緊扣價值悟特性 抓住關系來抽象

陳素華　冷滿紅

什么是數學？簡單來說數學就是符號加邏輯。數學符號因其精確、嚴謹、可以參加運算等特征而具有自身的特殊性。如何引導學生經歷符號的抽象過程，知道符號表達的現實意義，能夠初步運用符號表示數量、關系和一般規律，感悟表達的結論具有一般性，并為過渡到代數式的運算、方程的教學等奠定基礎？本文以“用字母表示數”第一課時的教學為例進行探討。

一、在遵循歷史中梯度推進，體會抽象必要性

從數學的發展歷史來看，用字母表示數經歷了漫長而曲折的過程，大致可以分為三個階段：一是用算術算式表示數，二是用文字語句來表示數，三是用字母表示數。遵循這一歷史進程，學生要從用自然數等表示數量多少的數字符號表達走向用字母表示一般數量與關系的概念符號表達。為了實現這一目標，一方面，需要喚醒學生算術表達的經驗，在反復表達中引導學生反思，意識到算術表達的局限性；另一方面，需要讓學生通過歸納推理，用已知推斷未知，從而實現從具體走向一般。

為此，在引導學生用小棒擺三角形，并用算式表示所需要的小棒根數之后，教師可以引導學生思考：（1）你會用算式表示了嗎？你還能繼續寫這樣的算式嗎？寫得完嗎？（2）你寫的算式中，能否找到一個算式可以表示這里所有的情況？（3）觀察一下你寫的算式，什么變了，什么沒變？（4）你能用一句話來描述三角形的個數與小棒根數之間的關系嗎？這句話可以表示出這里所有的情況嗎？（5）如果讓你選，你會選擇這些算術算式還是這句話來表示剛才的情況，為什么呢？（6）剛才的算式真的寫不完嗎？你能不能想想辦法，用一個式子來表示所有的情況呢？（7）小棒的根數是用一個新的字母表示，還是用含有字母的式子表示更好呢？為什么？（8）這三種表達方式，如果讓你選，你會選哪種呢？為什么？

在書寫算術算式的活動中，學生一方面適應用一個算式表示結果（小棒的總根數），一方面積累一定數量的算式為后續經過歸納推理，抽象得出一般結論提供探究素材。對書寫過程的反思，促使學生意識到：這樣的算術算式有無數個，這些算術算式都有相同的結構，即都是用三角形的個數乘3；在這些算式中，任何一個單獨的算式都不能表示所有的情況?；顒又校粩嘧兓臄盗繛槌橄蟪捎米帜富蚝凶帜傅氖阶颖硎緮堤峁┝吮匾裕蛔兊臄盗筷P系為學生經歷由抽象走向一般的過程提供門徑。

這樣的教學過程，與數學史上有關符號抽象的發展歷程基本吻合，體現了知識的“再發現”過程。學生在梯度推進中感悟用字母表示數的概括性、簡潔性特點，體會到抽象的必要性與進行抽象的基本方法。

二、在變與不變中聚焦關系，感悟抽象關鍵點

從學生的數學現實來看，在本課之前，學生已具備用字母表示數的一些經驗。與舊知對比，本課學習的難點應是從用符號表示單個數量，走向用“字母式”表示相關數量與數量關系。要突破其中的難點，完成抽象過程，需要繼續引導學生學會抓住“關系”來表達。為此，可以設置如下教學環節。

結合線段圖出示：甲、乙兩地之間的公路長280千米，一輛汽車從甲地開往乙地。然后引導學生思考交流：（1）汽車可能在哪個位置？已行的路程是哪一段？未行的呢？（2）不管汽車在哪個位置，什么數量不會發生變化？（3）如果汽車已經行駛了50千米，剩下的路程是多少？你會用算式來表示嗎？如果已行了74.5千米呢？200千米呢？（4）在剛才所寫的算式中，什么變了，什么不變？這樣的算式寫得完嗎？（5）已行的路程有多少種情況，該怎么表示，用字母a表示可以嗎？用字母b表示可以嗎？（6）剩下的路程該怎么表示，用字母c來表示可以嗎？280-a與c相比，在表示剩下的路程上，有什么優勢呢？（7）在這個式子中，字母a表示的數量最小是多少？最大呢？

從線段圖的直觀感知——在變化之中尋找關系，奠定抽象的具象基礎；到用數字符號計算——在計算中體會關系，豐富抽象的運算經驗；到用概念符號來表達——在概括中書寫關系，用符號表達抽象結果。在這個教學過程中，教師始終圍繞著不變的數量關系來做文章，為學生從具象到抽象提供了思考問題的視角與思路，使其感悟抽象關鍵點，積累數學抽象的活動經驗。

三、在分層練習中逐步進階，提升抽象表達能力

抽象的主要對象是現實生活中的數量與數量關系、圖形與圖形關系，抽象形成了數學的研究對象，并用定義或符號加以表達。面對具體情境中的數量關系，學生能否正確運用符號進行表達，是學生抽象水平的外在表現。如果說前面的教學實現了對抽象特點的感悟與表達門徑的理解，那么接下來的練習環節則應帶領學生具體運用符號表示數量、關系和規律，從而形成表達的一般策略。

1. 基本練習——直面本課知識內核。

學生獨立完成后，展開師生交流：表格中什么在變，什么不變？問題引導直指本課教學的核心內容——抓住關系來表達，幫助學生形成基本技能。

2. 變式練習——構造矛盾，完善結構。

在練習中，教師適時引導學生思考：x米表示的是哪段路程？小麗家到學校的路程可不可以用x米或者含有x的式子來表示？如果知道小麗家到學校的路程比小軍家到學校的路程多300米呢？“800+x+y”表示的是從哪里到哪里的路程？一系列的追問，引領學生深度感悟用字母表示單獨數量與用字母式表示相關數量的不同，在辨析中提升符號表達的能力。

3. 拓展練習——變化關系，體會不同。

（1）出示：椅子的價格線段、桌子的價格線段。提問：這里椅子的價格是未知數，該怎么表示？桌子的價格呢？ （2）將桌子的價格線段均分為四等份，且每份和椅子的價格相等。接著引導思考：桌子的價格現在你還想用y來表示嗎？為什么？ （3）桌子的價格再增加20元。提問：現在還能用4x來表示嗎？該如何表示呢？（4）增加條件：一共470元。提問：你能用一個等式來表示這道題中的數量關系嗎？

四個問題，指向抽象的不同層次，從表示沒有關系的兩個數量，到有關系的數量表達，到最后用“方程”表示等量關系，在逐層進階中提升學生的抽象表達能力。

（作者單位：安徽省潛山市余井中心學校 江蘇省蘇州市相城第一實驗小學）