Ding-投射模和粘合

張豫岡, 曹天涯

(1. 蘭州工業學院 基礎學科部, 蘭州 730050; 2. 西北師范大學 計算機科學與工程學院, 蘭州 730070)

文獻[1]給出了三角范疇粘合的公理化定義, 其提供了將三角范疇分解為兩個三角子范疇, 又將兩個三角子范疇粘合成一個三角范疇的構造方法. 目前, Abel范疇和三角范疇的粘合已成為數學研究的基本工具, 在奇異空間、 代數表示論、 環論、 多項式函子理論等領域具有重要作用. 文獻[2]給出了三角范疇穩定t-結構的概念, 三角范疇的粘合和穩定t-結構有密切的聯系; 文獻[3]提出了強Gorenstein-平坦模和Gorenstein FP-內射模的概念; 文獻[4]稱強Gorenstein-平坦模和Gorenstein FP-內射模分別為Ding-投射模和Ding-內射模, 同時利用Ding-模把Quillen模型結構下的同倫范疇從Gorenstein環推廣到Ding-Chen環上; 文獻[5-9]給出了關于Ding模以及粘合的相關結果. 本文在文獻[6]的基礎上繼續研究Ding-投射模上的相關同倫范疇, 并且構造粘合及相應的穩定t-結構.

1 預備知識

設R是具有單位元的環, 本文所涉及的模均為左R-模, 復形均為上鏈復形.

定義1[4]若存在一個正合序列

P·=…→P-1→P0→P1→P2→…,

定義2[1]設D, D′,D″是三角范疇, D允許有關于D′和D″的粘合, 記作

(1)

其是指式(1)中6個三角函子滿足下列條件:

1) (i*,i*),(i!,i!),(j!,j!)和(j*,j*)是伴隨對;

2)i*,j!,j*是滿嵌入函子;

3)j*i*=0;

4) 對D中的任意對象X, 可確定D中的兩個三角:

i*i!X→X→j*j!X→i*i!X[1],

j!j*X→X→i!i*X→j!j*X[1].

如果4個正合函子i*,i!,j*,j*滿足粘合定義中的相應條件, 則稱三角范疇D允許有關于三角范疇D′和D″的右的粘合.

類似地, 可定義左粘合.

定義3[2]設U和V是三角范疇D的全子范疇, 用[1]表示三角范疇中的平移函子.如果其滿足下列條件:

1) U=U[1], V=V [1];

2) 對于任意的X∈U,Y∈V, 均有HomD(X,Y)=0;

3) 對于D中的任意一個對象X, 存在三角A→X→B→A[1], 其中A∈U,B∈V.

則稱(U,V)是D上的穩定t-結構.

2 主要結果

對于*∈{∞,-,+}, 定義K*(DP)的三角子范疇如下:

K*,db(DP)∶={X∈K*(DP)|對任意D∈DP, 均存在-m,k∈,

使得Hi(HomR(D,X))=0,i<-m,i>k}.

顯然,Kb(DP),K-,db(DP),K+,db(DP)都是K∞,db(DP)的三角子范疇,Kb(DP)是K-,db(DP)和K+,db(DP)的三角子范疇.同理, 對于Ding-內射模的同倫范疇K*,db(DI), 可相應地定義三角子范疇Kb(DI),K-,db(DI),K+,db(DI).如果C是三角范疇D的三角子范疇并且關于直和項封閉, 則稱C是三角范疇D的一個厚子范疇.上面涉及的三角子范疇都是厚子范疇.

引理1[2,10]1) 設C是三角范疇D的一個厚子范疇, 若典范嵌入i*: C→D有一個右伴隨i!: D→C, 則存在下列右粘合:

2) 設(U,V)和(V,W)是D中的兩個穩定t-結構, 則對于典范嵌入i*: V→D, 存在如下粘合:

并且Imj!=U, Imj*=W.

定義4若對R上任意正合序列

其中每個Di(i≥0)都是Ding-投射模, 則有Kerdn∈DP, 此時稱環R具有性質(*).

引理2[6]設R是具有性質(*)的環, 則下列結論成立:

1) (K-,db(DP),Kdac(DP))是K∞,db(DP)中的一個穩定t-結構;

2) 典范嵌入i*:K-,db(DP)→K∞,db(DP)誘導出右粘合

引理3[2]設D是三角范疇, C是D的厚子范疇,q: D→D/C是商函子.則對于D中的穩定t-結構(U,V), 下列敘述等價:

1) (q(U),q(V ))是D/C中的穩定t-結構;

2) (U∩C,V∩C)是C中的穩定t-結構.

特別地, 假設C是U(或者V)的一個三角子范疇, 則V(或者U)可視為D/C的三角子范疇.此時, (U/C,V)(或者(U,V/C))是D/C中的穩定t-結構.

命題1設R是任意環, 則(K+,db(DP)/Kb(DP),K-,db(DP)/Kb(DP))構成了三角范疇K∞,db(DP)/Kb(DP)中的穩定t-結構.

證明: 首先, 有

HomK∞,db(DP)/Kb(DP)(K+,db(DP)/Kb(DP),K-,db(DP)/Kb(DP))=0,

對于任意X∈K∞,db(DP), 都有短正合序列

因為該序列是可裂的, 所以其誘導出了同倫范疇的三角：

顯然,X≥1∈K+,db(DP),X≤0∈K-,db(DP), 結論成立.

定理1設環R相對于DP具有性質(*), 則下列結論成立:

1) (K+,db(DP)/Kb(DP),K-,db(DP)/Kb(DP)),(K-,db(DP)/Kb(DP),Kdac(DP))是K∞,db(DP)/Kb(DP)中的穩定t-結構;

2) 典范嵌入i*:K-,db(DP)/Kb(DP)→K∞,db(DP)/Kb(DP)誘導出粘合

(2)

并且Imj!=K+,db(DP)/Kb(DP), Imj*=Kdac(DP).

證明: 由命題1知, (K+,db(DP)/Kb(DP),K-,db(DP)/Kb(DP))構成三角范疇K∞,db(DP)/Kb(DP)中的穩定t-結構.由引理2知, (K-,db(DP),Kdac(DP))是K∞,db(DP)中的穩定t-結構.因為Kb(DP)是K-,db(DP) 的三角子范疇, 所以由引理3知, (K-,db(DP)/Kb(DP),Kdac(DP))是K∞,db(DP)/Kb(DP)中的穩定t-結構.

由引理1中穩定t-結構和粘合的關系可得式(2)中的粘合, 并且易得Imj!=K+,db(DP)/Kb(DP),Imj*=Kdac(DP).

對偶地, 相對于Ding-內射模可得如下結論.

定義5若對R上任意正合序列

其中每個Di(i≤1)都是Ding-內射模, 則有Imd0∈DI, 此時稱環R具有性質(#).

命題2設環R具有性質(#), 則下列結論成立:

命題3設環R具有性質(#), 則下列結論成立:

2) 典范嵌入i*:K+,db(DI)/Kb(DI)→K∞,db(DI)/Kb(DI)誘導出粘合: