輔助線生長源——軸對稱

徐源蔚

自從學習了“軸對稱”，我的思路開闊了很多，原來一知半解的地方，豁然開朗了。我發現很多輔助線隱藏著對稱思想。下面，我們一起來看看吧。

例 如圖1，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB，AE=[12]（AD+AB），求∠ABC+∠ADC的度數。

一看到角平分線，我就想到“雙垂線”。如圖2，過點C作AD延長線的垂線，垂足為點F，可證△ACF≌△ACE，得AF=AE。因為AE=[12]（AD+AB），所以2AE=AD+AB，即AE+AF=AD+AB，AE+AD+DF=AD+AE+EB，所以DF=EB。又可證得△CFD≌△CEB，所以∠FDC=∠B，于是∠ABC+∠ADC=∠FDC+∠ADC=180°。

待我證完準備放下筆的時候，再回看圖2，咦，這不就是以AC為對稱軸，把△AEC折過去嗎？我靈光一閃，那可不可以把△ADC以AC為對稱軸折過來呢？

如圖3，在AB邊上取點F，使AF=AD，則△AFC≌△ADC。結合AE=[12]（AD+AB），得AF+EF=[12]（AF+AF+FB），所以EF=[12]FB，EF=EB。由△BCE≌△FCE得∠B=∠1，后面又可完美證得∠ABC+∠ADC=180°。你有沒有發現，這里△BCE與△FCE也關于CE成軸對稱？

做到這兒，我的思維再次打開，整個人越來越興奮。既然如此，那是不是可以把△ABC關于AC對稱一下呢？這里的證明就留給好學的你哦。

回顧本題的幾種解法，我發現都是因“角平分線”而結緣，利用軸對稱的想法，構造全等三角形。隨著學習的深入，我越發領悟了老師常說的一句話，“要勤于發散思維，多角度思考，做到解一題收獲一類題”，真是美哉，樂哉！

教師點評

徐同學借助這一題，向我們介紹了如何結合條件，在對稱的指引下，合理添加輔助線，構造對稱型全等。軸對稱變換是幾何重要的變換之一，軸對稱圖形也有著它特有的魅力。愿同學們帶著數學的熱情，感悟數學之美，享受學習之樂。

（指導教師：江蘇省啟東市濱海實驗學校 徐夏丹）