非對(duì)稱氣體彈簧諧振系統(tǒng)建模與分析

水 龍，田集斌，李昊璘，王雪松

（蘭州空間技術(shù)物理研究所 真空技術(shù)與物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，蘭州 730000）

0 引言

往復(fù)式運(yùn)動(dòng)機(jī)器廣泛應(yīng)用于能源轉(zhuǎn)換領(lǐng)域，如自由活塞斯特林制冷機(jī)/發(fā)電機(jī)、線性壓縮機(jī)等。通常使用機(jī)械彈簧和氣體彈簧為往復(fù)式運(yùn)動(dòng)活塞提供軸向剛度支撐，以實(shí)現(xiàn)活塞的穩(wěn)定往復(fù)直線振蕩[1-2]。其中，氣體彈簧利用封閉空間內(nèi)一定質(zhì)量氣體的可壓縮性來(lái)產(chǎn)生作用力，通過(guò)設(shè)計(jì)附加氣腔、連通管路及囊結(jié)構(gòu)等，實(shí)現(xiàn)彈簧剛度動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)，有效提高往復(fù)式機(jī)器運(yùn)行頻率[3]。

20世紀(jì)90年代，美國(guó)MTI公司在NASA支持下研發(fā)了12.5 kW自由活塞斯特林發(fā)電機(jī)SPDE和CTPC[4-5]，樣機(jī)采用氣體彈簧提供配氣/動(dòng)力活塞軸向剛度。Lewandowski等[6]以CTPC樣機(jī)為研究對(duì)象，建立了包含斯特林熱力學(xué)循環(huán)、機(jī)械振動(dòng)和直線電機(jī)的等效質(zhì)量-剛度-阻尼動(dòng)態(tài)模型，分析了樣機(jī)多個(gè)工況條件下從啟動(dòng)至全功率運(yùn)行的瞬態(tài)與動(dòng)態(tài)特性。在此基礎(chǔ)上，F(xiàn)oster-Miller公司基于成本與時(shí)間考慮，研制了CTPC縮比樣機(jī)——5 kW自由活塞斯特林發(fā)電機(jī)[7]，Raymond等[8]建立了該樣機(jī)的線性與非線性分析模型。以上模型均未包含樣機(jī)氣體彈簧流道內(nèi)氣體振蕩、間歇流動(dòng)以及密封間隙處氣體流動(dòng)等動(dòng)態(tài)過(guò)程。本文以蘭州空間技術(shù)物理研究所研制的斯特林發(fā)電機(jī)原理樣機(jī)的非對(duì)稱氣體彈簧諧振系統(tǒng)為研究對(duì)象，考慮氣體彈簧連通管內(nèi)氣體振蕩流動(dòng)、平衡孔內(nèi)瞬態(tài)間歇?dú)怏w流動(dòng)以及活塞-氣缸多個(gè)間隙密封處氣體流動(dòng)等動(dòng)態(tài)過(guò)程，通過(guò)諧振系統(tǒng)非線性建模與計(jì)算，對(duì)諧振系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)時(shí)頻變換對(duì)諧振系統(tǒng)剛度特性進(jìn)行分析。

1 非對(duì)稱氣體彈簧諧振系統(tǒng)

非對(duì)稱氣體彈簧諧振系統(tǒng)主要由動(dòng)力活塞、配氣活塞及內(nèi)外缸體組成，在配氣活塞與內(nèi)缸體之間設(shè)計(jì)有連接管道。動(dòng)力活塞與外缸體配合形成工作腔與背壓腔，配氣活塞與內(nèi)缸體配合形成前、后氣體彈簧腔，其中前氣體彈簧腔通過(guò)內(nèi)缸體上的連通管與附加腔保持連通。配氣活塞位于平衡位置附近時(shí)，配氣活塞上平衡孔與內(nèi)缸體的連接管連通，實(shí)現(xiàn)前、后氣體彈簧腔的連通；配氣活塞在其他位置時(shí)，平衡孔失效，前、后氣體彈簧腔隔離。非對(duì)稱氣體彈簧諧振系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱諧振系統(tǒng)）的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 非對(duì)稱氣體彈簧諧振系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic of the resonant system with asymmetric gas springs

在直線電機(jī)驅(qū)動(dòng)下，諧振系統(tǒng)動(dòng)力活塞受到主動(dòng)力作用做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，使得工作腔內(nèi)氣體壓力周期性變化。啞鈴狀配氣活塞由于存在面積差受到氣體壓力作用[4]，在前、后氣體彈簧的共同作用下做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。前氣體彈簧腔與附加腔通過(guò)管路連通實(shí)現(xiàn)擴(kuò)容，后氣體彈簧腔容積較小。配氣活塞在往復(fù)振蕩過(guò)程中，前、后氣體彈簧腔壓力值存在顯著差異，前、后氣體彈簧的剛度也存在顯著差異，具有非對(duì)稱特性。

諧振系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性測(cè)試實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖2所示，主要由氦氣源、交流電源、壓力和位移傳感器以及數(shù)據(jù)采集和處理單元組成，其中氦氣源為諧振系統(tǒng)提供一定壓力，諧振系統(tǒng)活塞位移、各個(gè)氣腔內(nèi)氣體動(dòng)態(tài)壓力的變化規(guī)律分別由激光位移傳感器和動(dòng)態(tài)壓力傳感器采集并通過(guò)數(shù)據(jù)采集單元傳輸至示波器和計(jì)算機(jī)處理。諧振系統(tǒng)的設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所列。

表1 諧振系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.1 Design parameters of the reciprocating system

圖2 諧振系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性測(cè)試實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig.2 Experimental set-up of the resonant system with asymmetric gas springs

2 諧振系統(tǒng)建模

諧振系統(tǒng)的動(dòng)子包含動(dòng)力活塞和配氣活塞，是一個(gè)2自由度質(zhì)量-剛度-阻尼往復(fù)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)。動(dòng)力活塞、配氣活塞的往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)使得氣腔內(nèi)氣體周期性膨脹和壓縮，并通過(guò)管道和密封間隙流動(dòng)，氣腔內(nèi)氣體壓力的周期性變化又反作用于動(dòng)子，從而影響動(dòng)子的運(yùn)動(dòng)，即諧振系統(tǒng)動(dòng)子的往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)與氣腔內(nèi)氣體壓力變化互相耦合。

初始狀態(tài)時(shí)，非對(duì)稱氣體彈簧諧振系統(tǒng)的動(dòng)子均位于平衡位置，規(guī)定動(dòng)力活塞的運(yùn)動(dòng)正方向（xd）和配氣活塞的運(yùn)動(dòng)正方向（xp），如圖1所示。

2.1 動(dòng)子動(dòng)力學(xué)

配氣活塞運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到工作腔氣體壓力pw及前、后氣體彈簧壓力pf、pa作用，根據(jù)牛頓第二定律，得到：

同理，動(dòng)力活塞運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到工作腔、背壓腔氣體壓力pw、pb及主動(dòng)力Fe作用，可得：

式中：?為動(dòng)力活塞加速度。

2.2 氣腔氣體熱力學(xué)

動(dòng)力活塞與配氣活塞的往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)使得工作腔、前后氣體彈簧腔內(nèi)氣體周期性壓縮與膨脹，將各腔內(nèi)氣體視為理想氣體，則有：

2.3 氣腔氣體質(zhì)量傳遞

諧振系統(tǒng)中，前氣體彈簧腔與工作腔、后氣體彈簧腔與工作腔之間存在密封間隙，前氣體彈簧腔與附加腔通過(guò)連通管連接，前后氣體彈簧腔在平衡位置附近通過(guò)管道連接。由于氣腔氣體壓力波動(dòng)的幅值和相位不同，諧振系統(tǒng)氣腔之間存在穩(wěn)定或瞬時(shí)的氣體質(zhì)量交換。

前氣體彈簧腔與附加腔、工作腔、后氣體彈簧腔之間存在氣體質(zhì)量交換，表示x腔與y腔之間的質(zhì)量流量，因此，前氣體彈簧腔的質(zhì)量流量為：

同理，前氣體彈簧附加腔、后氣體彈簧腔及工作腔的質(zhì)量流量分別為：

如圖3為缸體與活塞配合形成的密封間隙示意圖，氣體通過(guò)環(huán)形密封間隙的質(zhì)量流量為：

圖3 密封間隙示意圖Fig.3 The schematic diagram of the gap seal

如圖4為氣體在兩個(gè)氣腔連通管道內(nèi)的質(zhì)量傳遞示意圖，氣體通過(guò)管道的質(zhì)量流量為[9-10]：

圖4 氣體在兩個(gè)氣腔連通管道的質(zhì)量傳遞示意圖Fig.4 Schematic diagram of mass transfer of gas in the connecting pipe between two gas chambers

值得注意的是，前氣體彈簧腔與附加腔始終通過(guò)管道連通，而前氣體彈簧腔與后氣體彈簧腔僅在配氣活塞位于平衡位置附近時(shí)通過(guò)平衡孔連通，前后氣體彈簧腔連通面積與平衡孔面積之比隨配氣活塞位移的變化規(guī)律如圖5所示。

3 動(dòng)態(tài)特性分析

聯(lián)立式（1）（2）（7）～（13），得到諧振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，包含 xd、xp、pf、ps、pa、pw、pb、mf、ms、ma、mw、mwf、maw、mfs和maf共15個(gè)未知變量，已知未知變量的初始值，通過(guò)數(shù)值計(jì)算可得到諧振系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

計(jì)算得到諧振系統(tǒng)動(dòng)子位移、氣腔氣體壓力、氣腔質(zhì)量流量、配氣活塞主動(dòng)力及氣體彈簧力的變化規(guī)律分別如圖6～9所示。

圖6 動(dòng)力活塞及配氣活塞位移變化規(guī)律Fig.6 Variation laws of displacements of power piston and displacer

諧振系統(tǒng)啟動(dòng)后，動(dòng)子振幅、氣腔氣體壓力幅值和質(zhì)量流量逐漸增大并過(guò)渡至基本保持不變，諧振系統(tǒng)經(jīng)過(guò)瞬態(tài)達(dá)到穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)。在穩(wěn)定運(yùn)行階段，諧振系統(tǒng)各變量隨時(shí)間周期性變化，并保持穩(wěn)定的幅值與相位關(guān)系，從圖5、圖6分別截取動(dòng)子位移、氣腔氣體壓力在0.2～0.3 s時(shí)間段內(nèi)的變化過(guò)程，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖10、圖11所示。

圖7 氣腔氣體壓力變化規(guī)律Fig.7 Variation laws of gas pressure

圖8 氣腔質(zhì)量流量變化規(guī)律Fig.8 Variation laws of gas mass flow

圖9 配氣活塞主動(dòng)力及彈簧力變化規(guī)律Fig.9 Variation laws of driving force and gas spring force of displacer

圖10 動(dòng)子位移變化規(guī)律對(duì)比Fig.10 Comparison of displacements of pistons

圖11 氣體壓力變化規(guī)律對(duì)比Fig.11 Comparison of gas pressure

由計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，在穩(wěn)定運(yùn)行階段，諧振系統(tǒng)的動(dòng)力活塞和配氣活塞在主動(dòng)力與氣體壓力共同作用下做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)頻率均為50 Hz。動(dòng)力活塞和配氣活塞振幅計(jì)算值分別為5.09 mm和3.62 mm，實(shí)驗(yàn)測(cè)試值分別為4.86 mm和3.39 mm，兩個(gè)活塞相位差約為70°。

諧振系統(tǒng)氣腔氣體壓力呈近簡(jiǎn)諧變化規(guī)律，交變周期與動(dòng)子運(yùn)動(dòng)周期一致，前氣體彈簧腔通過(guò)連通管與附加腔存在穩(wěn)定的周期性氣體質(zhì)量交換，質(zhì)量流量幅值為0.01 kg/s，附加腔氣體壓力跟隨前氣體彈簧腔氣體壓力的交變，而壓力波動(dòng)幅值較小，約為0.035 MPa，與實(shí)測(cè)值接近。

由于容積存在顯著差異，后氣體彈簧腔氣體壓力波動(dòng)幅值明顯大于前氣體彈簧腔，其壓力波動(dòng)幅值分別為0.095 MPa和0.046 MPa。當(dāng)配氣活塞位于平衡位置附近時(shí)，前后氣體彈簧腔通過(guò)平衡孔連通，出現(xiàn)氣體質(zhì)量的間歇脈沖式交換。

諧振系統(tǒng)配氣活塞受到正方向且大小均值為1 518 N的交變主動(dòng)力以及負(fù)方向且大小均值為1 518 N的交變彈簧力共同作用。彈簧力幅值大于主動(dòng)力幅值，兩者保持穩(wěn)定的相位差，彈簧力與主動(dòng)力的合力為方向與大小均交變的作用力，這是配氣活塞做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的根本原因。

綜上所述，諧振系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好，驗(yàn)證了諧振系統(tǒng)建模和計(jì)算的正確性。

4 氣體彈簧的剛度特性

4.1 氣體彈簧的等效剛度

由諧振系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性計(jì)算結(jié)果可知，前后氣體彈簧腔通過(guò)密封間隙及平衡孔的質(zhì)量流量較小。忽略氣體彈簧腔的密封間隙泄露和平衡孔瞬時(shí)連通作用，推導(dǎo)氣體彈簧等效剛度計(jì)算公式。前氣體彈簧腔僅與附加腔存在氣體質(zhì)量傳遞，通過(guò)傅里葉變換[11]，得到前氣體彈簧腔氣體壓力在頻域的表達(dá)式為：

4.2 計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析

根據(jù)式（18）～（21），計(jì)算得到諧振系統(tǒng)前、后氣體彈簧的等效剛度分別為25.6 N/mm和65.9 N/mm，諧振系統(tǒng)等效總剛度為91.5 N/mm，分別繪制等效剛度曲線如圖12、圖13和圖14所示。圖中藍(lán)色曲線為氣體彈簧剛度曲線，紅色曲線為相應(yīng)的等效剛度曲線。

圖12 前氣體彈簧剛度曲線Fig.12 Stiffness curve of forward gas spring

圖13 后氣體彈簧剛度曲線Fig.13 Stiffness curve of aft gas spring

圖14 諧振系統(tǒng)總剛度曲線Fig.14 Total stiffness curve of the resonant system

由圖可知，諧振系統(tǒng)總剛度為其前后氣體彈簧剛度疊加所得，前后氣體彈簧具有非對(duì)稱特性，后氣體彈簧剛度曲線線性度較好。后氣體彈簧剛度與等效剛度偏離的主要來(lái)源是前后氣體彈簧腔的連通作用，在前后氣體彈簧腔非連通段剛度與等效剛度基本一致。在前后氣體彈簧腔連通段受平衡孔瞬時(shí)連通產(chǎn)生的氣體質(zhì)量傳遞影響，后氣體彈簧剛度略小于等效剛度，后氣體彈簧等效剛度占比約72%。由于前氣體彈簧腔與附加腔存在穩(wěn)定的周期性氣體質(zhì)量傳遞，前氣體彈簧剛度曲線環(huán)繞其等效剛度近似呈“橢圓狀”，非線性特征明顯，前氣體彈簧等效剛度占比約28%。

5 結(jié)論

針對(duì)非對(duì)稱氣體彈簧諧振系統(tǒng)的運(yùn)行過(guò)程，綜合考慮前氣體彈簧腔與附加腔的穩(wěn)定氣體質(zhì)量傳遞、前后氣體彈簧腔瞬時(shí)氣體質(zhì)量傳遞以及密封間隙等因素，建立了包含動(dòng)子動(dòng)力學(xué)、氣體熱力學(xué)及氣體質(zhì)量傳遞的諧振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，計(jì)算得到了諧振系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)時(shí)頻變換推導(dǎo)了諧振系統(tǒng)氣體彈簧等效剛度解析計(jì)算公式，與動(dòng)態(tài)剛度曲線進(jìn)行了對(duì)比分析，分析結(jié)果表明：

（1）諧振系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好，驗(yàn)證了諧振系統(tǒng)非線性建模與計(jì)算的正確性；

（2）基于動(dòng)態(tài)特性計(jì)算結(jié)果繪制的氣體彈簧剛度曲線與其等效剛度曲線基本一致，等效剛度能夠反映氣體彈簧的剛度特性；

（3）諧振系統(tǒng)前氣體彈簧腔與附加腔存在穩(wěn)定的周期性氣體質(zhì)量傳遞，前氣體彈簧剛度曲線非線性特征明顯，后氣體彈簧剛度較大，前后氣體彈簧具有非對(duì)稱特性。