二元線性遞推數列通項的求解策略

鐘康生

二元線性遞推數列是數學高考和數學競賽的熱點問題，同時也是一個難點，本文以2019年和2020年高考題為背景，探求該類題型的通用解法，希望能拋磚引玉，與同行探討，

該題實際上是求二元遞推數列的通項，由于第（I）問為第（Ⅱ）問做了鋪墊，出題者刻意降低了要求，所以難度不是很大，只要注意觀察題目的己知條件即可順利解答，可見出題者的良苦用心！作為研究，筆者關注的問題是：如果把該題的第（ I）問去掉，沒有了墊腳石，怎么直接求解第（Ⅱ）問呢？該類題目是否有求{an}和{bn}的通法呢？經過到此，我們得到了兩種解題通法，終于徹底弄懂了其中的竅門，利用這些通法，我們可以很方便地命制出類似的考題，難度也容易調控！下面我們學以致用，迅速求解例2.

點評該解法是從己知條件中先解出yn，然后代入到另一個表達式中，消去yn和Yn+1，得到有關xn的一個三階遞推關系，然后再用特征方程法求解出xn。最后也求得yn當然也可以先消去xn.

例3 （2020年高考江蘇卷.25）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球，現從甲、乙口袋中各取一個球交換放入另一口袋，重復n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數為X，恰有2個黑球的概率為pn，恰有一個黑球的概率為qn，

點評該題第（2）問本質上也是二元線性遞推數列，但本題可以不用單獨求pn和qn，因為命題者已經為考生構造出數列{2pn+qn}了，大大降低了難度，那如果第（2）問改為直接求E（Xn）呢？我們對

二元線性遞推數列的通項是高中數列的一個難點，但是當我們掌握了知識的來龍去脈，理解了其中蘊含的原理，就不會覺得那些解法那么玄乎了，通過對比，我們發現構造法比消元法更好用，解答速度更快，也更容易為學生接受，很值得推薦，當然如果能直接觀察出如何構造數列，那就事半功倍了，這些方法和技巧都需要我們在解題過程中不斷地總結和提煉！

參考文獻

[1]左守波.“特征根”引領二元線性遞推數列通項的求解[J].中學數學，2013 （4）：83-84