車橋耦合振動高速鐵路典型橋梁動力系數研究

吳大宏，屠嘉楊，蘇 偉，孫樹禮，余志武，3，毛建鋒，3

（1. 中國鐵路設計集團有限公司，天津 300308；2. 中南大學土木工程學院，湖南 長沙 410075；3. 中南大學高速鐵路建造技術國家工程實驗室，湖南 長沙 410075）

高速鐵路橋梁設計挑戰大、 任務艱巨， 其中橋梁車致振動安全評估是橋梁設計中的重要環節之一，而橋梁動力研究主要集中于抗震、抗風及車橋耦合等[1-6]。 目前，我國規范對車橋耦合雖有所提及，但涉及內容較少，往往采用橋梁動力系數進行動力性能簡化分析，而由于車橋耦合振動的復雜特性，這種簡化算法局限較大。 因此，亟需開展基于車橋耦合振動的高速鐵路典型橋梁動力系數規律研究，為我國鐵路橋梁快速設計提供有力支撐。

近十幾年來， 高速鐵路的發展極大地促進了鐵路橋梁動力學的研究， 關于橋梁動力系數的研究成果豐富[7-15]。 國內外規范中對鐵路橋梁動力系數的定義僅與結構頂部填土厚度、 橋梁最大跨跨徑有關，不能全面考慮橋梁跨度、梁體剛度、頻率、阻尼、 橋墩與基礎剛度等復雜因素對橋梁動力性能造成的影響[16]。 因而，在橋梁設計階段“逢橋必算”成為常態，給設計工作帶來了一些麻煩，尤其是中長跨度鋼筋混凝土橋梁設計。 發展通用的鐵路鋼筋混凝土橋梁動力系數設計方法， 更高效指導工程設計具有重要的意義。

作為車橋耦合的設計方法和原則， 為了避免“逢橋必算” 繁重任務的現象， 本文建立高速列車-軌道-橋梁系統耦合振動模型，通過高速列車作用下各類典型軌道-橋梁結構體系的系統動力特性仿真分析，綜合考慮各復雜因素對橋梁動力性能的影響程度，總結、歸納橋梁結構通用性車橋耦合振動規律。 基于概率統計學原理，引入“譜函數”的概念，對于具有相同自振周期的橋梁結構，在不同車速、不同列車類型荷載作用下，確定一定概率保證率下車橋耦合導致橋梁結構動力放大系數的包絡值，提出了“車橋耦合動力放大系數譜”，并另取10 座橋梁算例驗證本方法的可行性與保證率。

1 列車-軌道-橋梁耦合振動模型

定義車輛各自由度符號：Lc為車輛定距之半，m；Lt為同一轉向架所屬兩輪對軸距之半，m；b4為系懸掛縱向彈簧阻尼器橫向間距之半，m；b3為二系懸掛縱向彈簧阻尼器橫向間距之半，m；b2為系懸掛豎向彈簧橫阻尼器向間距之半，m；b1為二系懸掛豎向彈簧阻尼器橫向間距之半，m；b0為輪對兩滾動圓橫跨之半，m；h1為車體重心到二系懸掛橫向彈簧阻尼器的距離，m；h2為轉向架重心到二系懸掛橫向彈簧阻尼器的距離，m；h3為轉向架重心到一系懸掛橫向彈簧阻尼器的距離，m；h4為輪對重心到一系懸掛橫向彈簧阻尼器的距離，m；Mc，Mt，Mw分別為車體質量， 轉向架質量， 輪對質量，kg；Jcθ，Jcφ，Jcψ分別為車體側滾、點頭、搖頭運動慣性矩，kg·m2；Jtθ，Jtφ，Jtψ分別為轉向架側滾、點頭、搖頭運動慣性矩，kg·m2； Jwθ，Jwψ分別為輪對側滾、搖頭運動慣性矩，kg·m2；k1x，k1y，k1z分別為一系懸掛系統縱向， 橫向， 豎向彈簧剛度系數，N/m；c1x，c1y，c1z分別為系懸掛系統縱向，橫向，豎向阻尼系數，N·s/m；k2x，k2y，k2z分別為二系懸掛系統縱向，橫向，豎向彈簧剛度系數，N/m；c2x，c2y，c2z分別為二系懸掛系統縱向， 橫向， 豎向阻尼系數，N·s/m；xw1，xw2，xw3，xw4，xft，xbt，xc分別為第一，第二，第三，第四輪對及前，后轉向架與車體的縱移自由度；yw1，yw2，yw3，yw4，yft，ybt，yc分別為第一，第二，第三，第四輪對及前，后轉向架與車體的剛體橫移自由度；zw1，zw2，zw3，zw4，zft，zbt，zc分別為第一，第二，第三，第四輪對及前，后轉向架與車體的剛體沉浮自由度；θw1，θw2，θw3，θw4，θft，θbt，θc分 別 為 第 一，第 二，第 三，第 四 輪對及前，后轉向架與車體的剛體側滾自由度； φft，φbt，φc分別為前，后轉向架與車體的剛體點頭自由度； ψw1，ψw2，ψw3，ψw4，ψft，ψbt，ψc分別為第一， 第二，第三，第四輪對及前，后轉向架與車體的剛體搖頭自由度。

假設列車每節車輛的車體、轉向架、輪對均為剛體（如圖1 所示），基于曾慶元院士的彈性系統動力學總勢能不變值原理[17]，并運用形成矩陣的“對號入座”法則[18]即可得到車輛空間振動的有限元形式矩陣方程

圖1 車輛動力學模型Fig.1 Vehicle dynamics model

式中：Rw為車輪踏面曲率半徑。

基于有限元建模方法， 可得下部軌道-橋梁結構系統空間動力學方程

式中：Cvb與Cbv為車-軌耦合阻尼矩陣；Kbv與Kvb為車-軌耦合剛度矩陣；F′v和F′b分別為更新調整后的列車荷載矩陣和橋梁荷載矩陣[19]。

2 動力放大系數譜

2.1 基于車橋耦合振動的放大系數統計規律分析

基于上述列車-軌道-橋梁耦合振動分析模型，綜合分析計算所得放大系數結果，下面給出部分橋梁結構放大系數的車橋耦合計算值與規范計算值的對比情況，對比圖見圖2 所示。

圖2 現有規范動力放大系數與實際計算結果對比Fig.2 The comparison of amplification coefficients and caculation results

根據圖2，共16 個偏差百分比數據，其中，按照鐵路規范計算所得的動力放大系數均遠小于車橋耦合計算值，偏差超過5%的數據有14 個，占總數的87.5%。由此可見，鐵路規范計算所得動力放大系數，暫時無法準確、安全地計算橋梁結構由于車橋耦合而產生的動力放大系數，需要另外尋找一個適合計算車橋耦合的動力放大系數公式。

2.2 動力放大系數譜的提出與指標選擇

目前橋梁動力方面的研究主要可分為3 方面：橋梁抗震研究，橋梁抗風研究，橋梁車橋耦合研究。 有學者[20-21]進行了一些針對地震設計中動力放大系數譜的研究， 本文類比結構抗震動力學中的“彈性反應譜”的概念，提出車橋耦合動力學中的“車橋耦合動力放大系數譜”。 具體含義如下：基于概率統計學原理，對于具有相同自振周期的橋梁結構，在不同車速、不同列車類型下， 由于車橋耦合現象導致橋梁結構在列車荷載作用下響應的動力放大系數在一定保證率下的包絡值。

圖3 展示了不同結構自振周期與放大系數的關系。 根據以往學者的研究結果，影響動力放大系數的因素主要可以分為兩部分， 一部分是橋梁結構自身特性，如結構剛度、質量、支座等；另一部分是車輛的自身特性，如車輛組成結構、輪重輪距、阻尼等。 綜合車橋耦合研究的意義， 可簡單理解為，放大系數是車橋在發生“共振”現象時的振幅與靜載作用下撓度的比值。 具有相似自振周期的不同橋型，發生“共振”時的工況也較為相似，選取結構自振周期作為動力放大系數譜方法的指標比較有代表性。 而對于同一橋型的橋梁，其自振周期較為接近， 選取自振周期作為指標也更有利于數據的歸納總結。

圖3 結構自振周期與放大系數關系Fig.3 Relationship between natural vibration periods and amplification coefficient of structures

2.3 動力放大系數計算結果

本文統計了不同類型高速列車以不同車速通過不同橋梁結構簡支梁橋（SS）、連續梁橋（CB）、鋼構橋（Steel）時的動力放大系數情況，現有德國ICE 城際特快列車（German ICE）、法國TGV 高鐵（French TGV）、日本新干線500 系列車（Japan 500 series）、國產動力分散式列車（Power distributed train）、國產先鋒號電力動車組（DJF2 train）、國產中華之星動車組（China star train）。將不同類型高速列車作用下動力放大系數與結構自振周期的數據表示在表1中。

對于德國ICE 列車、法國TGV 列車、日本500系列車，其車速等級為：250，275，300，325，350，375，400，420 km/h； 對于國產先鋒號列車和國產中華之星列車，其車速等級為：160，180，200，220，240，270 km/h。 將各計算結果進行提取匯總，結果如表2所示， 其中橋梁編號與表1 保持一致。 表1 和表2中數據暫缺的部分以斜杠表示。

表1 不同類型高速列車作用下橋梁結構動力放大系數Tab.1 Dynamic amplification coefficient of bridge structures under different types of high-speed trains

表2 不同車速作用下橋梁結構動力放大系數Tab.2 Dynamic amplification coefficient of bridge structures under different speeds

3 動力放大系數譜的計算

3.1 基于概率統計的動力放大系數譜計算方法

根據前文所述動力放大系數譜的概念，其具體計算方法為：選取若干擁有不同自振周期的橋梁結構，并將每一個結構輸出響應值與輸入激勵值的比值（即動力放大系數）進行處理，最終得到一系列動力放大系數—結構自振周期的二維點位圖，并選取一定的保證率，將點位進行包絡，此包絡線即為動力放大系數譜。

根據表1 和表2 中的動力放大系數數據，在一定保證率的前提下，滿足包絡要求。 動力放大系數譜與結構自振周期的關系表達式如下

式中：λs為結構豎向動力放大系數；Ts為結構豎向自振周期，s；λh為結構橫向動力放大系數；Th為結構橫向自振周期，s。

以上兩個動力放大系數譜的曲線形分別見圖3，圖4 所示。

圖3 豎向自振周期動力放大系數譜曲線Fig.3 Spectrum curve of vertical dynamic amplification coefficients（DAC）

圖4 橫向自振周期動力放大系數譜曲線Fig.4 Spectrum curve of lateral dynamic amplification coefficients（DAC）

根據以上動力放大系數譜的計算流程，對表1 和表2 中的動力放大系數數據進行包絡線的計算，計算結果與原圖繪在同一坐標系內，結果如圖5～圖8 所示。

圖5 動力放大系數譜與結構豎向自振周期關系圖——不同列車類型Fig.5 Relationship between dynamic amplification coefficient spectrum and vertical natural vibration period of structures——different vehicle models

圖6 動力放大系數譜與結構橫向自振周期關系圖——不同列車類型Fig.6 Relationship between dynamic amplification coefficient spectrum and lateral natural vibration period of structures

圖7 動力放大系數譜與結構豎向自振周期關系圖——不同車速Fig.7 Relationship between dynamic amplification coefficient spectrum and vertical natural vibration period of structures——different velocities

圖8 動力放大系數譜與結構橫向自振周期關系圖Fig.8 Relationship between dynamic amplification coefficient spectrum and lateral natural vibration period of structures

4 動力系數譜方法的說明

4.1 動力放大系數譜的不足

動力放大系數譜方法也存在以下幾點問題：

1） 本文提出的動力放大系數譜法暫時僅考慮同一結構在不同列車類型、時速下，動力系數的最大值。 實際上，橋梁通過的列車和時速都較為固定，可能達不到放大系數譜中的數值， 結果會偏為保守，且對于某些情況的偏差較大，其精度還需要進一步的修正。

2） 本文提出的動力放大系數譜的公式理論上僅適合混凝土梁橋結構，并且本文所計算的高鐵橋梁大多數都處于直線段，彎扭耦合作用下的適用性尚不明晰，且本方法對于其他形式橋梁結構是否依然適用，還有待進一步的探討與研究。

3.2 合理性及適用性證明

另選10 座混凝土橋梁進行車橋耦合動力分析計算，計算內容為不同結構在不同列車類型、不同車速下的橋梁結構響應情況，最終選取計算的動力放大系數， 作為驗算動力放大系數譜合理性的指標。 為了更方便進行對比，將計算結果以圖的形式給出，如圖9，圖10 所示。

圖9 縱向動力放大系數對比情況Fig.9 Comparison of vertical dynamic amplification coefficient

圖10 橫向動力放大系數對比情況Fig.10 Comparison of lateral dynamic amplification coefficient

經過以上圖表計算結果的分析， 發現10 座橋梁中，僅有一座按照本文提出的動力放大系數譜計算所得結果偏于不安全。 但總體上，根據本文所列數據的對比情況來看，本文提出的動力放大系數譜的概念是合理的。

4.2 動力放大系數譜的修正期望

綜合本文動力放大系數譜方法的不足，給出如下幾個修改方向的思路和方向：

1） 在動力放大系數譜曲線表達式中， 對峰值（即分段函數的第二段的數值）乘以一個結構修正系數，以考慮結構最大跨徑、靜活載作用下撓跨比對結構動力放大系數的影響。

2） 可以對動力放大系數譜曲線表達式的分段區間進行修正，將分段區間的節點表示為列車類型及時速、車輛自振頻率的函數，以更加分明地表示，結構和車輛的自振周期之間的關系對其動力放大系數的影響。

3） 本文提出的方法具有一定的可行性， 可以根據本文的方法，對其他形式的橋梁結構及在曲線段彎扭耦合作用下進行動力方法系數譜曲線的計算，由此來找到適合每一種橋梁結構的動力放大系數譜。

5 結論

本文基于概率統計學的“譜函數”方法，在一定保證率下擬合得到了適合計算車橋耦合下橋梁結構動力放大系數譜的函數表達式，并得出結論。

1） 動力放大系數譜法在一定程度上簡化了橋梁設計驗算環節車橋耦合動力放大系數的計算流程，實現了車橋耦合問題靜力化的目的，對于指導鐵路鋼筋混凝土形式橋梁設計具有通用性和高效性。

2） 可以進一步對本方法進行參數修正并依據本方法對其他形式的橋梁結構進行推廣，以滿足今后工程實際中的需求。