微電阻梁的多物理場仿真研究分析

楊朵玉

（華中師范大學物理科學與技術學院 湖北 武漢 430070）

0 引言

電子元器件元件在日常生活中的各種產品中廣泛存在著。微型電阻器通電后可以立即產生快速且準確的驅動或結構運動，可用于許多應用領域，在這些應用中，需要瞬時地對器件施加小擾動或小撓曲。目前已有將微電阻梁用來研究制作光開關和傳感器等的研究先例。這些電子元件在電路通電時會產生焦耳熱，在焦耳熱的作用下，物體會發生熱膨脹而使物體結果發生變形。當溫度到達物質的熔點時，還會發生熔斷等現象[1]。近年來，微電阻梁傳感器以諸多優點在世界范圍內引起了廣泛的關注。微電阻梁傳感器有著靈敏度高、體積小、易于排列以及易于獲得等優點[2]。微懸臂梁傳感器可以實現高靈敏度、特異性和陣列式的生化檢測與測量，因此在生物化學物質的檢測中受到了廣泛的研究關注[3]。當分子附著在微型電阻梁的表面上之后,有一個變化的壓力作用在微型電阻梁表面,導致上下表面存在著壓力差,使電阻梁發生輕微彎曲,通過讀出系統檢測微型電阻梁的彎曲量實現生物化學分子檢測。微型電阻梁傳感器由于具有這些優點，已經應用于基因組學、蛋白質組學和疾病診斷等領域[4]。

本文采用多物理場仿真軟件COMSOL Multiphysic 軟件建立了微阻梁的多物理場模型，設定了銅微梁的密度、熱導率(軸向、縱向)及恒壓熱容，探討了銅微梁通電后產生的熱影響所帶來的后果，以及電流參量對熱變形的影響規律，為研究微電阻梁的熱損傷機理提供了一定的理論指導，為應用微電阻梁制作光開關和傳感器等器件提供參考[5]。

1 理論建模

COMSOL Multiphysics 軟件通過求解偏微分方程(單場)或偏微分方程組(多場耦合)來實現真實物理現象的仿真，用數值計算方法求解真實世界的物理現象。在COMSOL 中可對模型的材料屬性、網格劃分以及邊界條件等進行參數化定義。COMSOL 中預定義的多種物理場應用模式不僅能夠解決許多常見的物理問題，使用者也可以輸入自定義的偏微分方程（PDEs），并指定其與軟件內嵌方程和物理場之間的關系。本模型可闡明在一個模型中耦合熱、電及結構分析的能力，該模型中通過流通電流來使梁受熱改變，電流通過電阻時產生熱量，當溫度上升到一定高度時通過熱膨脹使梁產生位移，是一個很好的多物理場建模示例[6]。微電阻梁的材質是銅，拱形微電阻梁的截面為梯形，如圖1 所示。微電阻梁的高度和寬度均為1μm，長度是13μm。將微電阻梁的兩個底腳牢固的固定在基板上，兩底腳之間施加電勢差使電流流過微電阻梁。電流流過電阻時會使電阻的電阻率發生變化，由于所用材質為金屬材料，金屬材料的電阻率隨溫度的升高而增大，在有電流通過微電阻梁時，使金屬材料產生熱量。微電阻梁在開放環境中工作，因此產生的熱量會消散到空氣中。而當物體溫度發生改變時，物體由于外在約束以及內部各部分之間的相互約束，使其不能完全自由脹縮而產生一種力的作用，我們把它叫做熱應力[7]。由熱導致的應力將對材料施加載荷，并且能使梁變形。

圖2 顯示了微阻梁的三維模型，銅微梁的長度為13 μm，高度和寬度均為1 μm。兩端的底部將其牢固地固定在基板上。底部之間施加的0.2 V 的電勢使其產生電流，產生的電流通過梁而產生焦耳熱。通過使用焦耳熱和熱膨脹預定義多物理場接口，可以自動添加三個物理場的方程，包括必要的多物理場耦合。在本例中，物理場方程描述了電流、熱傳導以及結構力學問題。由于材料的電阻率，電流使結構受熱。梁在開放環境中操作，因此生成的熱量會消散到空氣中。熱致應力將對材料施加載荷，并使梁變形。可以假設電導率恒定，將其作為第一個近似。但是，導體的電阻率隨著溫度的升高而增大，微電阻梁的溫度也隨之升高。在使用銅的情況下，金屬電阻的電阻率與溫度之間的關系在很大的溫度范圍內近似為線性變化[8]：

其中，α 表示溫度系數。根據定義電阻率的關系，可獲得導體的溫度依存性；電導率即為其方程1 倒數（σ= 1/ρ）。

對于傳熱方程，將面向基板的底部邊界設為323 K 的恒溫。使用傳熱系數h 為5 W/（m2·K）、外部溫度Tinf為298 K 的熱通量邊界條件對其他邊界中的對流空氣冷卻進行模擬。標準約束可以處理底部與基板的剛性連接。對于本預測實驗模型中具體用到的銅片電阻熱物性參數見表1。

表1 模型材料參數表

本文中使用COMSOL 中的用戶控制網格功能對銅微梁進行網格剖分，可以大大加快求解速度，減少剖分網格帶來的計算成本，使其收斂到最優解，銅微梁網格剖分圖如圖2所示。

2 模型解析

該模型涉及滿足電流產生的一切條件，即電流守恒條件且滿足電流守恒定律，因此需要利用電流守恒方程。電流產生的焦耳熱需要對流到空氣中，所以需要一個熱傳導方程。溫度改變帶來電阻的變化，因此首先采用傳熱與電流的二維耦合。同時，溫度的升高會引起材料的熱膨脹，因此在固體力學中應考慮熱變形問題。因此，三個電場的耦合、固體傳熱和固體磁性的耦合是必要的。在Comsol 中，兩個物理磁性模塊，即電場中的焦耳熱和結構能量學中的固體磁性的耦合是必要的。由于焦耳熱可以與空氣對流放出熱量，因此可以將該模型設為穩態解。綜上可以利用圖3 所示的方程式進行求解。

微電阻梁在通電過程的熱傳遞現象屬于熱傳導問題，而熱傳導問題研究的是溫度在空間的分布和隨時間的變化，用T（x,y,z,t）表示。遵循基于傅里葉定律和能量守恒的熱傳導方程，其在笛卡爾坐標系下的瞬態三維熱傳導控制方程為：

該式中的負號表示熱量傳遞方向與溫度升高的方向相反，相關參數如下：

ρ--研究對象的密度；

T--材料的瞬時溫度；

t--熱傳導時間；

Cp---研究對象的比熱容；

k--熱傳導系數；

u--對流項中的外場因變量；

Q--熱流密度，即研究對象所吸收的熱量。

影響通電傳熱的因素眾多，其實際物理過程也十分復雜，因此在對其進行溫度場模擬時做出如下假設。

（1）假設微電阻梁模型材料為連續且各向同性。

（2）熱量作用于模型內部的吸收率恒定，不隨時間變化。

（3）不考慮材料表面受熱變形的影響。

（4）模型間為完全熱傳導。

在模擬中使用以下邊界條件和初始條件。

式中Γ 為邊界條件，T為已知邊界上的溫度；n為模型邊界外法線方向；q為材料表面單位面積的熱流密度；h為模型與空氣介質的對流換熱系數；σ為玻爾茲曼系數；ε為模型材料的輻射率；Tf為初始溫度，模型初始溫度為25 ℃[9]。

3 計算結果

點擊計算結果后，即可得出結果如下：

（1）表面溫度分布圖

如圖4 顯示，在使用方程1 中與溫度相關的電阻率求解模型時微梁表面的溫度場。根據顏色標尺，最高溫度約為710 K。

（2）表面應力分布圖

圖5 顯示了微梁的變形。與溫度相關的情況下，位移為48 nm，而電導率恒定時，最大位移為88 nm（繪圖將變形放大了約20 倍）。

4 仿真分析與討論

本研究的仿真模型涉及電流的產生及滿足電流守恒，需要用到電流守恒方程。電流產生的焦耳熱需要向空氣中對流，從而需要熱傳導方程。溫度帶來電阻率的變化，所以首先會用到傳熱和電流的雙向耦合。同時，溫度的提高引起材料的熱膨脹，從而需要考慮固體力學中的熱應變問題。所以需要電流，固體傳熱及固體力學三個物理場的耦合。在Comsol軟件中，需要用到傳熱--電磁熱下面的焦耳熱及結構力學中的固體力學這兩個物理場模塊的耦合。由于焦耳熱可以與空氣對流進行散熱，所以此模型可以建為穩態求解的方式。

由于電流在懸臂梁底端從一側流向另外一側，可以把懸臂梁的底端分別設為電流邊界中的接地（電勢為零）和終端（電勢設為0.2 V）兩個邊界。傳熱邊界：由于梁是在開放環境中工作，生成的熱會消散到空氣中，所以傳熱邊界（即熱通量）為除了底部的兩個界面的其他表面，如圖4 所示，其與空氣的對流熱通量設為5 W/(m2K)。底部的兩個邊界可以設為溫度293 K。由于在熱膨脹過程中，懸梁底部是被固定的，可以認為不發生變形，設為固體力學中的固定約束邊界[10]。

5 結論

本研究通過對微電阻梁施加電流使其產生焦耳熱，探究在熱的作用下微電阻梁產生熱應力發生的變形情況。計算了電阻率的電勢分布，溫度分布以及所受的應力分布的情形。此模型涉及電學、傳熱學、固體力學等相關知識的仿真模擬，對相關電阻傳熱研究具有一定的指導意義，為了研究微電阻梁的熱損傷機理提供了一定的理論指導，為研究微電阻梁制作器件提供參考。