一類數列問題的解法探討

劉書霞

[摘 要]數列作為一類特殊的函數，是歷年高考的重要知識點之一，也是歷年高考的重點和難點之一。文章通過一類數列創新問題的展示，呈現其創新角度、破解思維、解題策略等，為教師進行課堂教學與解題研究提供參考。

[關鍵詞]數列;命題;函數

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）14-0019-03

數列作為一類特殊的函數表現形式，具有獨特的性質，是知識交匯、問題創新的紐帶，也是高考的重點和難點之一。高考數列題以數列為問題背景，融合其他相關知識來設計綜合問題，充分體現了高考命題的指導思想，有效考查了相應的數學知識，考查了學生的抽象概括能力、邏輯推理能力，以及數學抽象、數學運算、邏輯推理等核心素養。

一、問題呈現

[例1]已知數列[xn]滿足[x1=2]，[xn+1=2xn-1] [（n∈N*）]。給出以下兩個命題。

命題[p]：對任意[n∈N*]，都有[1

命題[q]：存在[r∈]（0，1），使得對任意[n∈N*]，都有[xn≤rn-1+1]，則（）。

A. [p]真，[q]真 B. [p]真，[q]假

C. [p]假，[q]真 D. [p]假，[q]假

此題是涉及根式型遞推數列關系的一道綜合題，它巧妙地把函數、數列與常用邏輯問題合理融合。學生要結合數列的相關知識來分析與推理，才能判定對應命題的真假。此類問題對學生的應用能力、分析問題與解決問題的能力及邏輯推理能力要求比較高。

二、問題破解

（一）對于命題[p]的判斷

方法1：（作差比較法+極限特征）

由題意可知[xn≥0]，則[xn+1-xn=2xn-1-xn=-（xn-1）22xn-1+xn<0]，

那么數列[xn]單調遞減，所以[xn+1

而當[xn→1]時，[xn+1→1]且[xn+1>1]，

對任意[n∈N*]，都有[1

點評：作差法是中學數學中比較大小的常用方法，具有實用性和通法性。運用作差法，能夠培養學生的發現與觀察能力及類比意識。

方法2：（放縮法+同號性）

因為[xn+1=2xn-1≤x2n=xn]，若以上不等式取等號，則有[xn=1]，從而[xn-1=…=x1=1]，與題設條件矛盾，所以[xn+1

又[xn+1-1=2xn-1-1=2（xn-1）2xn-1+1]，可得[xn+1-1xn-1=22xn-1+1>0]，

那么[xn+1-1]與[xn-1]的符號相同，

而[x1-1=1>0]，則有[xn-1>0]，即[xn>1]。

對任意[n∈N*]，都有[1

點評：用放縮法證明數列不等式是數列中的難點內容。放縮法靈活多變，技巧性要求特別高。放縮是一種能力，放縮要有度，如何恰到好處，是放縮法的精髓和關鍵所在。

方法3：（同號性+作差比較法）

由[xn+1=2xn-1]，可得[x2n+1=2xn-1]，即[x2n+1-1=2（xn-1）]，

整理可得[（xn+1-1）（xn+1+1）=2（xn-1）]，

那么[xn+1-1]與[xn-1]的符號相同。

而[x1-1=1>0]，則有[xn-1>0]，即[xn>1];

又[x2n+1-x2n=2xn-12-x2n=2xn-1-x2n=-（xn-1）2<0]，

所以[x2n+1

對任意[n∈N*]，都有[1

方法4：（數學歸納法+作差比較法）

（1）當[n=1]時，[x1=2>1];

（2）假設當[n=k（k∈N*）]時，不等式[xk>1]成立，那么[xk+1=2xk-1>2-1=1]成立，即當[n=k+1]時，不等式[xk+1>1]也成立。

根據（1）和（2），可知對任意[n∈N*]，都有[xn>1]成立;

又[x2n+1-x2n=2xn-12-x2n=2xn-1-x2n=-（xn-1）2<0]，所以[x2n+1

對任意[n∈N*]，都有[1

點評：數學歸納法是一種重要的數學證明方法，通常被用于證明某個給定命題在整個（或局部）自然數范圍內成立。運用數學歸納法可有效解決數列問題。

方法5：（“蛛網圖”法）

由[xn+1=2xn-1]，在平面直角坐標系中作出函數[f（x）=2x-1]與[y=x]的圖像（如圖1），直線[y=x]在曲線[f（x）=2x-1]的上方，且相切于點[A（1， 1）]，畫出相應的“蛛網圖”，可知數列[xn]單調遞減，當[n→+∞]時，[xn→1]，即[1

點評：對于一個不可求通項公式的數列遞推關系的范圍確定問題，利用作差比較法、放縮法、數學歸納法等常見的方法，并借助“同號性”等不等式的性質來處理，可以有效破解問題。而“蛛網圖”是解決此類問題比較特殊的方法，其常借助特征函數的圖像與性質，數形結合，準確判定。

（二）對于命題[q]的判斷

方法1：（裂項法+反證法）

因為[xn+1-1=2xn-1-1=2（xn-1）2xn-1+1]，所以[xn+1-1xn-1=22xn-1+1-2xn+1+1]，

則有[（xn+1-1）（xn+1+1）=2（xn-1）]，即[1xn-1=1xn+1-1-1xn+1+1]，亦即[1xn+1-1-1xn-1=1xn+1+1]，所以[1xn-1-1=1xn-1-1xn-1-1+1xn-1-1-1xn-2-1+…+1x2-1-1x1-1 = 1xn+1 + 1xn-1+1 + … + 1x2+12n+1]，[n≥2]。

假設存在[r∈（0， 1）]，使得對任意[n∈N*]，都有[xn≤rn-1+1]，那么有[2n+12·1rn-1]，[n≥2]，兩邊取對數，可得[ln（n+1）>ln 2-（n-1）ln r]，即存在[r∈（0， 1）]，使得對任意[n∈N*]，都有[ln（n+1）-ln 2+（n-1）ln r>0]成立，而[ln（n+1）-ln 2+（n-1）ln r

方法2：（極限特征法）

由[xn≤rn-1+1]，可得[xn-1≤rn-1]，那么[xn+1-1xn-1≤rnrn-1=r]，即[2xn-1-1xn-1≤r]，構造函數[f（x）=2x-1-1x-1=22x-1+1]，此函數在定義域[12，+∞]上單調遞減，所以自變量[x]從2→1的過程中單調遞增，由于任意[n∈N*]，而[x]無法取到1，則函數[f（x）]無最大值，那么[r]不存在，所以不存在[r∈（0， 1）]，使得對任意[n∈N*]，都有[xn≤rn-1+1]，因此命題[q]為假命題。

方法3：（“蛛網圖”法）

由[xn≤rn-1+1]，可得[xn-1≤rn-1]，那么[xn-1xn-1-1≤rn-1rn-2=r]，即需要滿足[（xn-1， xn）]與[（1， 1）]兩點之間的斜率始終小于一個在[（0， 1）]之間的確切數值[r]，如圖2所示，隨著[n]的增大，此斜率一直在遞增，且無限接近于1，故必須滿足[r≥1]，所以不存在[r∈（0， 1）]，使得對任意[n∈N*]，都有[xn≤rn-1+1]，所以命題[q]為假命題。

點評：根據存在性問題的判定特征，可以借助反證法加以判斷，而涉及數列通項的變形與應用，可以利用裂項、累加等數列求和方式來處理，進而結合極限特征等方法來判斷。同樣，構建等比數列，從“蛛網圖”的視角，結合幾何意義來判斷，借助斜率，數形結合，也可做出直觀的判斷。

綜上可知，命題[p]為真命題，命題[q]為假命題，故選B。

在破解以數列為背景的綜合性問題時，往往要充分展示數列的函數特征，通過回歸函數的基本性質與基本方法，結合數列的基本特征來分析，從而達到知識與方法的巧妙融合。同時，要抓住函數的模型與相關知識，以及特殊數列模型，運用邏輯推理方法來分析與處理，使得問題指向明確，方便轉化。

三、方法應用

解決線性根式型遞推數列問題有特征根法和不動點法。而非線性遞推數列問題是各種競賽的難點和考試的熱點，這類問題可以借助作差比較法、極限特征法、“蛛網圖”法和數學歸納法解決比如下面兩題。

1.數列[a0， a1， a2， …]與[b0， b1， b2， …，]定義如下：

[a0=22]，[an+1=221-1-a2n]，[b0=1]，[bn+1=1+b2n-1bn（n=0， 1， 2， …）]。

證明：不等式：[2n+2an<π<2n+2bn]。

2.設數列[an]定義為[a1=1]，[an+1=2an+3a2n+1]，[n≥1]。

（1）證明：當[n>1]時，[an+1+an-1=4an];

（2）證明：[1a1+1a2+…+1an<1+32]。

（責任編輯 黃桂堅）