一類四階常微分方程周期邊值問題的可解性

張麗娟, 李永祥

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

解的存在性與唯一性, 在非線性項f(x,u,v)滿足適當的不等式條件下, 獲得了該問題解的存在性與唯一性， 其中α,β>0, f: [0,2π]×2→連續.

0 引 言

四階常微分方程邊值問題是描述彈性梁在一定邊界條件下靜態形變的數學模型, 由于其重要的物理背景, 因此關于該問題的可解性研究得到廣泛關注[1-8]. 本文討論四階周期邊值問題(PBVP):

(1)

解的存在性與唯一性, 其中α,β>0,f: [0,2π]×2→連續.

對非線性項f不含未知函數u的二階導數項u″的特殊情形, 關于PBVP(1)的研究已有許多結果[1-4]: Cabada[1]對微分算子Lu=u(4)+αu建立了極大值原理, 并基于該極大值原理, 用上下解方法獲得了解的存在性結果； Li[2]對微分算子Lu=u(4)-βu″+αu建立了強極大值原理, 在f(x,u)非負且關于u超線性或次線性增長的情形下, 用錐上的不動點指數理論獲得了PBVP(1)正解的存在性； 文獻[3]應用文獻[2]中的強極大值原理, 討論了PBVP(1)多重正解的存在性; 文獻[4]討論了變系數α=a(x),β=0的情形, 用錐上的不動點指數理論獲得了PBVP(1)正解的存在性結果.

對非線性項f含有u″的一般情形, 文獻[5-8]對PBVP(1)的可解性進行了研究. 文獻[5]在涉及兩參數特征值問題的一個非共振條件下, 獲得了PBVP(1)解的存在性結果; 文獻[6]在文獻[5]的基礎上, 在用橢圓和圓描述的兩參數非共振條件下, 獲得了PBVP(1)解的存在性與唯一性結果. 文獻[5-6]的兩參數非共振條件均限定f(x,u,v)關于u,v至多一次增長.文獻[7]建立了PBVP(1)上下解的單調迭代求解程序; 文獻[8]討論了非線性項f(x,u,v)非負的情形, 在允許f(x,u,v)關于u,v超線性增長或次線性增長的條件下, 獲得了PBVP(1)正解的存在性.

本文在不假設f(x,u,v)非負的一般情形下討論PBVP(1)的可解性.在允許f(x,u,v)關于u與v超線性增長的不等式條件下, 用Leray-Schauder不動點定理獲得了PBVP(1)解的存在性結果, 并在此基礎上進一步討論解的唯一性.

1 預備知識

為討論PBVP(1)的可解性, 先考慮相應的線性周期問題(LPBVP):

(2)

其中h∈L2(I).

引理1設α,β>0, 則對?h∈L2(I), LPBVP(2)有唯一解u=Sh∈H4(I), 且解算子S:L2(I)→H4(I)為線性有界算子, 并且u=Sh滿足

‖u′‖≤‖u″‖≤‖u?‖≤‖u(4)‖,

當h∈C(I)時,u∈C4(I).

證明: ?h∈L2(I), 因為三角函數系{1,cosx,sinx,…,cosnx,sinnx,…}為L2(I)中的一個完備直交系, 故h在L2(I)中可展為三角函數

做函數

(3)

易驗證u∈H4(I)為LPBVP(2)的解. 由Fourier展式的唯一性知,u=Sh為LPBVP(2)的唯一解.顯然解算子S:L2(I)→H4(I)為線性有界算子.當h∈C(I)時,u∈C4(I), 且解算子S:C(I)→C4(I)有界.由Fourier展式的系數公式和式(3)可得u′,u″,u?,u(4)的展式:

故有

‖u′‖≤‖u″‖≤‖u?‖≤‖u(4)‖.

2 主要結果及其應用

假設：

(H1) 存在00, 使得

f(x,u,v)u-f(x,u,v)v≤au2+bv2+c,x∈I,u,v∈.

定理1設α,β>0,f:I×2→連續.若f滿足假設條件(H1), 則PBVP(1)至少有一個解.

證明: 定義映射F:C2(I)→C(I),

F(u)(x)=f(x,u(x),u″(x)),x∈I,

(4)

則F:C2(I)→C(I)連續.由引理1知, LPBVP(2)的解算子S:C(I)→C2(I)全連續, 故復合映射A=S°F:C2(I)→C2(I)全連續.由解算子S的定義知, PBVP(1)的解等價于A的不動點.下面對A應用Leray-Schauder不動點定理.

考慮方程簇

u=λAu, 0<λ<1.

(5)

設u∈C2(I)為方程簇(5)中一個方程的解, 則u=λAu=S(λF(u)).由S的定義知,u為h=λF(u)∈C(I)相應的LPBVP(2)的解, 因此u∈C4(I)滿足

(6)

將方程(6)兩邊同乘u(x)-u″(x), 并由假設條件(H1), 有

將式(7)兩邊在I上關于x積分, 得

對式(8)左端應用分部積分公式, 得

因此, 由式(8)得

(9)

進而

(10)

(11)

由式(9),(11)知

(12)

由式(11),(12)有

‖u‖C2≤C0‖u‖3,2≤C0M1∶=M2,

其中C0為嵌入常數.因此, 方程簇(5)的解集在C2(I)中有界, 從而由Leray-Schauder不動點定理知,A在C2(I)中有不動點, 該不動點為PBVP(1)的解.證畢.

假設：

(H2) 存在0

定理2設α>0,β>0,f:I×2→連續.若f滿足假設(H2), 則PBVP(1)存在唯一解.

證明: 先證存在性.由定理1, 只需證(H2)?(H1).對?(x,u,v)∈I××, 取

則由(H2), 有

由式(13), 有

再證唯一性.設u1,u2∈C2(I)均為PBVP(1)的解.令u=u2-u1, 則由方程(1)及F的定義(式(4)), 有

u(4)-βu″+αu=F(u2)-F(u1),

(14)

將式(14)兩端同時乘以u-u″, 由條件(H2), 有

先將式(15)左端展開, 然后兩邊在I上積分, 得

(16)

因此, 有

(17)

例1考慮超線性四階周期邊值問題:

(18)

對應于PBVP(1),α=3,β=2,u=u(x),v=u″(x),x∈I, 非線性項為

f(x,u,v)=-u3-u2v+uv2+v3+sinx,

(19)

將式(19)兩邊同乘u-v, 可得

例2考慮非線性四階周期邊值問題:

(20)

對應于PBVP(1),α=5,β=3,u=u(x),v=u″(x),x∈I, 非線性項為

f(x,u,v)連續可微, 其偏導數為

因此, 有

(21)

對?(x,u1,v1),(x,u2,v2)∈I××, 由微分中值定理知, 存在

ξ=u1+θ(u2-u1),η=v1+θ(v2-v1),

其中θ∈(0,1), 使得

于是由式(21), 有

取a=b=4, 則0