有“圓”千里來(lái)相會(huì)，無(wú)“圓”對(duì)面不相識(shí)錢(qián)金山

徐曉連

近年來(lái)，各地中考題常涉及“隱形圓”。這些題呈現(xiàn)方式多樣，入手較難。但我們只要認(rèn)識(shí)到題目的本質(zhì)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的巧妙之處。

例題 如圖1，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4。P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為（ ）。

【解析】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、圓周角定理、最值問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)P的位置。首先證明點(diǎn)P在以AB為直徑的圓O上，連接OC與圓O交于點(diǎn)P，此時(shí)PC最小，再利用勾股定理求出OC，即可解決問(wèn)題。答案選B。

【變式1】（2021·廣東）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3，點(diǎn)D為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠ADB=45°，則線段CD長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)______。

【解析】本題沒(méi)有給出幾何圖形，需要自己作圖分析。根據(jù)“定弦定角”模型，可作出輔助圓。如圖2，以AB為斜邊向兩側(cè)作等腰直角三角形OAB和等腰直角三角形O′AB，則點(diǎn)D應(yīng)在分別以O(shè)和O′為圓心，OA和O′A長(zhǎng)為半徑的優(yōu)弧上，若CD長(zhǎng)度最小，則點(diǎn)D應(yīng)在以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的優(yōu)弧上。過(guò)圓心O作ON⊥AB，OM⊥BC，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓，點(diǎn)D在圓O上。

【點(diǎn)評(píng)】45°的圓周角所對(duì)的弦長(zhǎng)是定值，屬于“隱形圓”中典型的“定弦定角”模型。

【變式2】如圖3，E、F分別為正方形ABCD的邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE、AF、EF，且滿足∠EAF=45°。

（1）求證：BE+DF=EF;

（2）若正方形的邊長(zhǎng)為1，則△ECF面積的最大值為_(kāi)______。

【解析】（1）如圖4，把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，可證△EAF≌△EAG，從而得到BE+DF=EF。

（2）由（1）可知S△ECF=S正方形ABCD-2S△AEF=1-EF，以EF為斜邊向△AEF內(nèi)作等腰直角三角形OEF。由于∠EAF=45°，點(diǎn)A、E、F在以O(shè)為圓心，OE為半徑的圓上，當(dāng)EF值最小時(shí)，△ECF的面積最大。過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EF于點(diǎn)H，以EF為斜邊向△AEF內(nèi)作等腰直角三角形OEF，取EF中點(diǎn)I，連接OA、OI、CI。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的旋轉(zhuǎn)、圓周角和圓心角的關(guān)系，能發(fā)現(xiàn)“隱形圓”并作出正確圖形是解決問(wèn)題的突破口。利用“隱形圓”模型常能突破一些較難的綜合題，一旦“圓”形畢露，答案便手到擒來(lái)。

（作者單位：1.江蘇省宿遷市宿豫區(qū)豫新初級(jí)中學(xué);2.江蘇省宿遷市宿豫區(qū)教師發(fā)展中心）