基于序貫思想的高階無跡變換多普勒雷達跟蹤算法

張志斌

（昆明理工大學 信息工程與自動化學院，云南 昆明 650504）

0 引 言

在當今社會生產、生活過程中，人們在軍事、工業生產及社會活動等領域都會使用雷達技術[1]。為了滿足頻率穩定度的要求，方便檢測出回波信號微小的頻率變化，即由目標相對于雷達的徑向運動而引起的雷達回波信號的頻率變化，研究者基于電磁波的多普勒效應研發了多普勒雷達[2-4]。多普勒雷達對雷達信號的快速有效處理分析是重點研究領域，同時對目標的跟蹤也是這種信息技術應用的重要基礎[5]。因此，研發出既可以高效探測目標，又能夠提供精確有效的位置信息的多普勒雷達跟蹤算法，是這些應用的首要條件。目前，多普勒雷達技術主要應用在戰場觀察、環境監測、災害預警及搶險救災等應用領域，未來前景非常廣闊。

利用多普勒雷達實現目標跟蹤[6]的過程，已經有很多學者展開研究。在實際場景中，雷達檢測到的信號和運動目標之間并不是線性關系，通常都包含復雜的非線性形態。對此，常用的處理非線性形態的方法有擴展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filtering，EKF）[7]和無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filtering，UKF）[8]。其中，擴展卡爾曼濾波在處理過程中主要利用泰勒級數展開，將跟蹤系統轉化為線性問題，將展開式中所有二階及高階項略去，這樣就可將系統線性化，使得這個問題能夠用卡爾曼濾波（Kalman Filtering，KF）方法來解決。無跡卡爾曼濾波不需要將非線性模型轉化成線性模型，只借助無跡變換重新構造sigma點，使非線性系統適用于線性KF算法。盡管這兩種濾波算法自從發明以來在很多工程領域都廣泛應用，但是EKF算法需要求解復雜形式的雅克比行列式，由于算法本身較大的計算量，會把不精確的地方暴露出來，而UKF在處理高維數問題時會出現不正定的問題，導致精度降低。因此，文獻[9]提出一種新的基于壓縮感知處理的序貫擴展卡爾曼濾波方法，通過壓縮采樣匹配重構方法獲得目標的多普勒量測值，比傳統EKF能更有效地跟蹤目標。文獻[10]提出提高無跡卡爾曼濾波的精度，用序貫無跡卡爾曼濾波方法依次處理方位角、俯仰角和距離，來進行雷達目標跟蹤。文獻[11]指出，由于航空器在實際航行過程中的追蹤精確度不足，將高階UKF算法運用在真實的航空器飛行數據中，可以提高跟蹤精確度。文獻[12]針對標準無跡卡爾曼濾波算法由于自適應能力較弱而造成濾波器計算準確度降低的問題，給出了一種自適應序貫UKF濾波器處理計算方法。

基于多普勒雷達對目標跟蹤過程中，所量測信號的強非線性變化對目標跟蹤精確度所產生的影響，本文提出一種序貫高階無跡變換的卡爾曼濾波算法。該算法引入了多普勒雷達對目標進行觀測的各種信息，在觀測方程中通過結合使用方位角、俯仰角、多普勒速度，以及利用對非線性的高階無跡變化的采樣，來降低對非線性量測方法中目標跟蹤精確度的干擾。實測結果表明，所提方法對目標的位置和速度都具有較高的預測精度。

1 問題描述

1.1 目標動態模型

在笛卡爾坐標系下，目標運動狀態可以考慮以下模型：

1.2 雷達觀測模型

雷達測量方程[13]可以表示為：

式中：zk代表k時刻雷達測量方程，h(xk)為距離、方位角、俯仰角和多普勒速度測量值的集合，nk為零均值高斯白噪聲。

多普勒雷達測量目標距離、方位角、俯仰角及多普勒速度，對等式（2）測量的信息進行具體化表達如下：

式中：rkm，bkm，ekm及分別是真實目標距離、方位角、俯仰角和多普勒速度的雷達測量值，hr(xk)為距離測量值，hb(xk)是方位角測量值，he(xk)是俯仰

2 序貫高階無跡卡爾曼濾波方法

雷達觀測中有各種狀態分量，常規的辦法是對這些狀態分量一起進行處理。而在多普勒雷達中，可以利用序貫思想處理。序貫的思想是：經過雷達測量后得到一系列非線性測量值，這些測量值的非線性程度各不相同，建議雷達按照非線性程度對不同參數進行處理。在上述1.2節中的雷達觀測模型，建議按角度測量、距離測量和多普勒速度的順序進行濾波處理。

2.1 高階無跡變換

高階UT變換[14-15]可以對稱地選擇2n2+1個Sigma點。選取的Sigma點可以對應n維高斯隨機向量x的前4個階矩（均值、協方差、偏度、峰態）和所有的高階奇次階矩。

相應的協方差為：

其中：

權重wi(i=0,1,…,2n)由以下公式給出：

式中：參數λ是縮放因子，參數β用于結合xk分布的先驗知識，對于高斯分布，β=2是最佳的。

2.2 高階無跡卡爾曼濾波算法

將高階無跡變換應用到線性貝葉斯濾波結構中，可以得到高階無跡卡爾曼濾波，步驟如下。

2.2.1 時間更新

設k-1時刻隨機變量xk-1的后驗概率密度函數已知，對Pk-1|k-1進行cholesky分解得到平方根矩陣Sk-1|k-1，狀態向量的估計誤差協方差矩陣表達如下：

通過高階無跡變換引入單位隨機變量的sigma點σi(i=1,2,…,m)：

式中：Xi,k-1|k-1為第一類、第二類、第三類sigma點集合的表示形式。

將引入sigma點后的狀態進行非線性傳播，得到變換的樣本：

計算k時刻狀態的一步預測值：

計算k時刻的狀態進一步預測估計誤差協方差：

2.2.2 量測更新

（1）預測協方差分解：

（2）通過高階無跡變換引入單位隨機變量的sigma點σi(i=1,2,…,m)：

（3）將引入sigma點后的狀態進行非線性傳播，得到變換的樣本：

（4）計算k時刻量測的一步預測值：

五月，我在省腫瘤醫院的病房前，看到一棵流蘇樹開滿了白色的花朵，遠觀整個樹冠像是一片白色的流動的云。近看，每一朵花垂下來的絲絳，綿軟光滑，在五月的微風里隨風搖曳，溫柔的、醉人心的。

（5）計算k時刻量測的一步預測估計誤差協方差矩陣：

（6）計算k時刻狀態與量測的互相關協方差 矩陣：

（7）計算計算k時刻高階UKF的濾波增益：

（8）計算k時刻高階UKF的狀態估計：

（9）計算k時刻高階UKF的狀態估計誤差協方差矩陣估計：

根據序貫理論思想，將按照角度測量、距離測量、多普勒速度的順序得到對應的高階無跡變換，再應用到貝葉斯濾波系統，就可以得到序貫無跡卡爾曼濾波算法，從而實現對目標的跟蹤。

3 仿真及分析

為了用雷達測量來測試非線性跟蹤濾波器的性能，考慮了一個在平面上運動速度幾乎恒定的目標。對于目標速度、位置性能比較，均方根誤差（RMSE）寫成以下表達式：

式中：xi表示觀測值，表示真實值，n表示觀測次數。經過100次蒙特卡洛獨立試驗，所得的仿真結果如下。

勻速運動模型的場景如圖1所示，勻速運動模型下，速度的均方根誤差和位置的均方根誤差如 圖2、圖3所示。

圖1 勻速運動模型

圖2 速度誤差性能比較

圖3 位置誤差性能比較

由圖2結果可見，本文所提方法的速度均方誤差最小，且基本處于0.2以下，收斂速度是幾種方法中最快的。在最初前5 s左右，靜態融合轉換卡爾曼濾波（SMCMKF）方法由于對先驗信息積累不夠，當受到外部噪聲影響時，會有較大的擾動，而高階無跡卡爾曼濾波（HUKF）由于處理非線性信息時對所有的信息進行一起處理，從而導致誤差會有所偏大。

由圖3結果可見，本文所提方法由于最初需要判斷要進行處理的非線性信息，剛開始10 s內會出現跟蹤效果不如其他兩種方法的情況，但是在之后，跟蹤性能是三種方法中最好的。高階無跡卡爾曼濾波（HUKF）雖然在最初位置收斂速度快，但是由于處理的信息中包含非線性量較多，在處理過程中性能表現并不穩定。幾種方法的均方差比較如表1所示。

4 結 語

對于雷達目標跟蹤問題，實際情況中很多都是強非線性場景。目標跟蹤中，對非線性進行恰當處理能夠得到較好的跟蹤效果。本文運用序貫高階無跡卡爾曼濾波方法，依次對處理角度信息、距離和多普勒速度進行濾波處理，在跟蹤性能上有所提升。該方法可以提高濾波精度，同時也可以提高計算效率。