由一道模擬題引發的探索與反思

陸琴花

[摘 要]解題教學是初中數學課堂教學的重點，教師若能結合班情、學情，篩選出具有典型意義的試題進行解題教學，將有利于培養學生的類比思維，并提高學生的解題能力。

[關鍵詞]模擬題;反思;圖形翻折

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）14-0007-03

基于數學學科核心素養的培養要求，近年的中考數學出現了不少創新試題。筆者結合教學實踐，以具有較高研究價值的幾何圖形試題為載體，引導學生探索，從而使其發現題目的內在聯系，掌握解題思路，提升解題能力。

一、題目呈現

如圖1所示，在△[ABC]中，已知[∠ABC=90]°，且[AB=6]，[BC=8]，點[M]，[N]分別在邊[AB]，[BC]上，沿著直線[MN]把△[ABC]折疊，點[B]落在點[P]處，如果[AP]∥[BC]，且[AP=4]，那么[BN=]? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

先來看看常見的解題步驟。如圖2，連接[BP]交[MN]于[H]，可知[BP]被[MN]垂直平分，得[BP=213]，[BH=PH=13]。又[∠BNH=∠ABP]， [sin∠BNH=sin∠ABP=APBP=4213=21313]，在[Rt△BHN]中[BN=BHsin∠BNH=132]。

二、解法探索

這道題對大多數學生來說有一定的難度，這種難度不敢說可以難倒一大片，但會讓相當一部分學生丟分。這道題旨在考查學生的邏輯思維能力和空間想象能力，且在解題過程中對數學思維有一定的要求。下面我們分析解題思路的形成過程。如果把△[ABC]沿直線[MN]折疊，點[B]落在點[P]處，那么很顯然[MN]垂直平分[BP]，欲在[Rt]△[BHN]中求[BN]的長，只需知道[sin∠BNH]即可。又因為[∠BNH=∠ABP]，所以[sin∠BNH=sin∠ABP]，得[BN=132]。當然也可以用△[BNH]∽△[PBA]對應邊成比例[BNPB=BHAP]得到[BN]的長。

解法1：如圖3，由[AP]平行且等于[12][BC]，再利用三角形中位線的性質及直角三角形斜邊中線的性質，延長[CP]，[BA]交于點[K]，連接[BP]交[MN]于[H]，易得[CK=413]。又因為[∠PBN=∠BCP]，所以[cos∠PBN=cos∠BCP]，得[BN=132]。

解法2：如圖4，把△[ABC]沿直線[MN]折疊，得出[BN=PN]和[∠PBN=∠BPN]，由[AP]∥[BC]得[∠PBN=∠APB]，所以[∠BPN=∠APB]，再利用角平分線性質定理，過[B]點作[BE⊥PN]，垂足為[E]，易得[EP=AP=4]，[BE=AB=6]。根據勾股定理及方程思想設[BN=x]，就能列出方程[62+x-42=x2]，解得[x=132]，即[BN=132]。

解法3：如圖5，把[△ABC]沿直線[MN]折疊得出[BN=PN]，將求[BN]的長轉化為求[PN]的長，這樣就可以利用直角三角形的勾股定理求解。過[N]作[NF⊥AP]，垂足為[F]，易得[AF=BN]，[NF=AB=6]，設[BN=x]，則[PN=x]，[PF=x-4]，由此可列出方程[62+x-42=x2]，解得[x=132]，即[BN=132]。

解法4：把△[ABC]沿直線[MN]折疊，得出[∠MPN=∠B=90°]，構造三角形，同解法3添加輔助線，過點[N]作[NF⊥AP]，垂足為[F]，得出[△MAP∽△PFN]，于是[PNPM=NFAP]，易得[PM=133]，[NF=6]，得[BN=132]。

在圖形運動類問題中，圖形翻折及其性質屬于高頻考點。從上述4種解法可以看出，根據已知條件，通過聯想和類比能找到不同的解題思路。不管解題思路如何多元化，但是萬變不離其宗，都離不開圖形翻折的性質，即所得對應線段和對應角，其對應點連線被對稱軸平分。由此看來，這一類題的實質是幾何計算中求線段長度問題。

三、例題設計

以翻折為背景的中考題并不少見，“圖形變換置于三角形或四邊形”為常見命題形式，目的是考查翻折性質、全等三角形性質、勾股定理、相似三角形性質等，主要考查學生的觀察能力和分析能力。教師在教學中應突出活動探究環節，既要讓學生搞清楚圖形翻折的本質，又要讓學生理解數形之間的轉化，這才是增強學生解題能力的關鍵點。

（一）例題設計，看清圖形翻折本質

圖形翻折的本質有三點：①相互重合的點以折痕為對稱軸，連接兩重合點的線段被折痕垂直平分;②相互重合的線段是以折痕為對稱軸的對稱線段;③相互重合的部分是全等的，也是以折痕為對稱軸的。針對這三點，九年級數學復習可以進行有針對性的拓展訓練。

[例1]菱形[ABCD]的邊長是1，且[∠B=45°]，[AE]為[BC]邊上的高，現在把[△ABE]沿[AE]翻折，請根據以上所給條件畫圖。

這種逆向思維的出題方式，別具一格。這雖說是傳統意義上的一題多解，但它又不同于以往。教師應圍繞圖形翻折的本質進行教學，以此為核心和目標，使學生充分體會數學解題萬變不離其宗。通過這種訓練，不僅能開闊學生的視野，提高學生的創新能力，還能激發學生的學習興趣，改變學生的學習方式。

（二）數形結合，理解數形之間的轉化

在復習教學中，要抓住翻折題型的數形轉化，并且要指導學生以此為學習突破口，這其中的重點在于“數”和“形”。比如說軸對稱、全等、相似形等都是“翻折”中“形”的變化;而線段之間、角與角之間的數量關系則是“翻折”中“數”的變化，這其中的種種聯系，就是“翻折”中的“數形轉化”。針對這一點，筆者結合班情、學情設計例題。

[例2]矩形[ABCD]的邊[AB=1]，[AD=2]，把矩形[ABCD]折疊，讓折痕過點[B]，且與邊[AD]交于點[M]，點[A]翻折到點[E]，直線[ME]與邊[BC]交于點[P]。（1）當點[M]和點[D]重合，請求出[PC]的長;（2）在求[PC]長度時，發現[MP=BP]，隨著折痕移動，這兩線段之間的關系有什么變化？（3）假設[AM=x]，[PC=y]，請寫出[x]與[y]的函數關系式，并給出定義域。

數形轉化是翻折題型的“不變核心”，通過前面例子的一題多解，我們不難找到“數”與“形”之間的變化和聯系。值得注意的是，探索一題多解是一個具有趣味性的過程，教法不應死板，教師應該結合基本學情而設定，要以“趣”為引，“激情” 導入，使學生在愉快的氛圍中養成“勤思考，多動腦”和“勤鍛煉，多動手”的良好學習習慣。

學生通過翻折題型的歸納總結，進一步了解了折痕對稱軸，明確了線段相等重合，知道了什么是角相等重合、什么是三角形全等重合。通過線段的數量關系，利用勾股定理和銳角三角形比例方程及相似比等，完成數形轉化，進行問題求解。

四、教學反思

不可否認，“一題多解”是數學學科的奇妙所在，尤其體現在幾何教學的過程當中。在一般情況下，通過一題多解，學生獲得的不僅僅是“多元化”數學思維，更多的是學習興趣及個人“滿足感”的獲得。從現實角度來看，當“知識”和“興趣”只能選擇某一方時，我們以情感需求為出發點，通常會不自覺地傾向于“興趣”。由此得出教學反思：相較于知識與能力的獲得，學生更傾向于情感態度與價值觀的獲取。

[例3]把[A4]紙張[ABCD]，按照圖6所示，依照順序折疊，使點[A]、點[C]恰好落在對角線[BD]上，得到菱形[BEDF]，若[BC=6]，那么[AB]的長是多少？

在此例教學中，教師若想嘗試用“一題多解”的教法，就得多層面、多角度、多維度地提出設想。但是，“一題多解”應建立在“因材施教”的基礎之上，這是要符合學生的基本學情的。一題多解的方法雖好，但并不代表一道題必須變著花樣地給出多種解答方法才算好。如果片面地追求“唯多是好”，則很容易弄巧成拙，違背教學規律和基本學情，使學生喪失學習的興趣。

解題時，可設[DC=x]，通過題意得知[BD=2DC=2x]，在直角三角形[BDC]中，[2x2-x2=62]，解得[x=23]。

由此得出結論，“一題多解”的核心不應該脫離本質，就像例3，不能脫離“圖形的折疊及性質”這個本質，教師必須讓學生知道它的考點在哪里、難點在哪里，然后根據考點和難點，系統復習勾股定理和二次根式的化簡等知識，繼而把代數與幾何融合學精學透。若有條件，且基本學情允許，教師可以引導學生嘗試一題多解。

總之，要使學生通過“多解”的過程，獲得思維創造上的快樂、個人滿足感以及強烈的數學自信心，以此調動學生學習數學的積極性，使學生在愉悅的學習環境中有效學習。

把一道題研究“精”、研究“透”，這可不是一件容易的事，而教學生把一道題研究“精”、研究“透”，更不是一件容易的事。教師在教學中應注重“授人以漁”而不是只在表面下功夫，對于一個數學問題，要教會學生根據“已知條件”不斷“探索研究未知”，即通過發散思維善于聯系、善于多角度地深入思考，以此獲得多種不同的解決途徑，同時也要提倡自主學習，要讓學生進行“我的發言”。要在喚醒學生學習興趣的同時，有效揭示知識“遷移”和“產生”的過程，繼而引人入勝，使學生大膽嘗試，這樣才能使學生暴露自己的思維過程，讓教師明白學生的見解，進而使教師更加了解學情，進一步給出具有針對性、有效性的建議和指導。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

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（責任編輯 黃桂堅）