巧建坐標系探討高考數學題中空間角的求解技巧

石巧　陳國華

摘要：本文通過對歷年高考題中關于立體幾何題中直線與直線所成角、直線與平面所成角以及平面與平面所成角問題的分析與解答，學生能熟練運用建立空間直角坐標系來求解空間角.

關鍵詞：空間直角坐標系;空間角;高考數學題

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）19-0082-03

1 求異面直線所形成的角

在求異面直線所成角θ時（θ∈0°，90°），首先建立空間直角坐標系，然后求出兩直線的方向向量，最后代入公式求出余弦值，因為θ為銳角，所以選正值即可.

例1（2015年全國Ⅰ卷理科第18題）如圖1，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E， F是平面ABCD同一側的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.求直線AE與直線CF所成角的余弦值.

2 求直線與平面所成的角

3 求平面與平面所成角即二面角

求二面角時先建立空間直角坐標系，再求出題目里需要用到的點的坐標，進而求得兩個所求平面的法向量，最后利用公式求出二面角的余弦值.

小結建立空間直角坐標系求解二面角時要將二面角的大小轉化成兩個半平面的法向量的夾角.如果兩個半平面的法向量所指的方向當中，一個指向了二面角的外部，另一個指向二面角的內部，那么法向量的夾角等于二面角的平面角.如果兩個半平面的法向量所指的方向均指向二面角的內部或者外部，那么法向量的夾角等于二面角的平面角的補角，最重要的是，用平面的法向量求解二面角的大小時要先確定兩個半平面的法向量，然后再根據法向量的方向確定二面角的大小.

本文通過對空間角常考的三個方面進行了分析，主要介紹了如何建立空間直角坐標系來求解這些問題，以及求解這類問題時的一般步驟和求解技巧.探討了高考題中這類問題應該如何思考，在建立空間直角坐標系時三維坐標應該如何選取才能使計算得到最簡單化，計算出來的結果應該注意哪些方面尤其是二面角，要注意觀察.

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[責任編輯：李璟]