用兩點間的距離公式解題的研究

王艷

[摘 要]兩點間的距離公式是重要的數學解題工具，特別是當兩點所在直線平行[y]軸時，該公式會變得更簡潔，運用該公式能解決很多數學題目。

[關鍵詞]兩點間的距離公式;解題;研究

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）14-0010-03

在考題中，經常遇到平行[y]軸的直線上的兩點之間的距離計算問題，利用兩點間的距離公式可計算線段的最值、圖形面積的最值、點的坐標等。下面就結合一道考題談談兩點間的距離公式的具體運用。

一、題目呈現

2022年北京冬奧會即將召開，激起了人們對冰雪運動的極大熱情。如圖1是某跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為[x]軸，過跳臺終點[A]作水平線的垂線為[y]軸，建立平面直角坐標系，圖中的拋物線[C1]：[y=-112x2+76x+1]近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運動員從點[O]正上方4米處的[A]點滑出，滑出后沿一段拋物線[C2]：[y=-18x2+bx+c]運動。

（1）當運動員運動到離[A]處的水平距離為4米時，離水平線的高度為8米，求拋物線[C2]的函數解析式（不要求寫出自變量[x]的取值范圍）;

（2）在（1）的條件下，當運動員運動的水平距離為多少米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米？

（3）當運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過3米時，求[b]的取值范圍。

二、題目分析

考題以2022年北京冬奧會為問題背景，以二次函數為知識基礎，以解析式的確定、豎直距離、不等式為問題解決的主渠道，以待定系數法、兩點間的距離公式、不等式思想、數形結合思想為主要解題思路，體現“數學源于生活，同時服務生活”，實現學數學、用數學的雙向融合。

三、解法探究

（1）∵拋物線[C2]：[y=-18x2+bx+c]過點（0，4）和（4，8），∴[c=4，-18×42+4b+c=8，]解得：[c=4，b=32，]

∴拋物線[C2]的函數解析式為[y=-18x2+32x+4]。

（2）設當運動水平距離是m米時，運動員與小山坡的豎直距離是1米，設豎直直線與[C1]：[y=-112x2+76x+1]交于點[B]，與[C2]：[y=-18x2+32x+4]交于點[A]，根據題意，得[Am，-18m2+32m+4]，[Bm，-112m2+76m+1]，∵[AB∥y]軸，∴[AB=yA-yB=-18m2+32m+4--112m2+76m+1=1]，整理得[m2-8m-48=0]，∴[（m-12）（m+4）=0]，解得[m1=12]，[m2=-4]（舍去）。

∴當運動水平距離是12米時，運動員與小山坡的豎直距離是1米。

（3）∵[C1]：[y=-112x2+76x+1=-112（x-7）2+6112]，∴運動員水平運動7米時到達坡頂，此時[y1=6112]。根據題意得[y2=-18×72+7b+4]，∵運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過3米，∴[y2-y1>3]，∴[-18×72+7b+4-6112>3]，解得[b>3524]。

四、思考

透過考題，我們得到如下啟示：

第一，數學學習夯實基礎是關鍵，如這里的待定系數法，是一種基本方法，解方程組是方法的核心。若是基礎不牢，連方程組都不能正確解答，后面的問題就難以解決。

第二，抓住問題的關鍵。解答時，充分利用函數的解析式，用好“橫坐標相同”這一特殊條件，表示點的縱坐標，利用豎直距離等于兩點縱坐標差的絕對值建立不等式，也體現了轉化思想。

第三，用活各種數學思想是解題的靈魂和指南。

五、變式應用

（一）反比例函數中，求三角形面積的最小值

[例1]如圖2，直線[y=-x+m]與雙曲線[y=-2x]相交于[A]，[B]兩點，[BC∥x]軸，[AC∥y]軸，則[△ABC]面積的最小值為? ? ? ? ? ? 。

解：設[A（x1， y1）]，[B（x2， y2）]，則點[C（x1， y2）]，[BC=x2-x1]，[AC=y1-y2]，∵直線[y=-x+m]與雙曲線[y=-2x]相交于[A]，[B]兩點，[BC∥x]軸，[AC∥y]軸，∴點[C（x1， y2）]，[BC=x2-x1]，[AC=y1-y2=x2-x1]，∴[S△ABC=12AC·BC=12（x2-x1）2=12（x2+x1）2-4x2x1]。根據題意，[x1]，[x2]是方程[-2x=-x+m] 的兩個根，∴[x1]，[x2]是方程[x2-mx-2=0]的兩根，∴[x1+x2=m]，[x1x2=-2]，∴[S△ABC=12m2+4]，∴當[m=0]時，[S△ABC]有最小值，且為4，故答案為4。

（二）當線段最長時，求線段和的最小值

[例2]如圖3，拋物線[y=-12x2+bx+c]與[x]軸交于[A]、[B]兩點，與[y]軸交于點[C]，直線[y=-12x+2]過[B]、[C]兩點，連接[AC]。

（1）求拋物線的解析式;

（2）求證：[△AOC∽△ACB];

（3）點[M（3， 2）]是拋物線上的一點，點[D]為拋物線上位于直線[BC]上方的一點，過點[D]作[DE⊥x]軸交直線[BC]于點[E]，點[P]為拋物線對稱軸上一動點，當線段[DE]的長度最大時，求[PD+PM]的最小值。

解：（1）∵直線[y=-12x+2]過[B]、[C]兩點，∴[B（4， 0）]，[C（0， 2）]，根據題意得[-8+4b+c=0，c=2，]解得[b=32，c=2，]∴拋物線的解析式為[y=-12x2+32x+2];

（2）∵二次函數[y=-12x2+32x+2]與[x]軸交于點[A]，∴[-12x2+32x+2=0]，解得[x1=4]，[x2=-1]，∴點[A（-1， 0）]，∴[AO=1]，[AB=4-（-1）=5]，

在[Rt△AOC]中，[AO=1]，[OC=2]，∴[AC=5]，∴[AOAC=ACAB=55]，又∵[∠OAC=∠CAB]，∴[△AOC∽] [△ACB];

（3）設點[D]的坐標為[m，-12m2+32m+2]，此時點[E]的坐標為[m，-12m+2]，

∴[DE=-12m2+32m+2--12m+2=-12m2+2m]，∵[-12<0]，∴當[m=2]時，線段[DE]取最大值，∴點[D（2， 3）]，∵[C（0， 2）]，[M（3， 2）]，∴點[C]和點[M]關于對稱軸對稱，連接[CD]交對稱軸于點[P]，此時點[P]即為[PD+PM]最小的位置，連接[CM]，設與直線[DE]的交為點[F]，∴[∠DFC=90°]，∴點[F（2， 2）]，∴[DF=3-2=1]，[CF=2-0=2]，∴[CD=CF2+DF2=5]，∴[PD+PM]的最小值為[5]。

（三）當三角形的面積最大時，求倍數線段和的最小值

[例3]已知拋物線[C1]：[y=ax2]的圖像如圖4。[A0， 14]，直線[l]：[y=-14]，點[B]為拋物線上的任意一點且滿足點[B]到點[A]的距離與點[B]到直線[l]的距離始終相等。

（1）直接寫出：[a]的值? ? ? ? ? ? ?;

（2）如圖5，若直線[l2]：[y=mx+14m>0]交拋物線于[D]、[E]兩點（點[D]在點[E]的右邊），交[x]軸于點[F]，過點[E]作[EM⊥l]于點[M]，過點[D]作[DN⊥l]于[N]，點[H]為[MN]的中點，若點[H]到直線[l2]的距離為[7]，求[m]的值;

（3）如圖6，將拋物線[C1]向右平移2個單位，向下平移1個單位得到拋物線[C2]，[C2]交[x]軸于[A]、[B]兩點，交[y]軸于點[C]，點[P]為直線[BC]下方拋物線上一點，點[Q]為[y]軸上一點，當[△PBC]的面積最大時，求[2PQ+CQ]的最小值。

分析：（1）根據點[B]到點[A]的距離與點[B]到直線[l]的距離始終相等，判定點[B]的坐標為[12，14]或[-12，14]，代入解析式求解;（2）構造全等三角形，利用勾股定理和根與系數關系定理計算;（3）在[y]軸左側作[∠OCR=30°]交[x]軸于點[R]，過點[Q]作[QT⊥CR]于點T，則[PQ+12CQ=PQ+QT≥PT]，當[P]、[Q]、[T]三點共線時[PQ+12CQ]取得最小值，求出最小值。

解：（1）如圖4所示，∵點[A]到直線[l]的距離為[14--14=12]，點[B]到點[A]的距離與點[B]到直線[l]的距離始終相等，∴點[B]的坐標為[12，14]或[-12，14]，∴[14=a×122]，解得[a=1]，故答案為1;

（2）如圖7，連接[EH]并延長交[DN]延長線于點[G]，連接[AH]，[DH]，∵[∠EMH=∠GNH=90°]，[∠EHM=∠GHN]，[MH=NH]，∴[△EMH≌△GNH]， ∴[EH=GH]，[EM=GN]，∵[EA=EM]，[DA=DN]，∴[ED=EA+DA=EM+DN=DG]，∴[∠EDH=∠GDH]，[DH⊥EG]，∴[△ADH≌△NDH（SAS）]，∴[∠HAD=∠HND=90°]，∴[AH=7]，

根據題意得[y=x2，y=mx+14，]∴[x2-mx-14=0]，∴[xE+xD=m]，[xE?xD=-14];

∵[H]為[MN]的中點，∴[Hm2，-14]，∴[m22+122=72]，∵[m>0]，∴[m=33];

（3）∵拋物線[C1]向右平移2個單位，向下平移1個單位得到拋物線[C2]，∴[C2]的解析式為[y=（x-2）2-1]，即[y=x2-4x+3]，令[y=0]，得[（x-2）2-1=0]，解得[x1=1]，[x2=3]，∴[A（1， 0）]，[B（3， 0）]，令[x=0]，得[y=3]，∴[C（0， 3）]，

設直線[BC]的解析式為[y=kx+3]，∴[3k+3=0]，即[k=-1]，∴直線[BC]的解析式為[y= -x+3]，

如圖8，連接[PB]，[PC]，作直線[BC]，過點[P]作[PW⊥x]軸，交直線[BC]于點[W]，設點[P]的橫坐標為[x]，則[P（x， x2-4x+3）]，[W（x，-x+3）]，∴[WP=-x+3-（x2-4x+3）=-x2+3x]，[∴S△PBC=12WP·xB-xC=12（-x2+3x）×3=-32x2+92x=-32x-322+278]，

∴當[x=32]時，[S△PBC]最大，此時點[P32，-34]，

在[y]軸左側作[∠COR=30°]交[x]軸于點[R]，過點[Q]作[QT⊥CR]于點[T]，[QT=12CQ]，則[PQ+12CQ=PQ+QT≥PT]，當[P]、[Q]、[T]三點共線時[PQ+12CQ]取得最小值，

設直線[CR]與直線[PW]交于點[S]，∵[OC=3]，∴[OR=COtan30°=3×33=3]，∴[R-3， 0]，設直線[CR]的解析式為[y=mx+3]，∴[-3m+3=0]，即[m=3]，∴直線[CR]的解析式為[y=3x+3]，∴[S32，332+3]，∴[PS=323+3--34=15+634]，

∵[CO∥PS]，∴[∠S=∠RCO=30°]，在[Rt△PTS]中，[PT=12PS=334+158]，

∴[PQ+12CQ]的最小值為[334+158]，∴[（2PQ+CQ）min=2PT=332+154]。

點評：本題考查了拋物線的解析式、拋物線的最值、拋物線與一元二次方程的關系、三角函數、勾股定理、等腰三角形的性質和判定、全等三角形和垂線段最短。熟練掌握拋物線解析式的確定，三角函數性質，線段和的最值求法是解題的關鍵。

（責任編輯 黃桂堅）