無線光副載波調制系統相位噪聲估計補償算法

王晨昊

摘要：無線光副載波調制與數字調制相比，是一種有效抑制大氣湍流影響的調制技術。對于相移鍵控調制格式，接收機電解調器引入的相位噪聲會引起符號相干檢測錯誤判決，導致通信系統誤碼性能劣化。文章在Malaga大氣湍流信道下，分別分析了受大氣湍流和相位噪聲影響的星座圖特征。基于卡爾曼濾波和擴展卡爾曼濾波對無線光副載波QPSK系統相位噪聲進行了估計，并對受相位噪聲影響的QPSK星座相位點進行了補償。仿真結果表明，經過兩種算法對相位噪聲估計補償后的系統誤碼率性能均有所改善，擴展卡爾曼濾波算法相對于卡爾曼濾波對相位噪聲狀態估計偏差小，補償后誤碼率低，算法收斂速度快，可以有效改善系統性能。

關鍵詞：副載波調制;相位噪聲;Malaga大氣湍流;相位噪聲估計;誤碼率

中圖分類號：TN929.1? ? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2022）21-0032-04

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

1 引言

無線光通信具有速率高、帶寬大、可自由傳輸等優點，連續波調制與數字調制相比，具有抑制大氣湍流光強起伏影響良好的性能[1-2]。對于無線光副載波多進制相移鍵控（M-ary Phase Shift Keying，MPSK）調制系統，接收端解調模塊內本地振蕩器所產生的相位噪聲會導致載波恢復時所需要的相位不準確，星座圖內的相位調制點偏離其所處的判決區域，引起解調時符號誤判，系統性能劣化，因此快速準確預測或估計相位噪聲顯得尤為重要[3]。為了保證相位信息的正確，在解調前需要先對載波中相位噪聲的大小進行估計，然后對相位噪聲影響下偏移的相位點進行補償，使其回到原本所處的判決區域內。

2 國內外研究進展

對于星座圖內采樣點相位均勻分布的相移鍵控等相位調制格式，維特比（Viterbi）算法可以直接估計相移鍵控的載波相位[4]，但算法實現硬件復雜度高。Tao Z等人提出了一種基于預判決的載波相位估計算法，硬件復雜度低，易于實現，且性能與維特比算法相當[5]，但對于高階M-QAM（[M≥16]）調制，該算法不能直接使用。2014年，Bilal S M等人[6]基于前向反饋載波估計算法，對激光器相位噪聲引起的64-QAM星座圖相位點旋轉后的相位信息進行了恢復。曹國亮等人[7]在偏振復用16-QAM光通信系統中，采用擴展卡爾曼濾波對偏振態和載波相位進行了估計，并對激光器相位噪聲引起的星座圖中采樣點混疊進行了補償。2014年Pakala L等人[8]運用擴展卡爾曼濾波算法分別實現了對相位噪聲和幅度噪聲的估計與補償。2016年Jain A等人[9]提出一種基于直接判決的載波相位估計算法，實現了相干光16-QAM通信系統中由光纖克爾效應產生的非線性相位噪聲的估計和補償。2016年，Xie X M[10]提出了一種改進的多基線相位展開算法，該算法將無跡卡爾曼濾波與增強的聯合相位梯度估計器相結合，能夠同時進行相位展開和相位噪聲抑制。2017年，文獻[11]采用無跡卡爾曼濾波，在時域中對高階M-QAM和大線寬相干光OFDM系統的激光器相位噪聲進行估計，補償了相位噪聲引起的星座圖采樣點偏移。2017年，Shu T等人[12]擴展卡爾曼濾波器與Viterbi-Viterbi相位估計器相結合用于自適應非線性相位噪聲抑制的性能。2018年，代亮亮等人[13]以并行卡爾曼濾波對偏振復用16-QAM傳輸系統中包含的相位噪聲進行了估計與補償。對于光通信系統內相位噪聲的研究，文獻[13]基于高階正交幅度調制，以服從Wiener分布的激光器相位噪聲為主要研究目標，通過卡爾曼濾波等濾波算法估計激光器相位噪聲，并對由相位噪聲造成的星座圖相位點旋轉進行補償。

目前在無線光通信系統中相位噪聲的研究大多是針對光通信系統內的光器件相位噪聲進行的。本文基于無線光副載波MPSK調制系統，對接收機電域解調模塊鎖相環路所產生的相位噪聲展開研究。在Malaga大氣湍流信道下分析了相位噪聲對無線光副載波QPSK星座圖的影響，最后采用卡爾曼濾波和擴展卡爾曼濾波對QPSK系統中的相位噪聲進行了估計和補償技術研究。

3 Malaga大氣湍流信道

Malaga大氣湍流模型是一種通用的信道模型，可以描述目前常見的大氣湍流信道。基于電磁波在湍流大氣中傳播的物理模型，Malaga分布的湍流信道光強I的概率密度函數可表示為[14-15]：

[fI（I）=Ak=1βakIα+k2-1Kα-k2αβIγβ+Ω']? ? ? ? ? （1）

其中：

[A=2αα2γ1+α2Γ（α）γβγβ+Ω′β+α2]

[ak=β-1k-11（k-1）！2Ω'γk-1αβk2γβ+Ω'1-k2]

[Ω′=Ω+2ρb0+22b0Ωρcos（φA-φB）]

上式中，[α]為正實參數，與散射過程中大尺度渦旋的有效數目有關;[β]為自然數，表示衰落參數的數量;[Kv·]表示第二類[n]階修正貝塞爾函數;參數[Ω′]為相干平均光功率;[Ω]表示視距衰落分量的平均功率;[φA]和分[φB]別為視距傳播分量[UL]與耦合到視距分量[UCS]的相位。[Γ·]表示Gamma函數。

4 相位噪聲估計及補償

4.1 相位噪聲模型

無線光副載波通信系統接收端進行載波恢復時，電解調模塊相位噪聲主要由鎖相環（Phase locked loop，PLL）內的本地振蕩器輸出的隨機相位抖動與接收端接收信號相位間的相位差產生，該相位噪聲[φ]服從Tikhonov分布，其概率密度函數為[16]：

[p（φ）=exp（αcos（φ））2πI0（α），? φ≤π]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

式中，[α]為環路信噪比[17]，且[α=A2/N0BL];[A2]表示接收信號功率;[BL]表示一階鎖相環的環路帶寬，反映了環路對噪聲的抑制作用;[N0]為加性高斯白噪聲的單邊功率譜密度。通常，[σφ2=N0BL/A2=1/α]，因此，式（2）可以寫為：

[p（φ）=exp（cos（φ）/σ2φ）2πI0（1/σ2φ），? φ≤π]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

式中，[σ2φ]表示相位噪聲方差，[I0（·）]表示零階的第一類修正貝塞爾函數。

4.2相位噪聲的卡爾曼濾波估計與補償

假設經過光電探測器后，進入解調模塊前的副載波MPSK電信號可通過式（4）表示：

[yk=akexp（jφk）+nk]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

式中[k]表示采樣到的第[k]個MPSK符號，[ak]表示第[k]個傳輸符號調制信號，[φk]表示相位噪聲，[nk]表示零均值加性高斯白噪聲。[φk]服從Tikhonov分布。

卡爾曼濾波的狀態方程和觀測方程表示為：

[φk=Φφk-1+Γωk]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

[rk=Hφk+mk]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

其中，[Φ]為狀態轉移矩陣，[Γ]為噪聲驅動矩陣，[H]為觀測矩陣，[ωk]和[mk]分別表示卡爾曼濾波中的過程噪聲和觀測噪聲，均為零均值加性高斯白噪聲。[Q]和[R]分別為[ωk]和[mk]的協方差矩陣。圖1所示為卡爾曼濾波估計算法實現框圖。

為求[φk]的估計值，卡爾曼濾波算法分為四個步驟：

1） 初始化

[φ00=0]，[P0=Varφ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）

其中[P0]為誤差協方差陣，[Var[φ]]表示相位噪聲[φ]的方差。

2）對第k個采樣點的狀態估計值和協方差進行預測

[φkk-1=Φφk-1k-1]，

[Pkk-1=ΓPk-1k-1Γ'+Q]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（8）

其中[Q]為過程噪聲的協方差陣。

3）求卡爾曼濾波增益

[Kk=Pkk-1H'HPkk-1H'+R-1]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（9）

其中[R]為觀測噪聲的協方差矩陣。

4）對第k個采樣點的狀態估計值和協方差進行更新

[φkk=φkk-1+Kkrk-Hφkk-1]，

[Pkk=1-HKkPkk-1]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （10）

通過卡爾曼濾波求得對應狀態的最佳估計值的一個計算周期，然后重復該步驟，就可以在誤差最小的情況下遞歸地獲取狀態值的估計值。補償后的MPSK信號表示為[14]：

[yk=yke-jφk]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（11）

式中，[φk]表示對應狀態值的最佳估計值，[yk]表示進入解調模塊前未經過相位噪聲補償算法補償的副載波MPSK信號。

4.3 相位噪聲的擴展卡爾曼濾波估計與補償

擴展卡爾曼濾波的狀態方程和觀測方程表示為：

[φk=φk-1+ωk]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（12）

[rk=akexpjφk+mk]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （13）

其中，[ωk]和[mk]分別表示過程噪聲和觀測噪聲，均為零均值加性高斯白噪聲，協方差陣分別為[Q]、[R]。為求得相位噪聲[φk]的估計值，所用擴展卡爾曼濾波算法可分為以下六個步驟：

1）擴展卡爾曼濾波的初始化

[φ00=0]，[r0=a0+v0]，[P0=Varφ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（14）

其中[P0]為誤差協方差陣，[Var[φ]]表示相位噪聲[φ]的方差。

2）對第k個采樣點的狀態估計值和觀測值進行預測

[φkk-1=φk-1k-1]，[rkk-1=akejφkk-1]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （15）

3）對狀態方程和觀測分別求解關于[φ]的一階導數得到[Φk]和[Hk]

[Φk=?f?φ=1]，[Hk=?h?φφ=φkk-1=jakejφkk-1]? ? ? ? （16）

4）求協方差預測[Pkk-1]

[Pkk-1=ΦkPk-1k-1Φ?k+Q]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （17）

上式中[Q]即為過程噪聲的協方差矩陣。

5）求擴展卡爾曼濾波增益

[Kk=Pkk-1H*kHkPkk-1H*k+R-1]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（18）

上式中[R]即為觀測噪聲的協方差矩陣。

6）進行狀態估計值和協方差更新

[φkk=φkk-1+Kkrk-rkk-1]，

[Pkk=1-KkHkPkk-1]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（19）

通過擴展卡爾曼濾波求得對應狀態的最佳估計值的一個計算周期，重復該步驟，擴展卡爾曼濾波就可以在誤差最小的情況下遞歸地獲取狀態值的估計值，補償后的MPSK信號為：

[yk=yke-jφkk]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （20）

式中，[φkk]表示對應狀態的相估計值，[yk]表示進入解調模塊前未經過相位噪聲補償算法補償的副載波MPSK信號。

5 仿真結果與性能分析

5.1 相位噪聲估計偏差

采用卡爾曼濾波與擴展卡爾曼濾波算法對無線光副載波QPSK系統相位噪聲進行估計。由于算法中的過程噪聲為系統輸入的零均值高斯白噪聲，它的大小與系統平均電信噪比有關，因此，仿真中設無線光副載波QPSK系統平均電信噪比為[SNR=40dB]，此時過程噪聲方差為[Q=10-4]，表明系統內的隨機擾動小，觀測噪聲方差[R=1]。設卡爾曼濾波初始狀態值[φ1=0]，狀態轉移矩陣[Φ=1]，噪驅動矩陣[Γ=1]，觀測矩陣[H=1]，擴展卡爾曼濾波初始狀態值[φ1=0]。

圖2為不同相位噪聲取值對卡爾曼濾波和擴展卡爾曼濾波相位噪聲估計效果的影響。由圖2可見，當相位噪聲標準差增大到[σφ=20?]時，卡爾曼濾波的估計值在前150個采樣點前后與[σφ=10?]時有明顯差異，如圖2中（a）（b）中虛線框所示。對于擴展卡爾曼濾波，當相位噪聲標準差增大到[σφ=20?]時，擴展卡爾曼濾波的估計值僅在前30個采樣點前后與[σφ=10?]時有明顯差異。這說明改變狀態值大小對估計值造成的影響會逐漸減弱，由于在不同相位噪聲取值下，兩種濾波算法都僅有部分采樣點的估計值發生變化，因此這里我們對不同相位噪聲取值下的狀態估計偏差進行了對比。

圖3比較了卡爾曼濾波和擴展卡爾曼濾波算法估計相位噪聲時估計值與狀態值間的偏差。由圖3（a）可見，[σφ=20?]時的卡爾曼濾波的狀態估計偏差曲線在第150個采樣點后與[σφ=10?]時的卡爾曼濾波狀態估計偏差曲線逐漸逼近在一起。而[σφ=20?]時擴展卡爾曼濾波估計值與狀態值間的偏差曲線在第30個采樣點后與[σφ=10?]時的擴展卡爾曼濾波狀態估計偏差曲線逼近良好。造成這個現象的原因是卡爾曼濾波和擴展卡爾曼濾波都是遞歸濾波器，它們會以k時刻獲取的[φkk]和[Pkk-1]作為第k+1時刻中預測和更新過程中的參量，在遞歸過程中，卡爾曼濾波和擴展卡爾曼濾波的估計值也會逐漸收斂，趨于穩定，同時說明擴展卡爾曼濾波的收斂速度遠大于卡爾曼濾波。

5.2 不同過程噪聲對相位噪聲估計補償算法的影響

系統不同過程噪聲下兩種濾波算法估計相位噪聲的狀態估計偏差見圖4所示。仿真中IQ調制兩路采樣點的個數都為[N=512]，觀測噪聲方差[R=1]。從圖4可以看出，隨著系統平均電信噪比的增[SNR=40dB]大，過程噪聲方差逐漸減小，系統內隨機擾動減弱，兩種濾波算法的狀態估計偏差也隨之減小。當時，擴展卡爾曼濾波算法的狀態估計偏差集中在[-0.08，0.07]內波動，卡爾曼濾波算法的狀態估計偏差主要集中在[-0.07，0.13]范圍內。[SNR=30dB]時，擴展卡爾曼濾波算法的狀態估計偏差增大至[-0.20，0.19]范圍內，而卡爾曼濾波的狀態估計偏差則增大至[-0.27，0.31]范圍內，說明擴展卡爾曼濾波受過程噪聲帶來的系統內隨機擾動的影響小于卡爾曼濾波。

5.3 相位噪聲補償后無線光副載波QPSK系統星座圖

圖5為[SNR=40dB]時不同情況下的無線光副載波QPSK調制信號星座圖，信道模型是采用Malaga湍流概率密度函數所表示的大氣湍流信道，對系統內相位噪聲的補償采用式（11）和式（20）。圖5（a）為理想情況下QPSK調制信號星座圖;圖5（b）為受相位噪聲影響下的QPSK調制信號星座圖，相位噪聲標準差取[σφ=20?];圖5（c）為大氣湍流信道下QPSK調制信號星座圖，光強起伏方差[σ2I=0.1];圖5（d）受大氣湍流和相位噪聲共同影響下的QPSK調制星座圖;圖5（e）和圖5（f）分別為通過卡爾曼濾波和擴展卡爾曼濾波通過相位噪聲估計并補償后的QPSK調制信號星座圖。由圖5可看出，QPSK調制信號星座圖相位點在大氣湍流影響下發生徑向拉伸。在相位噪聲影響下，QPSK調制星座點相位明顯旋轉，使得采樣點偏離其原本所在的判決區域，從而影響接收機相干檢測。而在大氣湍流和相位噪聲共同影響下，QPSK四個相位在徑向拉伸的同時發生旋轉。在采用卡爾曼濾波和擴展卡爾曼濾波相位噪聲補償算法后，雖然大氣湍流引起的徑向拉伸依然存在，但圖（e）與（f）中的相位點回歸到了它們原本所在的判決區域，同時從圖（e）與圖（f）中可以看出在[[0?，45?]]和[[90?，135?]]范圍內擴展卡爾曼濾波相位噪聲補償后的相位點比卡爾曼濾波補償后的相位點更靠近星座圖中對角線的位置。

5.4 相位噪聲補償后無線光副載波QPSK系統誤碼性能

不考慮湍流對無線光副載波QPSK系統誤碼性能的影響，卡爾曼濾波和擴展卡爾曼濾波后的QPSK系統誤碼率如圖6所示。仿真中為了反映誤碼性能，無線光副載波QPSK系統總碼元個數為[N=12288]，IQ調制兩路采樣點的個數都為[N=6144]，觀測噪聲方差[R=0.2]，系統平均電信噪比[SNR=40dB]，過程噪聲方差[Q=10-4]，卡爾曼濾波和擴展卡爾曼濾波狀態初始值都為[φ0=0]。由圖6可見，相位噪聲標準差[σφ=15?]，隨著系統信噪比的增大，未使用補償算法的系統誤碼率下降趨勢逐漸趨向于10-4，而使用卡爾曼濾波和擴展卡爾曼濾波估計補償算法后，無線光QPSK系統誤碼率性能隨著系統信噪比的增大逐漸提升，且使用擴展卡爾曼濾波相位噪聲估計補償算法的系統誤碼率性能明顯優于使用卡爾曼濾波相位噪聲估計補償算法。

6 總結

本文針對無線光副載波調制通信系統解調模塊內的相位噪聲，研究了采用卡爾曼濾波和擴展卡爾曼濾波算法對相位噪聲進行估計，并對受相位噪聲影響的QPSK調制星座圖相位點進行了補償。通過仿真對比了卡爾曼濾波和擴展卡爾曼濾波兩種算法估計性能，包括相位噪聲估計偏差、QPSK星座圖相位補償效果以及系統補償后誤碼率性能分別進行了比較分析，研究結果表明改變狀態值的大小對估計值造成的影響會隨著濾波過程的進行而逐漸減弱，且擴展卡爾曼濾波的收斂速度遠大于卡爾曼濾波;在采用卡爾曼算法和擴展卡爾曼算法進行相位噪聲補償后，雖然大氣湍流引起的徑向拉伸依然存在，但QPSK星座圖的相位點均回歸到了它們原本所在的判決區域，擴展卡爾曼濾波補償后的QPSK系統誤碼率小于卡爾曼濾波補償后的系統誤碼率，相位噪聲越大，效果越明顯。

參考文獻：

[1] 陳牧，柯熙政.大氣湍流對激光通信系統性能的影響研究[J].紅外與激光工程，2016，45（8）：115-121.

[2] Hranilovic S.Wireless Optical Communication Systems[M]. Spain：Springer，2005.

[3] Some Y K.Bit-error probability of QPSK with noisy phase reference[J].IEE Proceedings - Communications，1995，142（5）：292.

[4] Savory S J.Digital coherent optical receivers：algorithms and subsystems[J].IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics，2010，16（5）：1164-1179.

[5] Tao Z N，Dou L，Yan W Z，et al.Multiplier-free intrachannel nonlinearity compensating algorithm operating at symbol rate[J].Journal of Lightwave Technology，2011，29（17）：2570-2576.

[6] Bilal S M，Bosco G，Lau A P T，et al.Linewidth-tolerant feed-forward dual-stage CPE algorithm based on 64-QAM constellation partitioning[C]//2014 The European Conference on Optical Communication （ECOC）. Cannes，France.IEEE，2014：1-3.

[7] 曹國亮，楊彥甫，王非，等.基于擴展卡爾曼的PDM-16QAM偏振態和載波相位快速跟蹤[J].光學學報，2014，34（12）：53-58.

[8] Pakala L，Schmauss B.Improved decision directed carrier phase estimation for nonlinearity mitigation in 16-QAM systems[C]//2014 16th International Conference on Transparent Optical Networks （ICTON），Graz，Austria.IEEE，2014：1-4.

[9] Jain A，Krishnamurthy P K.Phase noise tracking and compensation in coherent optical systems using Kalman filter[J].IEEE Communications Letters，2016，20（6）：1072-1075.

[10] Xie X M.Enhanced multi-baseline unscented Kalman filtering phase unwrapping algorithm[J].Journal of Systems Engineering and Electronics，2016，27（2）：343-351.

[11] 董月軍，唐英杰，任宏亮，等.基于無跡卡爾曼濾波的CO-OFDM系統相位噪聲補償算法[J].中國激光，2017，44（11）：229-240.

[12] Shu T，Li Y，Yu M，et al.Performance investigation of Extended Kalman Filter combined with carrier phase recovery for adaptive nonlinear phase noise mitigation[C]//2017 Conference on Lasers and Electro-Optics Pacific Rim （CLEO-PR）. Singapore.IEEE，2017：1-4.

[13] 代亮亮，閆連山，易安林，等.基于線型卡爾曼濾波器的雙偏振并行載波相位恢復算法[J].光學學報，2018，38（9）：93-100.

[14] Garrido-Balsells JM， Paris JF， Puerta-Notario A. A unifying statistical model for atmospheric optical scintillation[J]. Physics， 9 Feb， 2014：1-4.

[15] Jurado-Navas A，Garrido-Balsells J M，Paris J F，et al.Further insights on Málaga distribution for atmospheric optical communications[C]//2012 International Workshop on Optical Wireless Communications （IWOW）.October 22-22，2012，Pisa，Italy.IEEE，2012：1-3.

[16] Chandra A，Patra A，Bose C.Performance analysis of BPSK over different fading channels with imperfect carrier phase recovery[C]//2010 IEEE Symposium on Industrial Electronics and Applications，Penang，Malaysia.IEEE，2010：106-111.

[17] Wang Q，Kam P Y.Simple，unified，and accurate prediction of error probability for higher order MPSK/MDPSK with phase noise in optical communications[J].Journal of Lightwave Technology，2014，32（21）：3531-3540.

【通聯編輯：代影】