，題目中有哪些是明顯的已知條件，哪些是隱藏的已知條件，如果思考了一段時(shí)間仍然沒有頭緒，那么就回歸原點(diǎn)，重新讀題，以免漏了已知條件。

很多題目中需要用到如例1用到的兩個(gè)角的和等于90度，或等角的余角相等、等角的補(bǔ)角相等等條件證明角相等。

圖形旋轉(zhuǎn)的題目中通常圖形會相對比較復(fù)雜，學(xué)生不要急躁，耐心地找到不動的點(diǎn)（旋轉(zhuǎn)中心）、對應(yīng)點(diǎn)，從而找到對應(yīng)角、對應(yīng)邊。

通常第一小題都比較簡單，學(xué)生能較易求得，而后面的第二、三小題相對可能比較難，這個(gè)時(shí)候要求學(xué)生不要著急，后面沒有頭緒的時(shí)候，可以回頭看看第一小題的解題方法，通常第一小題的結(jié)論是提示下面需要用到的知識點(diǎn)，或者是第二小題與第一小題的解題思路是基本一致的，只是個(gè)別條件略有不同而已。

總之，遇到旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用的題目，不要畏懼，一切從已知出發(fā)，當(dāng)你把題目讀懂了，問題就解決了。