巧用知識遷移，促進“集合”教學

田志鋒

[摘 要]“數學廣角——集合”是學生學習集合思想的重要一課。文章從跨學科的視角探尋和利用有利于集合教學的前概念知識，以促進課程間的融合，引導學生有效學習，同時提出提高“集合”教學效率的建議。

[關鍵詞]遷移;集合;維恩圖

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）08-0014-03

舊知識是新知識的基礎，新知識又是舊知識的延伸。遷移可以讓學生在學習新知的過程中聯系已有的知識和經驗，從而觸類旁通，更好地解決新問題。下面以人教版教材三年級上冊“數學廣角——集合”的教學為例，闡述如何巧用知識遷移助力學生的數學學習。

一、案例回放

1.課堂教學

師：學校定于下周五舉行趣味運動會，請三年級各班選拔9名同學參加跳繩比賽，8名同學參加踢毽子比賽。你認為三（1）班要選拔多少名同學參加這兩項比賽？

生1：根據條件，得出參加這兩次比賽的總人數為8+9=17（人）。

師：參加比賽的總人數是17人嗎？你們看看這張參賽學生名單，發現了什么？

出示三（1）班參賽學生名單統計表：

生2：參加跳繩和踢毽子的名單中有一些人重復計算了，應該把重復的人去掉。

（師生總結，得出“重復”的概念）

師：在這個統計表中，你能一眼看出哪幾位同學參加了兩項比賽嗎？

生3：不容易一眼看出來。

師：能不能想個好方法，讓人一眼就可以看出參加這兩項比賽的一共有多少人？

生4：在重復的三個人的名字下面畫線，提醒只要算一次就可以了。

生5：把重復的三個人的名字劃去，算完其他的人后，再把這三個人的名字加上就可以了。

生6：把重復的三個人的名字拿出來，放在表格外面，最后再加上。

楊明 劉紅 李芳

生7：重新畫一個表格，把只參加一項比賽的寫成兩行，重復的那幾人，再寫一行。

生8：用連線法，把重復的三個人連在一起，這樣就不會多算了。

……

（學生給出了各種方法，但始終沒有想出類似“維恩圖”（集合圖）的方法。教師只能出示“維恩圖”，然后介紹其歷史淵源。整個探究環節下來，一節課已過了一大半。這時教師加快教學進度，讓幾名學生說說圖意并列出算式后，便草草結束課程了。）

2.課后學生反饋

出示：三（1）班參加合唱興趣小組的有12人，參加舞蹈興趣小組的有18人，兩個興趣小組都參加的有8人，只參加一個興趣小組的有（ ）人。

（結果近一半的學生用“12+18-8”的方法求出結果是22人）

師：為什么先把合唱興趣小組和舞蹈興趣小組的人數加在一起，再減去8人呢？

生1：因為有8人既參加合唱興趣小組又參加舞蹈興趣小組，所以要減去重復的8人。

師：這題沒有要求參加興趣小組的一共有多人。

生2：求的是只參加一個興趣小組的有多少人，也要把8人減去。

聽了學生的回答后，筆者感到既可愛又好笑，這個題目的問題明明和例題的有區別，學生卻“死用”例題的方法解答。為什么一節充滿思維樂趣和探究味的課卻有這樣的教學效果呢？

二、教學反思

為什么該教師要這樣安排教學？集合思想對于學生來說并不陌生，一年級的“認識數”就蘊含著集合思想，如1支鉛筆、2架飛機、3只小鳥等;“比一比”的教學內容就是通過一一對應方法讓學生建立兩組相等的數量;數的運算，也可以從集合的角度理解，如加法其實就是兩個交集為空集的集合的并集，減法其實就是求一個集合與其子集的差集。由此可以看出，學生在之前已多次接觸過集合相關知識，按理應該不陌生，但細細分析后發現，其實這些知識與本節課中的帶有重疊部分的“集合”的交集是不同的，再加之集合思想很抽象，本節課的學習對于學生來說是一個很大的挑戰。因此，教師采取了讓學生經歷知識的形成過程的教學模式：自己發現問題、提出問題、探究問題、解決問題，體會數學知識的來龍去脈，加深對集合思想的理解。正如弗賴登塔爾所言：“學習數學唯一正確的方法是實行‘再創造’，也就是由學生自己去發現或創造要學的東西;教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創造的工作，而不是把現成的知識灌輸給學生。”

可是這個“再創造”過程是何等艱難，且不說一些學生面對這個問題沒有方法，就是有了方法，也是天馬行空般任意發揮，而且這種發揮可能會隨著學生“另類”思路的出現，引發其他學生想到更“另類”的方法，這直接導致大量課堂時間流逝在“創造”之中。當師生共同探索并得出維恩圖后（更多的是在教師的引導下得出的），也就沒有多少時間分析和應用維恩圖了，特別是沒有時間深入解讀維恩圖各部分的意思了，致使課堂教學“頭重腳輕”，自然也就使得學生對維恩圖的理解只停留在表面。

為什么不從先前的經驗中找到與之匹配的學習經驗，利用遷移開展教學呢？教育心理學指出：“遷移是學習的一種普遍現象，根據遷移的作用，幾乎所有的習得經驗都可以以各種復雜的方式相互聯系起來。”“所有的學習都涉及原有經驗的遷移。”數學學習也是如此，當學生面對一個新情境時，最先想到的是能不能用已有經驗來解決這個問題，或是把這個問題與原有知識建立起有效聯系，當新知識與舊知識能建立起聯系之時，學生對新知識的接受度便大大提高，課堂參與度也自然提高。

對于維恩圖，學生到底有沒有前期經驗？把視角放寬一些，在更廣泛、跨學科的背景下思考時，會有意外的驚喜。對于維恩圖，學生不僅有經驗，而且經驗還很豐富。三年級上冊科學教材（教育科學出版社）第3課“大樹和小草”的結尾（如圖1）就有“把大樹和小草的相同和不同之處記錄在下面的維恩圖中”的說明，并提示“把相同的特點寫在中間，不同的特點寫在兩邊”。這不就給學生積累了學習經驗嗎？在這本科學教材中，一共出現8次利用維恩圖表示了重復的情況，可見維恩圖的素材是何等豐富！既然有如此的經驗，為什么不能把科學中的維恩圖的知識遷移到數學中來，讓學生感受其便捷性呢？

三、教學建議

1.改變呈現形式，防止負遷移

教材中的情境是給出一張統計表，雖然這樣可以讓學生清楚地看出人數，但也有弊端：學生想重新整理名單時，會受表格的影響，從而思維呆板;學生傾向于在表格里“做文章”，可只是在表格中進行修改很難得到答案;學生的操作沒有教師的指導，冗長低效。對此，可以把表格換成如下語言描述：

參加跳繩比賽的學生名單：楊明、陳東、劉紅、李芳、王愛華、馬超、丁旭、趙軍、徐強。參加踢毽比賽的學生名單：劉紅、于麗、周曉、楊明、朱小東、李芳、陶偉、盧強。

表格變成了文字，思維便不再受到限制，空間更廣闊，操作也更方便。學生可以隨意打亂這些名字，重新組合，便于 “創造”出維恩圖。即使得不出維恩圖，學生也會在創造中得出更多接近于維恩圖的方式，教師只要抓住其中的有效部分，“順水推舟”便會得出維恩圖。

2.建立問題的語言表征，激活經驗

學習數學的過程就是通過語言不斷內化、不斷形成和不斷運用的過程。語言的合理表達能提高學生“數學化”的能力，同時“將一種語言表達從一個領域轉換為另一個領域的語言形式，可以溝通知識之間的聯系，簡化問題解決” 。為了更好地讓學生理解知識，在本課教學中教師可以讓學生充分建立問題的語言表征，比如多讓學生說一說為什么要把“楊明、劉紅和李芳”三個名字單獨拿出來，并用“既……又……”的句式表述重復部分，以激活其頭腦中與之相關的知識經驗。學生在“既……又……”這種關聯詞語的表述下，可能會聯想到科學課上所學習的有關維恩圖的知識，繼而想到用同樣的方法來表示參加比賽的人數。

3.類比聯想，促進正遷移

小學生年齡小，邏輯思維能力還比較弱，對于一些抽象的數學概念或數學知識不太容易理解，而利用類比聯想，能方便學生用已經學過的數學知識對新知識進行比較和分析，進而更好地理解和掌握新知識。蘇霍姆林斯基說過：“在我看來，教會學生借助已有的知識去獲取知識，這是最高的教學技巧之所在。”這與教育界頗為盛行的“為遷移而教”不謀而合。

學生在學習“集合”之前，已有多次利用維恩圖解決問題的經驗，那么教師就可以通過類比聯想激活與此有關的知識經驗。當學生會用“既……又……”的句式表達后，教師可利用問題“該怎樣表示這種有重疊部分的情況？之前有沒有遇到過此種情況？來“勾出”學生的經驗。學生在問題的引領下，會不自覺地把新知識融入原有的知識結構中，在“已經知道”的知識與“需要知道”的知識之間架構橋梁。接著，教師出示科學教材“大樹和小草”的內容，此時，相似的結構特征成為解答這個問題的有效線索，促使學生聯想維恩圖的知識。通過這種類比聯想的過程，不僅能得出維恩圖這一方法，還能提高學生的邏輯思維能力，促進學生更好地理解和掌握知識，進而提高學習效率。

4.具體匹配，轉換問題

新舊知識之間可能存在著差異，這就需要學生在遷移時的具體匹配中既要發現其相似之處，又要分析其不同之處。當學生能夠從科學教材中的維恩圖遷移到“學生參賽人數的問題”時，教師可引領學生思考：原來的維恩圖都是記錄兩種東西的相同點和不同點，現在想要表示各自人數及重復人數，該怎么辦？同時讓學生“討論—填寫維恩圖—列式計算—解決問題”，著重說一說“8+9-3”“8-3+9”和“5+6+3”中的“+3”和“-3”的道理，以及各算式的具體含義，體會交集、并集和差集。“隨著對數學問題的深入分析，這個數學問題與來自外部和長時記憶的信息不斷進行‘接觸’，對不匹配的部分進行適當調整，繼而推動了數學問題的一步步解決。”

5.改組認知結構，再次遷移知識

遷移理論認為，學生對一般規律和概括性知識的掌握是通過最初學習時運用各種變式達到的;同時又認為，只有學生認識到一個規律可運用于各種不同的情境，并形成在各種不同的學習情境中運用這些規律和知識的意識，這些規律和知識才算真正被掌握而具有現實價值。當學生理解了集合思想后，教師應及時總結和概括解題的策略和方法，再讓學生完成一道變式練習題：根據學校要求，每班要選拔5名學生參加跑步比賽，3名學生參加跳遠比賽，你覺得三（1）班可能會選拔多少人參加比賽？學生會利用剛習得的維恩圖的知識審視練習，得出可能有8人、7人、6人和5人（如圖2）。至此，前面維恩圖的經驗通過順應，被充實到新的知識經驗中，同時新的解題活動也加深了學生對前面維恩圖的理解。

綜上，學生在遷移中溝通了新舊知識的聯系，讓知識的形成更加自然，從而加深了對知識的理解，完善了認知結構，同時在新舊知識的啟發、類比及聯想中鍛煉了思維，提升了能力。數學課堂也隨著學生的有效遷移更高效、更靈動。

（責編 金 鈴）