SSA-小波神經網絡支持下的地鐵沉降變形預測

顧春豐 杜建廣 沈 尤

(中國電建集團北京勘測設計研究院有限公司, 北京 100024)

0 引言

近些年來,隨著社會經濟發展與城市建設不斷推進,地鐵逐漸成為人們日常出行中必不可少的交通工具之一。地鐵的安全運行也已引起人們足夠的重視,為了避免地鐵運行過程中可能存在的安全隱患,研究如何通過有限的地鐵沉降監測數據構建變形預測模型,以快速預測與分析將來某一時刻的變形具有重要的意義。目前,對沉降數據的處理方法有很多,如自回歸模型、時間序列分析、卡爾曼濾波、小波分析、GM(1,1)模型等均在沉降監測數據處理中取得了一定的成果[1]。對沉降變形監測數據的處理,奇異譜分析(singular spectrum analysis,SSA)的研究與應用還較少。

目前,對地鐵沉降的變形預測主要方案是通過觀測得到時間序列數據進行建模,對未來時間段的沉降量進行預測。然而,由于地鐵運行過程中受環境干擾較大,觀測到的沉降時間序列中包含大量噪聲,噪聲的存在大大影響了模型預測精度[2]。奇異譜分析采用時域與頻域相結合的方法對信號進行識別與分析,對非信號具有穩定的識別和強化功能,能夠有效提取有用信息。在短期預測中,小波神經網絡模型對非線性序列的預測效果較好。本文在SSA方法與小波神經網絡模型的基礎上,構建SSA-小波神經網絡模型,將該組合模型應用到地鐵累計沉降量觀測數據處理與預測中,并對組合模型的預測結果進行分析。

1 模型概述

1.1 SSA原理

奇異譜分析主要分為3個步驟,分別為軌跡矩陣構建、奇異值分解與序列重構。假設有一個以為時間序列X={xi|i=1,2,…,n},對其進行奇異譜分析分為[3]：

(1)

(2)奇異值分解。通過式(1)無法直接求得軌跡矩陣的特征值與特征向量,需先構建時滯矩陣C=XXT,求得時滯矩陣的特征值λi與特征向量Ui。時滯矩陣第i個特征值所對應的特征向量就是時間序列中第i個主分量。第一主分量表現時間序列的最大變化趨勢,除第一主分量外,第二主分量表現剩余時間序列的最大變化趨勢,依次類推,將較小特征值對應的特征向量視為噪聲項。

(2)

軌跡矩陣就可表示為

(3)

(3)序列重構。原序列在UK上的正交投影系數可以表示為第k個時間主分量,有：

(4)

(5)

所有重構成分疊加后序列與原序列相同,即

(6)

1.2 小波神經網絡模型結構

作為一種對大腦處理信息方式的模擬,人工神經網絡通過學習訓練,在背景信息較弱的情況下,通過描述輸入數據與輸出數據之間的關系,可以表現強大的能力[4]。對于變形因素錯綜復雜,導致變形監測數據的診斷或預報不能通過準確的力學或者數學進行表示,此時利用神經網絡模型進行預測,就可表現其強大的優勢。

在反向傳播(back propagation,BP)神經網絡模型的基礎上,引入小波理論,通過小波理論中的尺度因子與平移因子,同時利用小波函數代替神經網絡模型中隱含層的激勵函數,提高神經網絡模型的擬合能力和收斂能力,從而構成一種新的小波神經網絡模型結構。

小波神經網絡模型主要由3個部分構成,一是輸入層,二是隱含層,三是輸出層,通過激勵函數傳遞各節點之間的信息[5]。與BP神經網絡模型不同的是,小波神經網絡模型利用小波函數代替激勵函數,信號向前傳播與誤差反向傳播同時進行,本文使用的是維Morlet小波函數,可表示為

(7)

式中,α為維尺度因子；β為平移因子；f(x)為加權和。小波神經網絡模型輸出層可表示為

(8)

式中,m表示輸出層節點數；h(i)表示第i個隱含層的節點輸出；wik表示隱含層到輸出層的權值。為了使小波神經網絡預測模型的輸出值向期望的輸出值不斷逼近,使用梯度修正法對神經網絡的權值和小波基函數參數不斷修正。小波神經網絡算法訓練流程為：

(1)網絡初始化。隨機初始化網絡連接權重wik、wjk以及伸縮因子ak、平移因子bk,同時對學習效率η進行設置。

(2)樣本分類處理。樣本分為兩個部分,分別為訓練樣本和測試樣本,對訓練樣本進行歸一化處理后輸入網絡,并對網絡預測的精度進行測試。

(3)網絡訓練。將訓練值輸入網絡模型中,計算期望輸出值、預測輸出值和輸出值之間的誤差。誤差符合要求后,將預測值與權值輸出。

(4)權值修正。經過步驟(3)以后,計算誤差,如果誤差不符合要求,則需對小波函數參數與網絡權值進行修正,使預測值向期望輸出值不斷逼近,重復修正過程,直至誤差符合要求為止。

(5)獲取預測值后,歸一化處理預測值,得到最終預測值。

1.3 SSA-小波神經網絡模型結構

小波分析在時頻域都有著較強的局部優化能力,對于非線性函數,小波分析都有很好的逼近效果[7]。所以在神經網絡模型的基礎上引入小波分析,可以強化神經網絡優點,更適合學習快速變化與局部非線性函數。

目前,眾多學者已對變形時間序列進行了分析,得出變形時間序列具有以下3個特征：趨勢項成分、周期項成分、噪聲成分[8]。在進行小波神經網絡模型處理數據前,引入奇異譜分析法,構建綜合數據處理模型。首先使用奇異譜分析對數據進行預處理,提取變形時間序列的趨勢項成分和周期項成分,充分體現奇異譜分析強大的去噪能力與信號提取能力。將經奇異譜分析處理后的數據作為輸入數據,原始觀測數據作為期望輸出數據。本文構建組合模型的具體步驟為：

(1)平穩性分析。通過計算原始序列自相關系數,分析原始序列的平穩性,并通過SSA濾波法得到實現奇異譜分析的關鍵參數，如嵌入維數與重構階數。

(2)趨勢項判定。異譜分析對時間序列進行分析時中,某一重建成分RCK是否為趨勢項可通過Kendall非參數檢驗進行識別與判定。計算滿足xi,K

(9)

原假設為：RCK是趨勢項成分不成立,那么可得到τ是服從均值為0、均方差為S的正態分布。S表示為

(10)

取置信度α=0.05,若τ<-1.96S或τ<-1.96S,那么認為原假設不成立,此時RCK即是趨勢項成分[9]。

(3)周期項判定。計算軌跡矩陣的特征值,若特征值中某兩個特征值非常接近,則可以用這兩個特征值對應的重構成分之和表示某個周期成分[10]。

(4)構建小波神經網絡模型。得到原始序列的趨勢成分X1與周期成分X2之后,分別構建預測模型獲取預測值,重構預測值得到最終實際預測值。

2 模型精度評定

表1 模型精度評定標準

3 工程實例分析

為了驗證奇異譜分析-小波神經網絡模型在沉降監測時間序列預測中的效果,選擇北京市地鐵一號線某結構監測區中的一個監測點40期沉降監測數據進行分析。將前34期沉降數據作為訓練樣本,后6期沉降數據與組合模型預測值進行對比分析。首先通過原始序列的自相關系數p對原始序列的平穩性進行分析,自相關系數可表示為[12]

(11)

式中,u表示序列均值;S表示序列方差。

計算得到地鐵40期沉降時間序列的自相關系數如圖1所示。

圖1 自相關系數統計結果

由Bartlett理論可知,若xK～N(0,1/44),可判定原始序列為平穩序列。在顯著水平α=0.05時,pK(K>1)的置信區間為(-0.118,0.118)。由圖1可知,落在置信區間的數包括p2、p6、p10等9個數,可判斷該序列為非平穩序列,可以使用SSA進行處理與分析。實現SSA的步驟之一就是參數的確定,本文通過文獻[7]中重構序列與原始序列均方根誤差最小的原則確定嵌入維數(M=16)與重構階數(P=15)。求出特征值與特征向量后,最小特征值對應的重構序列為噪聲,最大特征值對應的重構序列確定為趨勢項,其余為周期成分。

將前34期數據作為訓練樣本,分別使用兩種模型進行預測,將預測結果的后6期數據進行對比,如圖2、圖3、表2所示為使用小波神經網絡與SSA-小波神經網絡模型預測結果對比。

圖2 兩種模型預測結果

圖3 兩種模型預測結果相對誤差

表2 兩種模型預測結果對比 單位：mm

由圖2可知,與SSA-小波神經網絡模型相比,小波神經網絡模型的缺點顯而易見,其預測精度隨著預測期數的增加越來越低,最后呈現發散的狀態,SSA-小波神經網絡模型能夠克服預測期數增加導致的預測精度降低問題。由圖3可知,SSA-小波神經網絡模型預測結果的相對誤差在5%以內,屬于二級精度,預測值的質量滿足要求。由表3可知,與SSA-小波神經網絡模型相比,小波神經網絡模型預測值的殘差值更大,SSA-小波神經網絡模型預測值更接近實際值,其預測的優越性明顯。分析圖2、圖3與表2可知,SSA-小波神經網絡模型對地鐵沉降監測數據的處理中,預測準確性高,精度與性能都較為穩定。

4 結束語

SSA方法可以有效降低噪聲對模型預測的干擾,將SSA方法與小波神經網絡模型相結合,可以更好地對非線性數據進行預測。本文將小波神經網絡模型與SSA-小波神經網絡模型進行對比分析,并且使用兩種模型分別對地鐵監測點沉降進行了預測。通過預測結果可以得到兩種預測模型所得到的預測值與實際值相近,但是相比單一的小波神經網絡模型,SSA-小波神經網絡模型的預測精度與穩定性都更高,表明組合模型充分發揮了SSA方法的優勢,建立了更優的預測模型,對地鐵沉降的長期預測有著很好的應用效果。下一步的研究方向為組合模型的最大預測長度。