基于三維淺水方程的剛性植被水流特性研究

李紹武，涂偉偉，李明哲

(1.天津大學 建筑工程學院，天津 300072; 2.交通運輸部天津水運工程科學研究所 環境科技發展有限公司，天津 300456)

河道中的植物具有護岸護坡、固灘固沙和凈化水質的作用[1]。剛性植被如蘆葦、菖蒲等植株挺拔，莖稈接近圓形，對水流影響顯著[2]。Tsujimoto等[3]提出考慮均勻水生植物對泥沙沖淤特性影響的平面二維數學模型，Wu等[4]在Tsujimoto工作的基礎上，引入了植被密度的概念，使其適用于植被密度較大的情況，劉誠等[5]又進一步將其擴展到了三維。張明進等[6]對我國河流數值模擬的研究工作進行了綜述。白鳳朋等[7]基于Godunov型有限體積方法，并通過修正拖曳力系數和考慮植被擋水面積，開發了能夠模擬淺水植被影響下水流運動的二維數學模型，并研究了植被對河道水流特性的影響。在李紹武等[8-9]有限體積模型的基礎上，莊茜等[10]通過引入群樁阻力，模擬了樁群阻力影響下的水流運動，開發了二維有限體積法淺水波數學模型，本文將該方法拓展到三維淺水模型中[11]，用于模擬剛性植被的阻流效應，通過與前人實驗資料的對比驗證模型的準確性；并利用水槽實驗，研究植被對復雜流場中水流運動的影響，將數學模型結果與水槽實測結果進行了對比。

1 理論基礎

1.1 植被阻力項

1.1.1 拖曳力計算

植被對水流的阻力可以用拖曳力法計算。為了簡化問題，將桿狀植物簡化為剛性圓柱體，根據圓柱繞流原理計算水流拖曳力，公式為

(1)

(2)

式中：fx、fy分別為x、y方向單位水平面積的拖曳力分量；λ表示植株的擋水面積比；Cd表示拖曳力系數；u、v分別表示x、y方向的速度分量。

表1 兩樁間阻力影響系數[10]Tab.1 Influence coefficient of resistance between two piles

1.1.2 植被群的遮蔽效應

1.1.3 植被密度項

當植被密度較大時，必須考慮植被所占去的水體體積對過流的影響[4]，主要取決于植被密度c，定義為控制體中植被所占體積分數，計算公式為

(3)

式中：A為柱狀控制體底面積；h為水深；n為單位面積上的植株數；α為植株水下部分的高度與水深比值；d為植被直徑。則修正后的水體密度為

ρ′=ρ(1-c)

(4)

1.2 控制方程

考慮植被阻力項后控制方程為

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

其中：式(5)為連續性方程，式(6)和式(7)分別為x、y方向的動量方程，式(8)和式(9)分別為紊動能和紊動耗散率的輸運方程；H為水深，σ為垂向坐標；wσ為σ坐標下的垂向速度分量；zb為水底高程；f表示柯氏力參數；vx、vy、vσ分別表示該方向的紊動粘滯系數；k和ε表示紊動能量和紊動耗散率；vx、c2ε、c3ε、σk和σε為相關參數；P和G分別表示紊動產生項和植被阻力做功項，計算公式分別為

(10)

(11)

2 模型驗證

2.1 參數設置

利用Dunn等[11]的系列實驗對模型的可靠性和有效性進行驗證。水槽尺寸為19.5 m×0.91 m×0.61 m，采用柱狀木釘來模擬剛性桿狀植被，木釘的直徑d為6.4 mm，露出槽底的平均高度為11.8 cm，沿水槽底部均勻布置，模擬植被的平面和垂向布置方案見圖1。植被的縱橫間距均為a，根據植被密度不同，分別為5.0 cm和10.0 cm。相鄰兩列在水流方向相對錯開距離b，分別為2.0 cm或5.0 cm。二者組合成4個植被密度387.5、258.3、193.8和129.2。其他參數設置如表2所示。

1-a 平面布置1-b 縱向布置圖1 水槽植被布置

表2 各工況參數設置Tab.2 Parameters of test

計算區域取12 m×0.91 m，既能節省計算量，也不會影響計算精度。計算網格數為500，垂向取15層，計算時間步長為0.01 s。通過試算，計算時長為3 600 s時水流運動可達到平衡。

2.2 結果分析

2.2.1 流速垂向分布

從圖2到圖5可以看出，各工況下速度的垂向分布與實驗值總體符合較好，在植被范圍內和以上水流的垂向分布形狀差異明顯。在植被層以上水流流速的垂向分布梯度更大，而在底部植被區，由于植被的作用，水流流速變緩，流速梯度明顯變小。

圖2 工況1水平流速 圖3 工況2水平流速

圖4 工況3水平流速 圖5 工況4水平流速

2.2.2 紊動特性

將工況1到工況4模擬的紊動能量結果與實測值進行了對比(圖6到圖9)，可以看出，紊動能在靠近植被上端達到最大值，越過植被高度后逐漸減小。植被的存在加劇了水體的紊動，相同水流強度下植被密度越大，紊動能越強，其本質是植被對水流產生的阻力做功，使水體的平均動能轉化為湍流動能。模型計算結果總體上能夠正確反映紊動能的變化趨勢。

圖6 工況1紊動能 圖7 工況2紊動能

圖8 工況3紊動能 圖9 工況4紊動能

圖10 實驗水箱平面布置Fig.10 Layout of water tank for experiment

3 水槽實驗

3.1 實驗設置

為研究植被排列方式對水流結構特性的影響，在圖10所示的有機玻璃水箱中進行了實驗，測定了不同植株密度和排列方式下的水流速度，并利用數學模型模擬了水槽內的流速場。為了延長流路，水箱中加入了3塊擋板形成不同水道，從下往上分別記為1、2、3、4號水道。在2、3號水道鋪入了厚10 cm的底泥，底泥上插入硅膠棒模擬剛性植被，植被露出泥面的高度為10 cm。利用水泵在水槽內形成循環水流，測點取在水道中間處，從下往上分別記為1、2、3、4、5、6號測點。為了研究植被排列方式對植被阻力的影響，采取兩種排列方式，圖11-a和11-b分別為平行排列和交錯排列。水箱實驗參數設置如表3所示。

11-a 平行排列11-b 交錯排列圖11 兩種不同植被布置方式

表3 水箱實驗參數Tab.3 Parameters of run of test in water tank experiment

3.2 結果分析

工況1和工況2各測點的流速剖面分別見圖12和圖13。2號和3號水道流速分布差異較大，2號水流速各點流速較接近，而3號水道3個剖面流速差異明顯，說明水槽轉彎引起水體橫斷面流速分布不均。在相同的植被密度下，平行和交錯排列對植被的阻水能力影響不大。

圖12 工況1和工況2測點1-3號水平流速 圖13 工況3和工況4測點1-3號水平流速

從圖14和圖15可以看出，植被密度加大之后，水槽內的水流流速明顯下降，2號水道中兩種密度下三條速度剖面在植被區以上和植被區以下均較為接近；而在3號水道，無論是下層植被區和上層非植被區的流速均有一定差異，植被密度大的流速更小，且下層植被區影響更為顯著。

圖14 工況1和工況2測點4-6號水平流速 圖15 工況3和工況4測點4-6號水平流速

3.3 流速垂向分布

對工況4模擬的各測點流速的計算值與實測值的對比見圖16。可以看出，各測點的計算值和實測值總體上吻合較好，反映了模型可以較好模擬流速垂向分布。

圖16 工況4各測點流速模擬結果與實測結果對比Fig.16 Comparison between modeled and measured results of velocities at different locations for Run 4

水槽計算網格如圖17，平面流速場見圖18，可以看出，2號水道流速分布較為均勻，橫截面上的流速整體上差異不大，而3號水道左右兩側分布較為不均，水流幾乎全部集中在過流方向的左側，這也和水槽試驗的結果是一致的，原因是從1號水道進入2號水道的過渡為急彎，水流慣性所致。

圖17 水槽計算網格 圖18 工況4水平平均流速場

4 結論

(1)通過借鑒群樁繞流遮蔽效應的方法，模擬剛性植物對水流的影響，同時考慮了植被密度對拖曳力系數的影響以及遮蔽面積對過流面積的影響，結果表明模型模擬結果能夠反映水平流速垂向分布的變化，上層非植被區流速垂向梯度較大，而下層非植被區的流速梯度較小。當植被密度較大時，植被區的流速更接近線性分布。

(2)通過水箱試驗可知，植被的排列方式對植被阻力的影響較小，相比之下植被密度是影響植被阻力的重要因素。

(3)模型計算的流速垂向分布結果與水箱試驗測得的流速分布結果符合較好，模型結果也能反映出兩個水道流速分布的差異。