具有1/4對稱度量聯絡的Kenmotsu流形上的(0,2)型對稱平行張量場

潘 鵬

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

0 引 言

給定一個Riemann流形, 考慮關于Levi-Civita聯絡平行的對稱(0,2)型張量場, 顯然度量張量和度量張量的常數倍均關于Levi-Civita聯絡平行. 而關于除度量張量的常數倍外, 是否還有其他對稱的(0,2)型平行張量場的問題研究已取得一些成果: Eisenhart[4]首次證明了若Riemann流形(M,g)上存在非度量常數倍對稱的(0,2)型平行的張量場, 則M是可約的; Levy[5]證明空間型上的對稱(0,2)型平行張量場必為度量張量的常數倍. 關于仿射聯絡空間上對稱(或反對稱)的(0,2)型平行張量場的存在性和分類問題稱為Eisenhart問題. 目前, 該問題在復空間型、 近Kenmotsu流形和Para-contact流形上都取得了一定進展[6-10].

另一方面, 將Levi-Civita聯絡推廣為半對稱度量聯絡和1/4對稱度量聯絡, 考慮關于半對稱度量聯絡和1/4對稱度量聯絡類似的Eisenhart問題. 例如: Chaubey等[11-12]研究了Lorentz流形上關于半對稱度量聯絡平行的對稱(0,2)型張量場; De等[13]研究了Para-Sasakian流形上關于1/4對稱度量聯絡平行的對稱(0,2)型張量場, 并證明了該張量場必為度量張量的常數倍.而Kenmotsu流形作為非Para-Sasakian情形的一種近切觸度量流形, 其上的1/4對稱度量聯絡與Para-Sasakian流形上的1/4對稱度量聯絡有不同的定義與性質. 受上述研究啟發, 本文主要研究Kenmotsu流形上關于1/4對稱度量聯絡平行的對稱(0,2)型張量場的存在性問題.

設M2n+1為(2n+1)維光滑流形, 如果存在M2n+1上的(1,1)型光滑張量場φ、 1-形式η以及光滑切向量場ξ, 使得對?X∈X(M)都成立

φ2X=-X+η(X)ξ,

(1)

η(ξ)=1,

(2)

則稱M2n+1具有近切觸結構(φ,ξ,η), 附著有近切觸結構的光滑流形稱為近切觸流形[14], 記為(M2n+1,φ,ξ,η).進一步, 若近切觸流形(M2n+1,φ,ξ,η)上存在Riemann度量g, 使得對?X,Y∈X(M), 有

g(φX,φY)=g(X,Y)-η(X)η(Y),

(3)

則(M2n+1,φ,ξ,η)稱為近切觸度量流形[14], 記為(M2n+1,φ,ξ,η,g).

在近切觸度量流形(M2n+1,φ,ξ,η,g)上, 若對?X,Y∈X(M)滿足

(Xφ)Y=g(φX,Y)ξ-η(Y)φX,

(4)

則(M2n+1,φ,ξ,η,g)稱為Kenmotsu流形[15], 其中表示(M2n+1,g)的Levi-Civita聯絡.

設(M2n+1,φ,ξ,η,g)為Kenmotsu流形, 定義映射

(5)

φξ=0,

(6)

η(X)=g(X,ξ),

(7)

η°φ=0.

(8)

在式(3)中置X為φX, 并結合式(1),(7),(8)得

g(φX,Y)=-g(φY,X).

(9)

為方便表述, 本文簡稱如上定義的1/4對稱度量聯絡為φ-聯絡.

1 預備知識

設(M2n+1,φ,ξ,η,g)為(2n+1)維Kenmotsu流形, 約定:和表示Levi-Civita聯絡和φ-聯絡,R,S和分別表示關于和的Riemann曲率張量、 Ricci曲率張量.X,Y,Z,W為(M2n+1,φ,ξ,η,g)上任意的光滑切向量場.

引理1具有φ-聯絡的Kenmotsu流形(M2n+1,φ,ξ,η,g)上成立如下等式：

證明: 結合φ-聯絡的定義式(5)及曲率張量場的定義, 計算可知

根據文獻[15], Kenmotsu流形(M2n+1,φ,ξ,η,g)上成立dη=0, 將其代入式(10)即得結論.

引理2設(M2n+1,φ,ξ,η,g)為具有φ-聯絡的Kenmotsu流形,h為其上的對稱(0,2)型張量場.則h關于φ-聯絡平行與關于Levi-Civita聯絡平行一致的充要條件為: 對?X,Y∈X(M), 有h(φX,Y)=-h(φY,X).

證明: 充分性.對?X,Y,Z∈X(M), 有

于是, 由φ-聯絡的定義得

(11)

Xh(Y,Z)-h(XY,Z)-h(XZ,Y)=0.

必要性.由h關于φ-聯絡平行與關于Levi-Civita聯絡平行一致, 得

于是, 由式(11)知

η(X)(h(φY,Z)+h(Y,φZ))=0,

再結合式(2)可得結論.

2 主要結果

h(φX,Y)=-h(φY,X), ?X,Y∈X(M),

則h=λg, 其中λ=h(ξ,ξ)為常數.

(13)

利用引理1及式(4), 計算式(13)得

h=0.

與式(13)同理可得

h(R(X,Y)Z,W)+h(Z,R(X,Y)W)=0.

將式(14)化為

在式(15)中, 令W=ξ, 并結合式(2),(7),(8)得

在式(16)中, 置Z為φZ, 利用式(3),(8)計算得

η(X)g(Y,Z)h(ξ,ξ)-η(Y)g(X,Z)h(ξ,ξ)+η(Y)h(φZ,φX)-η(X)h(φZ,φY)=0.

(17)

在式(17)中, 令X=ξ, 由式(2),(3),(6),(7), 計算得

h(φY,φZ)=h(ξ,ξ)g(φY,φZ).

(18)

另一方面, 在h(φX,Y)=-h(φY,X)中置X為φX, 結合式(1)得

-h(X,Y)+η(X)h(ξ,Y)=-h(φY,φX),

(19)

同理, 置Y為φY得

h(φX,φY)=h(Y,X)-η(Y)h(ξ,X),

(20)

于是由式(19),(20), 并結合h是對稱的, 有

η(X)h(ξ,Y)=η(Y)h(ξ,X).

(21)

在式(21)中令Y=ξ, 由式(2)得

η(X)h(ξ,ξ)=h(ξ,X).

(22)

在式(18)中置Y為φY,Z為φZ, 并結合式(1),(2),(7),(21)計算得

h(Y,Z)=h(ξ,ξ)g(Y,Z).

(23)

由引理2和定理1易得：

若對Riemann流形(M,g)的Ricci曲率張量S有S=0, 則稱(M,g)是Ricci對稱的.結合與引理2, 有:

推論2設(M2n+1,φ,ξ,η,g)為具有φ-聯絡的Kenmotsu流形, 又是Ricci對稱的, 則(M2n+1,φ,ξ,η,g)為Einstein流形的充要條件為S滿足S(φX,Y)=-S(φY,X).