一致分?jǐn)?shù)階非瞬時(shí)脈沖微分方程非局部問題溫和解的存在性

豆 靜, 周文學(xué), 吳玉翠

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)系, 蘭州 730070)

溫和解的存在性, 在非線性項(xiàng)滿足適當(dāng)增長條件和非緊性測(cè)度條件, 非局部項(xiàng)和非瞬時(shí)脈沖函數(shù)均滿足Lipschitz條件下, 得到該問題解的存在性結(jié)果, 并舉例說明所得結(jié)果的有效性.

0 引 言

脈沖微分方程常用于描述發(fā)生突變的、 不連續(xù)的、 跳躍的動(dòng)力學(xué)過程, 在生物學(xué)、 物理學(xué)、 工程學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 目前, 關(guān)于脈沖微分方程可解性的研究已有很多結(jié)果[1-10], 但這些結(jié)果大多數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)脈沖的研究. 研究表明, 經(jīng)典的瞬時(shí)脈沖模型不能很好地解釋例如藥物在人體內(nèi)吸收、 擴(kuò)散和代謝過程的動(dòng)力學(xué)行為. 由于藥物進(jìn)入人體血液和之后的身體吸收是漸近和連續(xù)的過程, 它突然開始并在有限的時(shí)間間隔內(nèi)保持活躍, 這種現(xiàn)象稱為非瞬時(shí)脈沖. 具有非瞬時(shí)脈沖的經(jīng)典模型可表征許多實(shí)際問題, 因此已得到廣泛關(guān)注.

近年來, 關(guān)于脈沖微分方程的理論逐漸完善, 已將其部分結(jié)論推廣至分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程中, 但大多數(shù)研究都基于Caputo和Riemanm-Liouville定義, 而關(guān)于其他新定義下脈沖微分方程的研究報(bào)道較少. Khalil等[11]提出了一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義, 該分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義具有整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì), 因而是經(jīng)典整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的推廣. 文獻(xiàn)[12-15]給出了基于該分?jǐn)?shù)階定義下微分方程的研究及其應(yīng)用.

Pierri等[16]利用解析半群和閉算子的分?jǐn)?shù)冪理論研究了一類含非瞬時(shí)脈沖的抽象微分方程

解的存在性. Pierri等[17]基于Hausdorff非緊性測(cè)度和算子半群理論研究了含非瞬時(shí)脈沖的抽象微分方程

在[0,∞)上溫和解及漸近周期溫和解的存在性. Zhang等[18]利用凝聚映射不動(dòng)點(diǎn)定理研究了分?jǐn)?shù)階半線性積微分發(fā)展方程

其中Dq是階數(shù)為q的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù), 0

基于上述研究, 本文考慮分?jǐn)?shù)階非瞬時(shí)脈沖發(fā)展方程非局部問題

(1)

溫和解的存在性, 其中:Tq是階數(shù)為q的一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù), 0

D={(t,s)∈2: 0≤s≤t≤T},D0={(t,s)∈2: 0≤t,s≤T};

A:D(A)?X→X為閉線性算子.A生成X中一致有界的等度連續(xù)C0-半群T(t)(t≥0),I=[0,c], 其中c>0.

1 預(yù)備知識(shí)

構(gòu)成的空間.對(duì)任意有限數(shù)r>0, 令

Br={u∈PC(I,X): ‖u‖≤r,t∈I}

是PC(I,X)中的有界凸閉集, 且記

定義1[11]令q∈(0,1), 給定函數(shù)f: [0,∞)→, 則f的一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

引理1[11]令q∈(0,1), 且函數(shù)f和g在t>0上q次可微, 則:

1)Tq(af+bg)=aTq(f)+bTq(g), ?a,b∈;

2)Tq(tp)=ptp-1, ?p∈;

3)Tq(fg)=fTq(g)+gTq(f);

由文獻(xiàn)[19]中定義6及文獻(xiàn)[20]中定義2.1, 可給出以下定義：

則函數(shù)u∈PC(I,X)稱為問題(1)的溫和解.

引理2[21]設(shè)S?E有界, 則S的有限覆蓋最大直徑下確界

稱為S的Kuratowskii非緊性測(cè)度.

引理3[21]設(shè)S,T表示E中的有界集,a為實(shí)數(shù), 則非緊性測(cè)度具有下列性質(zhì):

1)α(S)=0 ?S是相對(duì)緊集;

2)S?T?α(S)≤α(T);

4)α(S∪T)=max{α(S),α(T)};

5)α(aS)=|a|α(S), 其中aS={x=az|z∈S};

6)α(S+T)≤α(S)+α(T), 其中S+T={x=y+z|y∈S,z∈T};

引理7[18]設(shè)X和E為Banach空間,Q:D(Q)?E→X是Lipschitz連續(xù)的, Lipschitz常數(shù)為L, 則對(duì)任意的有界集V?D(Q), 有α(Q(V))≤Lα(V).

定義3[24]設(shè)E1,E2是實(shí)Banach空間,D?E1, 設(shè)A:D→E2連續(xù)有界, 若存在常數(shù)k≥0, 使得對(duì)任意有界集S?D, 均滿足α(A(S))≤kα(S), 則稱A是D上的k-集壓縮映像; 特別地,k<1時(shí)的k-集壓縮映像稱為嚴(yán)格集壓縮映像.

引理8[24]設(shè)D為E中的有界凸閉集(D不一定有內(nèi)點(diǎn)),A:D→D是嚴(yán)格壓縮映像, 則A在D中必有不動(dòng)點(diǎn).

2 主要結(jié)果

假設(shè):

(H1) 對(duì)任意的t∈I, 函數(shù)f(t,·,·,·):X×X×X→X連續(xù), 且對(duì)任意的(x,y,z)∈X×X×X, 函數(shù)f(t,x,y,z):I→XLebesgue可測(cè);

(H2) 存在一個(gè)連續(xù)非減函數(shù)Ψ: [0,∞)→(0,∞)及函數(shù)Φ∈L1/q1(I,+), 其中常數(shù)q1∈(0,q), 使得

‖f(t,x,y,z)‖≤Φ(t)Ψ(‖x‖), ?x,y,z∈X,t∈I;

(H3)g:PC(I,X)→X連續(xù)且存在一個(gè)常數(shù)α*>0, 使得

‖g(x)-g(y)‖≤α*‖x-y‖, ?x,y∈PC(I,X);

(H4)φi: [ti,si]×X→X連續(xù)且存在常數(shù)Kφi>0(i=1,2,…,m), 使得

‖φi(t,x)-φi(t,y)‖≤Kφi‖x-y‖, ?x,y∈X,t∈[ti,si];

(H5) 存在非負(fù)常數(shù)Li,Mi,Ni(i=0,1,…,m), 使得對(duì)任意可數(shù)集D1,D2,D3?X, 均有

α(f(t,D1,D2,D3))≤Liα(D1)+Miα(D2)+Niα(D3), ?t∈(si,ti+1],i=0,1,…,m.

定理1設(shè)X為Banach空間, 若A生成X中一致有界的等度連續(xù)C0-半群T(t)(t≥0),f:I×X×X×X→X,g:PC(I,X)→X, 且對(duì)?i=1,2,…,m, 函數(shù)g(θ)和φi(·,θ)有界, 并滿足假設(shè)條件(H1)～(H5), 則當(dāng)

(2)

(3)

證明: 定義算子Q:PC(I,X)→PC(I,X)為

(Qu)(t)=(Q1u)(t)+(Q2u)(t),

(4)

其中

(5)

(6)

易見初值問題(1)的溫和解等價(jià)于算子Q的不動(dòng)點(diǎn).下面證明算子Q至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

1) 證明存在常數(shù)R>0, 使得Q(BR)?BR.

若不然, 則對(duì)任意的r>0, 存在ur∈Br和tr∈I, 使得‖(Qur(tr))‖>r.若tr∈[0,t1], 則由式(4),(7)和假設(shè)條件(H3), 有

若tr∈(ti,si](i=1,2,…,m), 則由式(5)和假設(shè)條件(H4), 有

‖(Qur)(tr)‖=‖φi(tr,ur(tr))‖≤Kφi‖ur(tr)‖+‖φi(tr,θ)‖≤Kφir+β,

(9)

結(jié)合式(8)～(10)及r<‖(Qur)(tr)‖, 有

(11)

將式(11)兩邊除以r, 且令r→∞, 有

1

(12)

與式(2)矛盾.

2) 證明算子Q1:BR→BR是Lipschitz連續(xù)的.

對(duì)任意的t∈[0,t1]且u,v∈BR, 由式(5)和假設(shè)條件(H3), 有

‖(Q1u)(t)-(Q1v)(t)‖≤M‖g(u)-g(v)‖≤Mα*‖u-v‖PC.

(13)

對(duì)任意的t∈(ti,si](i=1,2,…,m)且u,v∈BR, 由式(5)和假設(shè)條件(H4), 有

‖(Q1u)(t)-(Q1v)(t)‖≤Kφi‖u(t)-v(t)‖≤MK‖u-v‖PC.

(14)

對(duì)任意的t∈(si,ti+1](i=1,2,…,m)且u,v∈BR, 由假設(shè)條件(H4), 有

‖(Q1u)(t)-(Q1v)(t)‖≤M‖φi(si,u(si))-φi(si,v(si))‖≤MK‖u-v‖PC.

(15)

由式(13)～(15), 有

‖Q1u-Q1v‖≤MK*‖u-v‖PC,

(16)

其中K*=max{K,α*}.

3) 證明Q2在BR上連續(xù).

(17)

因此, 當(dāng)n→∞時(shí), 有

(18)

對(duì)s∈[si,t]及t∈(si,ti+1](i=0,1,…,m), 由式(17),(18), 得

因此當(dāng)n→∞, 有‖Q2un-Q2u‖→0, 即Q2在BR上連續(xù).

4) 證明Q2:BR→BR等度連續(xù), 且對(duì)任意的u∈BR及si≤t1

其中

下面只需驗(yàn)證對(duì)任意的u∈BR, 當(dāng)t2→t1時(shí),I1,I2分別趨于0.由式(7), 有

對(duì)t1=si, 易見I2=0, 對(duì)t1>si且ε>0任意小, 由假設(shè)條件(H2)、T(t)的等度連續(xù)性及已知條件, 有

因此, 對(duì)任意的u∈BR,t∈I, 當(dāng)t2→t1時(shí), ‖(Q2u)(t2)-(Q2u)(t1)‖→0, 故Q2:BR→BR等度連續(xù).

5) 證明Q:BR→BR是嚴(yán)格集壓縮映像.

對(duì)有界集D?BR, 由引理6知, 存在可數(shù)子集D0={un}?D, 使得

α(Q2(D))≤2α(Q2(D0)).

(20)

因?yàn)镼2(D0)?Q2(BR)有界且等度連續(xù), 因此由引理4, 有

(21)

對(duì)任意的t∈[si,ti+1](i=0,1,…,m), 由引理5, 假設(shè)條件(H5)和式(3), 有

α(GD0(s))≤α(GD0)≤‖G‖α(D0)≤G*α(D0)≤G*α(D).

(23)

同理, 有

α(SD0(s))≤α(SD0)≤‖S‖α(D0)≤S*α(D0)≤S*α(D).

(24)

因此,

(25)

由式(20),(25), 得

(26)

由式(16)和引理7知, 對(duì)任意有界集D?BR, 有

α(Q1(D))≤MK*α(D).

(27)

因此, 由式(26),(27)得

(28)

結(jié)合式(28)和式(2)及定義3知,Q:BR→BR是嚴(yán)格集壓縮映像.因此由引理8知Q至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u∈PC(I,X), 即為問題(1)的溫和解.

3 應(yīng)用實(shí)例

考慮下列分?jǐn)?shù)階非瞬時(shí)脈沖微分方程非局部問題：

(29)

D(A)={u∈X:u,u′絕對(duì)連續(xù)且u″∈X,u(0)=u(1)=0}.

由文獻(xiàn)[25]知,A在X上生成等度連續(xù)的C0-半群T(t)(t≥0), 且對(duì)任意的t≥0, ‖T(t)‖≤1, 有

易證問題(29)滿足假設(shè)條件(H1)～(H5), 且

則

因此, 由定理1知問題(29)至少存在一個(gè)解.