弱冪等Quantale范疇與相關范疇的關系

劉 敏, 杜佳慧

(長安大學 理學院, 西安 710064)

Quantale概念的提出為研究非交換C*-代數提供了新的刻畫格式, 并為量子力學提供了新的數學模型[1-2]. Quantale理論也是理論計算機科學的數學基礎之一, 應用廣泛[3-6].

對不同類型的Quantale結構及其范疇之間關系的研究可促進Quantale理論的應用研究, 有助于研究基于Quantale建立的強化范疇之間的關系[7]. Quantale范疇與可換Quantale范疇、 右側Quantale范疇、 冪等Quantale范疇、 Locale范疇之間的關系是Quantale理論中經典結論, 文獻[8-9]進一步研究了Quantale范疇與左半可換Quantale范疇、 可除Quantale范疇之間的關系. 冪等Quantale是一類重要的Quantale, 如冪等Quantale在C*-代數的研究中具有重要作用[6], 文獻[10-11]將冪等Quantale理論應用到了非交換C*-代數中. 但冪等Quantale條件較苛刻, 許多具有廣泛應用的Quantale結構都不完全滿足冪等性的條件, 如t模中的Lukasiewicz三角模和Goguen(乘積)三角模等. 本文通過引入弱冪等Quantale的概念, 考慮如何刻畫Quantale的最大弱冪等商, 并進一步建立弱冪等Quantale范疇、 冪等Quantale范疇和Quantale范疇之間的關系.

1 預備知識

本文未注明的Quantale的一些基本概念可參見文獻[6,12].

定義1[1,6]設Q是完備格,&是Q上的二元運算, 且滿足：

1) ?a,b,c∈Q, (a&b)&c=a&(b&c);

則稱(Q,&)是Quantale, 簡稱Q是Quantale.

由Quantale的定義知, _&a和a&_是Q上的保并映射, 因此其均有右伴隨, 分別用a→l_和a→r_表示.于是a&c≤b?c≤a→rb?a≤c→lb.

設Q是Quantale,a∈Q, 1為Q中的最大元.若a&a=a, 則稱a是Q的冪等元.若Q中的每個元素都是冪等元, 則稱Q是冪等Quantale.若a&1≤a, 則稱a是Q的右側元.若Q中每個元素都是右側元, 則稱Q是右側Quantale.若1&a≤a, 則稱a是Q的左側元.若Q中每個元素都是左側元, 則稱Q是左側Quantale.若?b∈Q,b&b≤a?b≤a, 則稱a是半素元[6,13].

定義2[6,13]設P和Q是Quantale,f:P→Q是映射, 如果f保任意并和&運算, 則稱f是P和Q之間的Quantale同態; 如果Quantale同態f:P→Q是雙射, 則稱f是P和Q之間的Quantale同構, 此時也稱P和Q同構, 記作P?Q.

設Q是Quantale.若映射j:Q→Q是Q上的閉包算子, 且?a,b∈Q,j(a)&j(b)≤j(a&b), 則稱j是Q上的核映射.設S?Q, 如果存在Quantale核映射j, 使得S=Qj, 則稱S是Q的Quantale商.用N(Q)表示Q上核映射的全體.設j∈N(Q), 如果?a,b∈Q,j(a&a)=j(a), 則稱j是冪等的[6,13].

命題1[6,13]設Q是Quantale,S?Q, 則S是Q的Quantale商當且僅當S對于任意交封閉, 并且?a∈Q,s∈S, 有a→rs,a→ls∈S.

2 Quantale上的弱冪等核映射

下面引入弱冪等Quantale的概念, 并給出Quantale最大弱冪等商的刻畫.

定義3設Q是Quantale,a∈Q, 如果a&a≤a, 則稱a是Q的弱冪等元.如果Q中的每個元素都是弱冪等元, 則稱Q是弱冪等Quantale.

定義4[14]設Q是Quantale,a∈Q, 如果a≤a&a, 則稱a是Q的擬冪等元.如果Q中的每個元素都是擬冪等元, 則稱Q是擬冪等Quantale.

注11) 若Q為右側或左側Quantale, 則Q為弱冪等Quantale, 反之不成立;

2)Q為冪等Quantale當且僅當Q為弱冪等Quantale, 且Q為擬冪等Quantale.

例1設Q=[0,1], 則(Q,≤)是一個完備格, 其中≤為自然序.

1) 令&=×, 其中×是[0,1]上的普通乘法運算, 則(Q,&)是一個弱冪等Quantale, 但不是冪等Quantale.

2) 定義Q上的二元運算?為

則(Q,?)為弱冪等Quantale, 但不是冪等Quantale.

設Q是Quantale, 若Q中所有元素均為半素元, 則稱Q為半素的.

命題2設Q是Quantale, 則Q是冪等Quantale當且僅當Q是半素的弱冪等Quantale.

證明: 設a∈Q,Q為半素的弱冪等Quantale, 則a&a≤a.因為a&a∈Q,a&a≤a&a, 所以a≤a&a, 從而a=a&a, 因此Q為冪等Quantale.設a∈Q, 由Q為冪等Quantale可知a&a=a, 故Q為弱冪等的.設a,b∈Q,b&b≤a, 則b=b&b≤a, 故Q為半素的.證畢.

定義5設Q是Quantale,j∈N(Q).

1) 如果?a∈Q,j(a&a)≤j(a), 則稱j是Q上的弱冪等核映射;

2) 如果?a∈Q,j(a)≤j(a&a), 則稱j是Q上的擬冪等核映射.

注21) 令ji=∧{j∈N(Q)|j為冪等核映射}, 則ji為冪等核映射[13];

2) 令jwi=∧{j∈N(Q)|j為弱冪等核映射}, 則jwi為弱冪等核映射;

3) 令jpi=∧{j∈N(Q)|j為擬冪等核映射}, 則jpi為擬冪等核映射.

命題3設Q是Quantale,j為Q上的弱冪等核映射, 并且其為擬冪等核映射, 則j是Q上的冪等核映射.

推論1設Q是Quantale, 則:

1)ji=jwi∨jpi;

2)Qji=Qjwi∩Qjpi.

引理1設Q是Quantale,j∈N(Q), 則下列條件等價:

1)Qj是弱冪等的;

2)j是弱冪等的;

3)jwi≤j;

4)Qj?Qjwi.

證明: 1)?2).設Qj為弱冪等的, 則?a∈Q, 有

j(a&a)=j(j(a)&j(a))=j(a)&jj(a)≤j(a),

故j為弱冪等的.

2)?1).設j是弱冪等的, 則?a∈Qj, 有a&ja=j(a&a)≤j(a)=a, 故Qj是弱冪等的.

3)?2).設jwi≤j, 則j=j°jwi, 從而?a∈Q, 有

j(a&a)=j(jwi(a&a))≤j(jwi(a))=j(a),

故j為弱冪等的.

2)?3).由jwi的定義可得jwi≤j.

3)?4).易證.證畢.

引理2設Q是Quantale,j∈N(Q), 則下列條件等價:

1)Qj是擬冪等的;

2)j是擬冪等的;

3)jpi≤j;

4)Qj?Qjpi.

證明: 類似于引理1可證, 故略.

命題4[13]設Q是Quantale, 則?a∈Q, {bi}i∈I?Q, 有

令

定理1設Q是Quantale, 則WI(Q)是Q中最大弱冪等Quantale商.

2) 設a∈WI(Q),c∈Q.由WI(Q)的定義可知c→la是弱冪等的.則?b,d∈Q, 有b→l(c→la)=(b&c)→la, 所以b→l(c→la)是弱冪等的.又由定義可知b→r(c→la)為弱冪等的.因為a∈WI(Q),

d→r(b→l(c→la))=d→r((b&c)→la),

所以d→r((b→lc)→la)是弱冪等的.從而可知c→la∈WI(Q), 同理可證c→ra∈WI(Q).

由(1),(2)可知WI(Q)為Quantale商.

3) ?a,b∈WI(Q), 因為a&WI(Q)b=∧{s∈WI(Q)|a&b≤s}, 所以?a∈WI(Q), 由a&a≤a可知a&WI(Q)a≤a, 即WI(Q)為弱冪等Quantale.

4) 設jWI為WI(Q)所對應的核映射, 即WI(Q)=QjWI.由WI(Q)為弱冪等的可知jWI為弱冪等核映射, 故jwi≤jWI, 因此WI(Q)?Qjwi.反之, 設a∈Qjwi.則

a&a≤jwi(a&a)=jwi(jwi(a)&jwi(a))=jwi(a)&jwijwi(a)≤jwi(a)=a,

所以a為弱冪等的.因為Qjwi為Quantale商, 所以b→la,b→ra,c→r(b→la)∈Qjwi為弱冪等的.從而Qjwi?WI(Q), 因此WI(Q)=Qjwi.

綜上可知WI(Q)為Q上最大弱冪等Quantale商.證畢.

定理2設Q是Quantale, 則PI(Q)是Q中最大擬冪等Quantale商.

2) 類似于定理1中2)的證明可得?a∈PI(Q),c∈Q,c→la,c→ra∈PI(Q).

由1),2)可知PI(Q)為Quantale商.

3) 設a∈PI(Q),s∈PI(Q),a&a≤s, 則a≤s.因此a≤a&PI(Q)a=∧{s∈PI(Q)|a&a≤s}, 即PI(Q)為擬冪等Quantale.

4) 設jPI為PI(Q)所對應的核映射, 即PI(Q)=QjPI.由PI(Q)為擬冪等的可知jPI為擬冪等核映射, 故jpi≤jPI, 因此PI(Q)?Qjpi.反之, 設a∈Qjpi,b∈Q,b&b≤a.則b≤jpi(b)≤jpi(b&b)≤jpi(a)=a, 所以a為半素元.又因為Qjpi為Quantale商, 所以b→ra,b→la,c→r(b→la)∈Qjpi為半素元.從而Qjpi?PI(Q), 因此PI(Q)=Qjpi.

綜上可知PI(Q)是Q上最大擬冪等商.證畢.

3 弱冪等Quantale的范疇性質

下面分別用IQuant,WIQuant,PIQuant表示Quantale的以冪等Quantale、 弱冪等Quantale、 擬冪等Quantale為對象, 以Quantale同態為態射構成的范疇.

命題5[13]設f:Q→K是Quantale同態, 則?a∈Q,b∈K, 有f*(f(a)→rb)=a→rf*(b),f*(f(a)→lb)=a→lf*(b).

引理3WI: Quant→WIQuant為函子.

證明: 1) ?Q∈ob(Quant), 由定理1可知WI(Q)∈ob(WIQuant).

記f*:Q′→Q為f的右伴隨.

① 設b∈WI(Q′), 則

f*(b)&f*(b)≤f*(b) ?f(f*(b)&f*(b))≤b?f(f*(b))&f(f*(b))≤b.

因為f(f*(b))≤b, 所以f(f*(b))&f(f*(b))≤b&b≤b, 從而f*(b)&f*(b)≤f*(b).故f*(b)為Q上的弱冪等元, 即f*保弱冪等元.

② 設a∈WI(Q′),b∈Q.由a∈WI(Q′), 可知f(b)→la為弱冪等元.又因為f*保弱冪等元, 所以f*(f(b)→la)為弱冪等元.又因為

所以b→lf*(a)=f*(f(b)→la), 因此b→lf*(a)為弱冪等元.同理可證b→rf*(a)為弱冪等元.

③ 設a∈WI(Q′),b,c∈Q,t∈Q, 則

所以

c→r(b→lf*(a))=f*(f(c)→r(f(b)→la)).

因為f(c)→r(f(b)→la)為弱冪等元,f*保弱冪等元, 所以f*(f(c)→r(f(b)→la))為弱冪等元, 從而c→r(b→lf*(a))為弱冪等元.

由①～③可得f*(WI(Q′))?WI(Q).

設a∈WI(Q),a′∈WI(Q′), 則

設a,b∈WI(Q), 則

故

WI(f)(a&WI(Q)b)≤WI(f)(a)&WI(Q′)WI(f)(b),

從而

WI(f)(a)&WI(Q′)WI(f)(a)=WI(f)(a&WI(Q)b),

即WI(f)保&.因此WI(f)為Quantale同態.

3) 設1Q:Q→Q為Q上的恒等映射,a∈WI(Q), 則WI(1Q)(a)=jwi(1Q(a))=jwi(a)=a, 故WI(1Q)=1WI(Q), 即WI保單位.

由1)～4)可知WI為函子.證畢.

命題6[13]設j是QuantaleQ上的核映射, 則

j(a&b)=j(a&j(b))=j(j(a)&b)=j(j(a)&j(b)), ?a,b∈Q.

定理3WI: Quant→WIQuant為含入函子I: WIQuant→Quant的左伴隨.

設ai∈P,i∈I, 則

綜上可知WI為含入函子I的左伴隨.證畢.

引理4PI: Quant→PIQuant為函子, 且為含入函子I: PIQuant→Quant的左伴隨.

證明: 1) ?Q∈ob(Quant), 由定理2可得PI(Q)∈ob(PIQuant).

記f*:Q′→Q為f的右伴隨.

① 設a∈PI(Q′),b∈Q,b&b≤f*(a), 則

f(b&b)≤a?f(b)&f(b)≤a?f(b)≤a?b≤f*(a),

故f*保半素元.

② 若a∈PI(Q′),b∈Q, 設c∈Q,c&c≤b→lf*(a), 則

因此b→lf*(a)為半素元.同理可知b→rf*(a)為半素元.

③ 若a∈PI(Q′),b,c∈Q, 設d∈Q,d&d≤c→r(b→lf*(a)), 則

從而c→r(b→lf*(a))為半素元.

由①～③可知f*(PI(Q′))?PI(Q).進一步可證明PI(f)保并和&運算, 類似于引理3和定理3的證明, 可證明PI為函子, 且為含入函子I的左伴隨.證畢.

下面結合函子WI和PI進一步討論WIQuant與IQuant及PIQuant與IQuant之間的關系.

定理4P: WIQuant→IQuant為含入函子I: IQuant→WIQuant的左伴隨.

定理5W: PIQuant→IQuant為含入函子I: IQuant→PIQuant的左伴隨.

證明: 類似于定理4的證明可知W定義合理, 由引理4的證明可知W為I的左伴隨.證畢.

推論2IQuant是Quant的反射子范疇.

綜上, 本文證明了PIQuant,WIQuant是Quant的反射子范疇, IQuant是PIQuant,WIQuant的反射子范疇, IQuant是Quant的反射子范疇, 即有如圖1所示的伴隨序列.

圖1 與冪等Quantale相關幾個范疇之間的關系Fig.1 Relationship among several categories about idempotent quantale

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