基于數學原理的RC電路響應分析

王瓊 李葉龍 黃賢靜 張貴元

摘要：RC電路響應分析涉及高等數學中的微分方程，教材中關于二者的銜接部分較為簡要，數學基礎較薄弱的學生學習時會存在一定困難。為此，本文首先采用具體事例的形式，對一階線性微分方程的求解過程及求解邏輯進行了推導與總結，之后直接利用齊次方程及一階線性微分方程的通解形式直接推導出RC電路響應方程，在內容及邏輯上實現數學與電路分析的統一。

關鍵詞：電工學;RC電路;微分方程

中圖分類號：G424? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2022）21-0115-03

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電路暫態分析是本科課程《電工學》中的重要內容，因其涉及高等數學中微分方程內容，對學生的數學基礎要求較高。實際教材及輔助資料中對此部分內容所涉及的數學原理的推導通常較為簡要（默認在學習高等數學中已經掌握）[1-3]，而高等數學中關于微分方程部分則是從純數學角度進行推導，缺乏其在電路暫態分析應用方面的專門講解[4-5]，從而導致部分學生在學習電路暫態分析這部分內容時缺乏對其數學原理的深入理解，學習中僅靠硬記最終的電路響應方程而解決問題，進而給后續的深入學習帶來困難?；诖耍疚囊噪娐窌簯B分析中RC電路響應為例，將一階線性微分方程部分內容的求解過程及求解邏輯與電路的暫態分析進行統一推導與闡述。以期初學者通過對本文的閱讀能快速掌握運用一階線性微分方程解決電路暫態分析問題。

1 一階線性微分方程的求解邏輯

在高等數學中，微分方程部分的學習順序為微分方程的基本概念、可分離變量微分方程、齊次方程、一階線性微分方程、高階線性微分方程、歐拉方程等[4]。因電路的暫態分析僅涉及一階線性微分方程。為此本文僅對一階線性微分方程的求解邏輯進行推導與闡述。

1.1可分離變量微分方程

為方便初學者理解，文中不同類型方程的求解均以較為簡單的具體方程實例為例進行求解。在高等數學中微分方程的求解是從可分離變量微分方程開始的，其一般形式可表示為式（1）的形式。

[P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

以具體事例（2）為例，進行可分離變量微分方程的求解過程。

[dydx=2xy]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

所謂分離變量就是將含相同變量的項移至方程的一端。對式（2）進行移項，得出式（3）;對式（3）兩端積分得出式（4）;對式（4）進行求解，得出式（5）、（6），因 [±eC1] 仍是任意常數，把它記作常數C，便得出方程（2）的通解式（7），此即為可分離變量微分方程的求解過程。其求解過程可總結為三個步驟：分離、積分、運算求解。

[1ydy=2xdx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

[1ydy=2xdx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

[lny=x2+C1]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

[y=±ex2+C1=±eC1ex2]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（6）

[y=Cex2]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）

1.2齊次方程

如果一階微分方程 [dydx=f（x，y）]中函數 f（x，y）可寫成 [yx]的函數，即[f（x，y）=?（yx）]，則稱這個方程為齊次方程，齊次方程的一般式亦可表示為式（8）的形式[4]。

[dydx+P（X）y=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

以具體事例（9）為例，進行其求解過程。將式（9）進行移項等變換，得出式（10）。由前述定義可知該式為齊次方程。

[y2+x2dydx=xydydx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（9）

[dydx=y2xy-x2=（yx）2yx-1]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （10）

令式（10）中的 [yx=u]，則y=ux，對其求導后推出 [dydx=u+xdudx]，將其代入式（10）得出式（11），對式（11）移項得出式（12），式（12）符合可分離變量微分方程的形式，對其進行變量分離，得出式（13）。應用解可分離變量的方法對式（13）進行積分求解，求得齊次方程式（9）的通解為式（14）：

[u+xdudx=u2u-1]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（11）

[xdudx=uu-1]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（12）

[（1-1u）du=dxx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （13）

[lny=yx+C]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （14）

由上述齊次方程事例的求解過程可見，齊微分方程需要通過變量代換化為可分離變量微分方程進行求解。

1.3一階非齊次線性微分方程

當方程滿足式（15）的形式時，即未知函數 y及其導數是一次的方程，叫作一階非齊次線性微分方程。當[Q（X）≡0]時，其變換為齊次線性方程，是對應于非齊次線性方程（15）的齊次線性方程，如式（16）所示，并且由其形式特點可知該式是可分離的。為此，可分離變換為式（17），對其兩端進行積分得出式（18），此即為對應一階線性微分方程（15）的齊次方程（16）的通解。

[dydx+P（x）y=Q（x）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （15）

[dydx+P（x）y=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （16）

[dyy=-P（x）dx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（17）

[y=Ce-P（x）dx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（18）

接下來，采用常數變易法[4]求非齊次線性方程（15）的通解。具體方法是把式（18）中的 C 換成 x 的未知函數u（x） ，即變作式（19），將式（19）對x求導，得出式（20）：

[y=ue-P（x）dx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （19）

[dydx=u'e-P（x）dx-uP（x）e-P（x）dx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （20）

將式（19）、（20）代入式（15），得出式（21），進一步化簡得出式（22）：

[u'e-P（x）dx-uP（x）e-P（x）dx+P（x）ue-P（x）dx=Q（x）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （21）

[u'=Q（x）eP（x）dx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（22）

將式（22）兩端積分，得式（23）：

[u=Q（x）eP（x）dxdx+C]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（23）

把式（23）代入式（19）得出式（24），式（24）即為一階線性微分方程（15）的通解。

[y=Ce-P（x）dx+e-P（x）dxQ（x）eP（x）dx]? ? ? ? （24）

由式（24）可見，一階非齊次線性方程的通解等于：其對應的齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解之和。

由上述三種類型方程的求解過程可知，可分離變量的微分方程的求解是基礎，在此基礎上方可對齊次方程進行求解。而求解一階非齊次線性微分方程的方法是首先求解該方程所對應的齊次方程的通解，然后利用常數變易法求出一階非齊次線性微分方程的通解，其求解邏輯如圖1所示。理解一階非齊次線性微分方程通解的求解過程，記住其通解形式（24）是深入學習電路暫態分析的重要數學基礎。

2 RC電路響應

2.1電工基礎

2.1.1元件特征

電阻、電感、電容是常用的電子元件，圖2為由其構成的單一參數電路。在電阻電路中電壓與電流間關系滿足式（25），而電感與電容是儲能元件，在由其構成的電路發生通斷瞬間能量不能發生躍變。

電感元件表現為電流不能躍變。如圖2（b）所示，當線圈通過電流i時，將產生磁通Φ，電感元件的參數-電感L=NΦ/i，N為線圈匝數，當電感元件中電流（或磁通）發生變化時，則在其中產生感應電動勢eL，具體表示為電流對時間的導數與電感的乘積，如式（26）所示。

電容元件表現為電壓不能躍變。如圖2（c）所示，衡量電容容量的直接參數是其所含電荷[量]q，電容元件關鍵參數-電容C=q/u，當電容元件上電荷[量]q或電壓u發生變化時，則在電路中引起電流i，電流具體表示為電壓對時間的導數與電容的乘積，如式（27）所示。

[uR=Ri]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （25）

[eL=-Ndφdt=-Ldidt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （26）

[i=dqdt=Cdudt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （27）

由式（25）～（27）可知，在電阻元件電路中，一旦接通或斷開電源時，電路立即處于穩定狀態（簡稱“穩態”）。而當電路中含有電感或電容元件時，則不然。例如RC串聯電路與直流電源接通后，電容被充電，其上電壓是逐漸增長到穩定狀態，電路中有充電電流（電容放電）時，其上電壓是逐漸衰減到零的，這種電路中電流（電壓）增長或衰減需經歷一個短暫的過程，這個過程稱為暫態過程（簡稱“暫態”），即在含電感或電容的電路中接通或斷開電源時，電路需要經歷一個暫態過程后才會再次處于穩定狀態。電路的暫態過程可能產生過電壓或過電流進而對電路造成危害，亦可利用其改善波形或產生特定波形，為此需掌握其規律進而規避危害或利用特性實現某些特定目的。

2.1.2換路定則

由于電源的接通、斷開、短路、電壓改變或參數改變等所導致的電路改變稱為換路[1]。由前述分析可知，對于電容元件換路瞬間電壓不能躍變，設換路前瞬間電壓為uC（0-），換路后瞬間電壓為uC（0+），因換路瞬間不能發生躍變，為此二者相等，如式（28）所示;對于電感元件換路瞬間電流不能躍變，設換路前瞬間電壓為iL（0-），換路后瞬間電壓為iL（0+），因換路瞬間不能發生躍變，為此二者相等，如式（29）所示。從t=0-到t=0+瞬間，電容元件中的電壓和電感元件中的電流不能躍變，這稱為換路定則。

[uC（0-）=uC（0+）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（28）

[iL（0-）=iL（0+）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （29）

2.2.RC電路響應

2.2.1RC零狀態響應

如圖3所示，當RC電路換路前電容元件未儲有能量，uc（0-）=0時，由電源激勵所產生的電路的響應，稱為RC零狀態響應。分析 RC 電路的零狀態響應，實際上就是分析它的充電過程。在t=0時將開關S合到位置 1 上，即電路與一恒定電壓為U的電壓源接通，對電容元件開始充電，電容上電壓為 uc。

根據基爾霍夫電壓定律，列出 t ≥ 0 時（換路后）滿足電路方程式（30），將電流ic（式（27））代入式（30）得式（31），此即為該電路方程的具體表達式。將式（31）與式（15）進行對比可知，該式方程滿足一階非齊次線性微分方程的形式，將其變換為一階非齊次線性微分方程的標準式（32）。

[U=Ri+uc]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（30）

[U=RCducdt+uc]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（31）

[ducdt+1RCuc=URC]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （32）

對比式（32）與式（15）可見，式中[URC]相當于式（15）中的Q（x），[1RC]相當于式（15）中的于P（x），為此，將二者代入一階非齊次線性方程式（15）的通解式（24），得出式（33），此即為式（32）的通解。

[uc=C1e-1RCdt+e-1RCdtURCe1RCdt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（33）

對式（33）等號右端兩項進行數學處理，首先處理第一項，如式（34）所示。

[C1e-1RCdt=C1e-（1RCt+C2）=C1e-C2e-1RCt=C3e-1RCt]? （34）

對第二項進行處理，如式（35）所示。因為[e1RCdt=RCe1RCdt]，將其帶入式（35）得式（36）。

[e-1RCdtURCe1RCdt=e-1RCdtURCe1RCt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（35）

[e-1RCdtURCe1RCt=e-1RCdtURCRCe1RCdt=U]? ? ? ? ?（36）

將式（34）、（36）帶入式（33）即可得出uc 的最終表達式（37） 。

[uc=U+C3e-1RCt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（37）

帶入初始條件，換路前電容元件未儲有能量，uc（0-）=0 ，依據換路定則推出uc（0+）=0。將uc（0+）=0代入式（37）得式（38），由此可得出C3= -U，將其代入式（37）進而得出RC電路零狀態響應方程式（39）。式中1/RC稱為RC電路的時間常數，可見電容的充電時間（暫態持續時間）與R和C相關，通過改變二者的值可改變暫態的持續時間。

[0=U+C3e-1RCt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （38）

[uc=U-Ue-1RCt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （39）

2.2.2 RC零輸入響應

RC電路的零輸入，是指無電源激勵，輸入信號為零時，由電容元件的初始狀態u（0+） 所產生的電路響應，稱為零輸入響應。分析 RC電路的零輸入響應，實際上就是分析它的放電過程。

如圖3所示，當電容充電到uc=U0時，將開關S從位置1合到位置2使電容脫離電源，輸入為零。根據基爾霍夫電壓定律，列出 t ≥ 0 時滿足電路方程式（40），將ic帶入得式（41），此即為 RC 電路的零輸入響應方程，該方程滿足式（16）的形式，故為齊微分方程，由該型齊次微分方程通解的一般形式（18），得出式（41）的通解式（42）。

[Ri+uc=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（40）

[RCducdt+uc=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（41）

[uc=C1e-tRC]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（42）

代入初始條件u（0+）=uc（0-）=U0 ，進而得出C1=U0，由此得出RC零輸入響應方程式（43）。由此可見，電容的放電過程亦與R和C相關，通過改變二者的值可改變電容放電時間。

[uc=U0e-tτ=U0e-1RC]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （43）

2.2.3 RC 電路的全響應

RC電路的全響應，是指電源激勵和電容元件的初始狀態 uc（0+） 均不為零時電路的響應，也就是零輸入響應與零狀態響應兩者的疊加。

在圖3的電路中，當uc（0-）=U0時，將開關S合到位置1上（電源激勵電壓為U），在 t ≥0 時為電容的充電過程，故其電路方程與式（30）相同，與零輸入響應的區別在于電容兩端的初始電壓不為0，而為U0，進而uc 的最終表達式亦為式（37）。將初始條件uc（0+） =uc（0-）==U0代入式（37），得出式（45）。進而求出C3，將所求C3帶回式（45）求出RC電路的全響應方程式（47）。顯然，該式右邊第一項是零輸入響應（放電）;第二項為零狀態響應（充電），這是疊加定理在暫態分析中的體現。進一步將式（47）進行整理得出式（48），由式（48）可見，全響應等于穩態分量+暫態分量。

[U0=U+C3e-1RCt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（45）

[C3=U0-U]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（46）

[uc=U0e-1RC+U（1-e-tRC）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（47）

[uc=U+（U0-U）e-1RCt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （48）

3小結

一階線性微分方程是學習電路暫態分析的數學基礎，本文從可分離變量的微分方程入手通過具體事例詳細推導了可分離變量微分方程、齊次微分方程及一階非齊次線性微分方程的求解過程及求解邏輯。利用一階非齊次線性微分方程通解的標準式、齊次方程通解的標準式推導了RC電路的零狀態響應方程、零輸入響應方程及RC電路全響應方程。全面直觀地展現了RC電路響應方程的數學原理。該推導過程同樣也可應用于RL電路的暫態過程分析。

參考文獻：

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[5] 同濟大學數學系.高等數學-下冊[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

【通聯編輯：唐一東】