聚焦數量與數量關系的抽象，培養學生數感

熊淑君

數學為人們提供了一種認識與探究現實世界的觀察方式。“用數學的眼光觀察現實世界”是《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出的重要核心素養目標。義務教育階段數學眼光主要表現為：抽象能力（數感、量感、符號意識）、幾何直觀、空間觀念與創新意識。然而，通過課堂觀察我們發現，實際教學對于素養目標的達成還有很長一段路要走。

在人教版一上準備課“比多少”的教學中，學生通過情境中每只兔子搬一塊磚，4只兔子與4塊磚，一一對應認識同樣多。隨后教師問：“每只兔子吃1根蘿卜，4只兔子吃4根蘿卜，夠嗎？”某學生非常肯定地說：“不夠！兔子那么大，蘿卜那么小，肯定吃不飽！”

上述現象的發生歸根結底是教師沒有很好地引導學生經歷數量與數量關系的抽象過程建構數感。數感的形成與發展需要依托具體的數學內容，立足數學本質是培養學生數感的重要基礎。通過對上述教育現象的觀察與分析，引發筆者對聚焦數量與數量關系的抽象，培養學生數感的幾點思考。

一、于真實情境中發現數量

數感主要是指對于數與數量、數量關系及運算結果的直接感悟。數感的形成是建立在學生充分經歷數量與數量關系的抽象過程，達成對數量與數量關系的理解與感悟基礎上的。教學中教師須創設蘊含豐富數學信息的真實情境，為培養學生數感提供物質基礎。在引導學生于真實情境發現數量的過程中，逐步形成和發展學生數感，幫助他們積累數學抽象的經驗基礎。

如“比多少”一課，首先引導學生發現教學情境中不同物體的數量：小白兔的只數、蘿卜的根數、小熊的只數、木頭的根數等等。這個過程中，學生剝離真實物體依賴的情境，以及物體本身的顏色、大小等物理屬性，僅保留數量這一研究對象。學生一般通過點數的方式獲取數量信息。通過點數學生明白獲取數量信息就是不重復、不遺漏地數出物體的總個數，總個數的多少與點數的順序無關。教學中常常通過問題“請你用數學的眼光觀察情境中各種物體的數量分別是多少”或“你能發現哪些數學信息”引導學生“數學地”觀察，發現情境中有用的數學信息，為進一步抽象出探究對象作準備。

二、引導學生經歷數學抽象的全過程

學生從已有經驗出發經歷數學抽象的全過程，形成新的數學認知是數學學習的一般歷程。數學是研究千變萬化中不變的規律，故從變與不變的視角引導學生由表及里、由此及彼地對現象或規律進行去偽存真、去粗取精。這個認知過程就像“剝洋蔥”，一層層剝掉數學對象的“外衣”，一步步逼近數學本質。

“比多少”的教學，學生先在情境中抽象出數量，而后用一一對應的方法比較多少。教師引導學生比較4只兔子與4塊磚，1只兔子對應1塊磚，沒有多余的兔子也沒有多余的磚，兩者的數量就同樣多。變換情境，將小白兔變成小灰兔或小黑兔，把磚變更大或者更小，引導學生體會其中的變與不變，抓住不變的數量關系，認識一一對應與同樣多，建立起4只與4塊同樣多的數量關系。在此基礎上用一一對應的方法比較5支鉛筆與5個文具盒、3個小朋友和3個書包等同樣多的情況。啟發學生思考：這些物體不同、物體的個數也不同，為什么都是同樣多呢？引導學生觀察幾組同樣多的共性，從而明白只要兩種物體一個對應一個沒有剩余，它們的數量就同樣多，跟物體是什么、有多少沒有關系。學生厘清了比較數量多少的本質是個數之間的一一對應，就不會出現“4只兔子吃4根蘿卜吃不飽”的現象。如此，初步建立起兩個數量之間的一一對應和同樣多的關系，為以后建立加法模型和乘法模型，學習“總量=分量+分量”等數量關系埋下伏筆。

在感受數量之間一一對應關系的基礎上，用類似的學法引導學生理解與感悟數量之間的多少關系。借助小熊搬木頭的情境，比較3只小熊與4根木頭的多少。引導學生觀察1只小熊對應1根木頭，小熊沒有多余而有多余的木頭，木頭的根數就比小熊的只數多，小熊的只數比木頭的根數少。初步建立起3只與4根之間的多少關系。接著讓學生選擇圖中物體數量用一一對應的方法進行比較。如比較小熊的只數（3只）與凳子的個數（4個），小熊的只數（3只）與花的朵數（5朵）等。引導學生觀察發現，幾次比較多少的相同點，以及比較中確定兩個物體的數量誰多誰少的方法。通過找相同的思維活動學生明白，比較數量的多少都用一一對應的方法，一一對應之后有剩余的數量比較多，沒有剩余的數量比較少。從而建立起數量之間的大小關系，為后續學習數量之間的不等關系奠定基礎。

“比多少”一課揭示了小學階段三種主要數量關系：數量之間的對應關系、數量之間的相等關系和數量之間的大小關系。數感的核心成分是對數量關系的感悟與理解，故本課是培養學生數感的啟蒙課。從上面的教學可以看出，認識數量關系的過程是一個從特殊到一般的、環環相扣、層層遞進的抽象過程。基于數學對象，先從一組學習材料著手，摒棄其非本質屬性，得到具體的數量關系，實現第一次抽象。接著選擇多組類似學習材料，比較辨析它們的共性，抽象概括出一般性、普適性的數量關系，揭示數量關系本質的同時幫助學生形成初步的數感。

三、實踐運用中升華數感

數感的形成與發展是一個持續的、循序漸進的過程。“比多少”一課中學生習得的三種數量關系也需要在解決問題的應用中鞏固和內化。如解決教材第8頁第4題，比較黃珠子和紅珠子誰的數量較多。學生通過黃珠子與紅珠子一一對應的不同表征：圈一圈、連一連、畫一畫、數一數等，深刻領會一一對應的本質是數量上的一個對應一個。在此基礎上教師追問：怎樣把黃珠子與紅珠子的顆數變得同樣多？怎樣把紅珠子的顆數變得比黃珠子多？使黃珠子與紅珠子變得同樣多有增加紅珠子或者減少黃珠子兩條路徑，每條路徑的方案都是豐富多樣的——可以增加1顆紅珠子，增加2顆紅珠子和1顆黃珠子；減少1顆黃珠子，減少2顆黃珠子和1顆紅珠子……引導學生觀察、比較，發現其中增減變化的規律：只要紅珠子比黃珠子多增加1顆或者黃珠子比紅珠子多減少1顆，它們就始終保持同樣多的關系。同理，可以找到把紅珠子顆數變得比黃珠子多的多樣化策略，只是這個策略更為開放，因為紅珠子顆數可以比黃珠子多1顆，也可以多2顆、3顆……這樣開放性地解決問題，通過數量動態變化引起數量關系之間的轉換，學生深刻體會到數量對于數量關系的重要性，厘清了數量之間對應、相等及多少的相互轉換關系。升華了學生對數量與數量關系的理解與感悟，數感也在這個過程中自然生長、拔節。學生在問題解決過程中，積累了豐富的觀察、比較、分析、歸納、概括等思維活動經驗，形成了初步的抽象意識，為抽象能力的形成奠定了基礎。

（作者單位：重慶市長壽區教師發展中心 本專輯責任編輯：王彬）