模型思想視域下的數學“綜合與實踐”教學探究
——從一道“階梯計費”習題說開去

江蘇省南京市小營小學 王 歡

五年級上學期期初，學生遇到這樣一道題：

為了鼓勵居民節約用水，某市從2018年1月1日起實施階梯水價制，每戶4人以下（含4人）按下表收費：

第一階段：年用水量0～150噸（含） 2．65元/噸第二階段：年用水量150～250噸（含） 3．45元/噸第三階段：年用水量250噸以上 5．85元/噸

李阿姨全家4人一年用水約270噸，請你算一算：她家一年應付水費多少元？

我們統計學校6個班214名學生的完成情況得知，正確解答的學生只有68名，正確率為31.8%。在錯誤的解法中，將水費的單價直接按第二階梯的單價3.45元/噸來計算的學生達到118人，占55.1%。

學生對“階梯計費”的計費方法不理解，教師也反映現階段學生還沒有遇到類似的問題。我們靜心思考能夠發現，學生把問題解決的落腳點放在了“數據的分段整理”（如圖1）上，問題數據在哪一段，學生就在哪一個項目中抽取條件，“數據的分段整理”模型與“數據的階梯計費”模型的認知模糊才是學生解題出錯的原因所在。

圖1

其實，蘇教版數學五年級上冊第47頁、第81頁的“探索與實踐”板塊，分別編排了這樣的綜合與實踐活動（如圖2、圖3）。這兩次綜合實踐活動，不僅與學生的生活實際密切聯系，還是學生充分感受“分段數量關系”的好素材，具有很強的針對性、探索性和綜合性。

圖2

圖3

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，模型是溝通數學與世界的橋梁，模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。吳正憲老師認為，在小學滲透模型思想，需要教師結合學生已有的生活經驗和數學知識，創設富有挑戰性的問題情境，讓學生把生活問題轉化成數學問題，體驗數學模型的形成過程，從而提高建立數學模型的意識，感受建立數學模型的作用。

為改善“綜合與實踐”這一板塊的教學現狀，筆者聚焦模型思想，進行了以“階梯計費”為主題的實踐研究。

一、自主探究，發現并提出數學問題

對于五年級學生來說，獨立研究電費單上復雜的數據還存在著很多困難。于是，課前，筆者給學生提供了一份“電費單的研究報告”（如圖4），引導學生先自主研究，將自己已經知道的信息寫下來，同時把想研究的和存在的疑惑記錄下來，再進行小組交流。

圖4

從學生反饋的情況來看，他們已經知道了電費單上的用戶名、地址等基本信息，還知道了用電量＝本月示數－上月示數，電費＝單價×用電量，總電費＝峰時電費+谷時電費。他們的疑問及想進一步研究的內容大都集中在：（1）什么是“一檔基數”“二檔基數”“三檔基數”；（2）如何根據這些基數計算電費。

通過課前的思考，學生逐漸發現隱藏在電費計價單中的數學問題，而對這個數學問題的求解，又進一步激發了學生探索數學問題的熱情。

生活原型是建立數學模型的基礎，從貼近學生生活的真實素材入手，引發學生思考并提出問題，這樣的過程是有挑戰性的、有思維價值的。熟悉的、典型的素材有助于學生充分經歷觀察、分析、抽象、概括等過程，從而形成一般的模式表達，這也是生活問題數學化對感悟模型思想的價值。

二、畫圖表征，外顯并初建數學模型

小學階段的數學建模過程，實際上就是將生活中的實際問題數學化的過程。學生從現實生活情境中抽象出數學問題，用數學語言表示問題中的數量關系和變化規律，這樣的學習過程就是獲得某種“數學模型”的過程。根據學生的研究報告，筆者精心設計教學過程，引導學生進一步理解“階梯計費”的本質內涵，構建“階梯計費”的計算方法模型，讓學生感悟模型思想的功能與價值。

學生解決問題能力的培養與模型思想的建構，首先在于其對實際問題的理解、表達和轉述。為了讓學生對問題有深入的理解和表達，筆者引導學生用自己喜歡的方式，重新分析、整理、描述問題情境，以達到對問題條件表述的一目了然。綜合學生的整理情況，筆者總結出主要有以下幾種呈現方式（如圖5、圖6、圖7）：

圖5

圖6

圖7

通過展示、交流、比較和概括，學生逐漸厘清了三個階段電量“分階”的范圍、對應單價。如果學生能將生活素材中所蘊藏的本質屬性，用自己的理解方式提煉、轉化為相應的數學結構，并做出相應的數學描述與刻畫，從本質上看，這樣的數學學習經歷就是學生在大腦中形成數學初步模型的過程。

三、抽象概括，修正并完善數學模型

建立數學模型的過程不是對已有知識的直接轉移和套用。教師在教學中要引導學生結合生活實際，對已有知識進行分析，對已有經驗進行調整。建立數學模型的過程是學生對數學知識不斷進階、提升，對生活經驗不斷修正、完善的過程。

教學中，當學生表示出富有個性的數學化圖示（如圖8）后，筆者又引導學生對不同的表征進行比較，抽象概括出不同形式表征蘊藏的共同本質特征，嘗試用更加簡明的方法表示問題的結構和數量關系。針對部分學生提出的“電費＝總電量×對應單價”的計算方法，有的學生提出了電費的計價方式是逐級計價，電費總價是逐級遞增的計價方式：電費＝第一階段電量×第一階段單價+第二階段電量×第二階段單價+第三階段電量×第三階段單價。通過交流比較，學生一致認為后者的計算方式相對于前者，顯得更為人性化，更能促成人們節約用電意識的培養，而生活中電費計價方式恰恰也是這樣的。

圖8

通過這個層次的教學，學生在觀察、比較、分析中初步抽象出了更為一般的數量關系式：總電費＝第一階段要付的電費+第二階段要付的電費+第三階段要付的電費，從而提高了初步建立簡單的數學模型的能力。

四、應用拓展，體驗并感悟模型價值

對于某一個數學模型，不同水平、不同能力、不同經驗的學生在理解上千差萬別，在實際操作中更是有可能大相徑庭。數學模型如果只能夠解決某一個問題，那就失去了其應有的價值。當學生初步形成模型意識時，教師應當引導學生利用這個“模型”去解決一些新的數學問題。如果教師能夠引導學生聚焦“模型思想”的內涵，不斷優化、推廣這些“數學模型”，那么，建立“模型思想”的意識就易于在學生的思維習慣中“落地”，教師與學生之間教與學的效率就會提高，學生運用“數學模型”去解決生活中的數學問題的能力才會不斷得到進階。

為了檢測學生對“階梯計費”計算模型的理解和掌握情況，筆者布置學生在新知鞏固階段完成了這道題：

戶籍人口在4人及以下的居民住戶，每月第一檔電量0～230度（含），每度電價格為0.53元；每月第二檔電量230～400度（含），每度電價格為0.58元；每月第三檔電量大于400度，每度電價格為0.83元。明明一家上月共用電450度，他家上月共繳納電費多少元？

經統計，同一個班級的學生，同類型、同難度問題的正確率從之前的31.8%上升到了現在的92.1%。這一變化在一定程度上說明了教學的效果，凸顯了“階梯計費”模型教學的價值和作用。

在此基礎上，筆者還引導學生試著運用解決“階梯電費計價”的經驗，來統整“階梯電費”“階梯水費”“階梯燃氣費”的本質含義，從而抽象出更為一般化的“階梯計費”數學計算模型，讓學生感受到經歷數學建模過程的意義和價值。

至此，在整個教學過程中，教師借助對“階梯計費”計算方法的探索與實踐，引領學生親身經歷“發現提出問題—初步建立模型—修正完善模型—模型應用拓展”的建模過程，讓學生逐漸感悟模型思想的本質及作用，獲得對數學學習更加深刻的理解。

教師要讓學生在主動探究中感悟優化意識，在綜合與實踐中積累反思經驗，在模型演繹中培養嚴謹理性的數學品質。這些都是學生帶得走、用得著的終身本領，也是教師要適時培養的學科核心素養。