一維線性化可壓縮Navier-Stokes方程組的近似能控性

杜潤(rùn)梅, 呂曉娜

(長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130012)

0 引 言

Navier-Stokes方程組是流體力學(xué)方程中描述黏性牛頓流體的方程. 一維的可壓縮等熵Navier-Stokes方程組為

其中ρ(x,t)表示流體的密度,v(x,t)表示流體的速度, 正數(shù)ν表示流體的黏性,f表示質(zhì)量源,g表示外力, 壓力p滿足p(ρ)=aργ,a>0,γ≥1.

目前, 關(guān)于可壓縮Navier-Stokes方程組的性質(zhì)研究已取得了很多成果[1-8].其中, 文獻(xiàn)[5-6]研究了線性化可壓縮Navier-Stokes方程組的一些可控性結(jié)果.本文考慮在常數(shù)穩(wěn)態(tài)(Q0,V0)附近線性化的Navier-Stokes方程, 其中Q0>0,V0>0.先考慮如下初邊值問(wèn)題：

其中Q0>0,V0>0, (x,t)∈QT=(0,L)×(0,T),ω=(0,x1), 0

1 線性化系統(tǒng)的近似能控性

類似于文獻(xiàn)[5]中定理2.3和文獻(xiàn)[6]中命題2.1, 由半群理論可得系統(tǒng)(1)-(4)的適定性:

命題1對(duì)任意(σ0,u0)∈L2(0,L)×L2(0,L), 系統(tǒng)(1)-(4)存在唯一弱解(σ,u)∈X, 滿足ut∈L2(0,T;H-1(0,L)), 其中

X=C([0,T];L2(0,L))×[L2(0,T;H01(0,L))∩C([0,T];L2(0,L))].

令Z=L2(0,L)×L2(0,L), 在Z上定義其內(nèi)積和范數(shù)分別為

在Z上, 方程組(1)-(4)的對(duì)偶問(wèn)題為

下面給出對(duì)偶問(wèn)題(9)-(12)的唯一延拓性:

(13)

則有

由定理1, 可得對(duì)偶問(wèn)題(5)-(8)的唯一延拓性:

由對(duì)偶問(wèn)題(5)-(8)的唯一延拓性, 可得(1)-(4)的近似能控性:

‖(σ(x,T),u(x,T))-(σd(x),ud(x))‖L2(0,L)×L2(0,L)≤ε.

2 定理1的證明

下面證明對(duì)偶問(wèn)題(9)-(12)的唯一延拓性.

定義1設(shè)曲面S?N是C1的, 且曲面S在點(diǎn)x處的法向量為ξ.如果Pm(x,ξ)=0, 則稱曲面S在點(diǎn)x處對(duì)于P(x,D)是特征的.如果曲面S在所有點(diǎn)處都是特征的, 則稱曲面S為P(x,D)的特征曲面.

1) 設(shè)在分布意義下,Θ∈D′(Ω2)滿足P(D)Θ=0且Θ(x)在Ω1上為0, 則Θ(x)在Ω2上也為0;

2) 每個(gè)與Ω2相交的P(D)的特征超平面一定與Ω1相交.

(14)

(15)

對(duì)式(15)中x求導(dǎo), 得

(16)

由式(14)～(16), 得

即

(17)

把式(10)代入式(17), 得

(18)

定義算子

(19)

引理2P(D)的特征超平面是t=C1和t+x/V0=C2, 其中C1和C2都是常數(shù).

證明: 假設(shè)Π={(x,t):ξx+ηt=C}是P(D)具有法向量(ξ,η)≠(0,0)的特征超平面.根據(jù)定義1, 可知

因此ξ=0或η=V0ξ.從而特征超平面Π的法向量是(0,1)和(1/V0,1).于是P(D)的特征超平面是t=C1和t+x/V0=C2.證畢.

下面證明定理1.

證畢.