優(yōu)化奇異譜分解方法在軸承故障診斷中的應用

馬朝永，申宏晨，胥永剛，張坤

(1.北京工業(yè)大學,北京 100124；2.北京市精密測控技術與儀器工程技術研究中心，北京 100124)

滾動軸承是機械設備重要的基礎部件，也是很容易發(fā)生故障的部件。基于振動分析的軸承故障特征提取方法取得了長足發(fā)展并在實踐中得到廣泛應用[1]。奇異值分解將包含信息的矩陣分解至一系列正交子空間中，通過選取合適的奇異值提取信號中的特征成分。奇異譜分析源于奇異值分解，其在時間序列上構建特定矩陣[2]，將原始序列分解為若干可解釋分量的總和并從復雜信號中提取特定分量[3]。文獻[4]將奇異譜分析應用于滾動軸承故障診斷，通過選取信號的主成分重構信號從混疊強噪聲的信號中提取故障特征[5]，嵌入維數(shù)的選擇是奇異譜分析的重點與難點。

奇異譜分解(Singular Spectrum Decomposition，SSD)可以對非線性非平穩(wěn)時間序列進行自適應分解，能夠自適應地設置軌跡矩陣的嵌入維數(shù)并用于重構分量的特征向量組，從而有效提取機電設備振動信號中的故障特征[6-7]。文獻[8]以優(yōu)化后的最小熵解卷積調(diào)整對信號進行預處理，提出了改進的奇異譜分解方法，降低了模態(tài)分量中的噪聲并增強了所提取分量的信噪比。文獻[9]提出了增強型奇異譜分解方法，對振動信號進行微分處理以提高信噪比，并將每個奇異譜分量集成在一起獲得增強的奇異譜分量從而增強故障特征。文獻[10]利用奇異值差分譜對信號重構過程進行改進，提高了奇異譜分解的降噪能力。上述研究雖在降低噪聲、增強分量的信噪比上做出了努力，但都沒有從理論上解決奇異譜分解存在的模態(tài)混疊問題。

因此，以奇異譜分解本身的迭代過程為框架，依據(jù)迭代過程中劃分的頻段及重構分量時特征向量的選擇來改變嵌入維數(shù)的確定準則，提出了優(yōu)化奇異譜分解 (Optimized Singular Spectrum Decomposition,OSSD)，并嘗試將其應用于滾動軸承的故障診斷。

1 奇異譜分解基本原理

奇異譜分解是一種非線性非平穩(wěn)信號處理方法，能夠自適應地提取具有物理意義的奇異譜分量。實現(xiàn)步驟如下：

1)若原始信號的離散形態(tài)為x(n)，n=1,2,…,N，其中N為信號長度；令z(n)為待處理信號，當?shù)鷺撕瀓=1時，z(j)(n)=x(n)。

2)將z(j)(n)頻譜中峰值最大的頻率設置為主峰頻率fmax，構建一個具有疊加高斯函數(shù)的譜模型擬合功率譜密度的輪廓并估計主峰帶寬2Δf。

3)當j=1時，若fmax遠小于采樣頻率fs，首次迭代截取的頻段可以視為趨勢項。此時，令嵌入維數(shù)M=N/3，M為正整數(shù)且滿足11或不滿足上述條件時，令M=1.2fs/fmax。

4)令軌跡矩陣P(M×N)的第i行為pi={(z(j)(i),…,z(j)(N),z(j)(1),…,z(j)(i-1)}，i=1,2,…,M。

如果令A={1,2,3,4,5}，嵌入維數(shù)M=3，則軌跡矩陣P可表示為

(1)

左側主矩陣對應于奇異譜分析中使用的標準軌跡矩陣。P形式的優(yōu)點是增強了時間序列z(n)的振蕩成分，保證迭代剩余分量的能量呈遞減趨勢。將矩陣P的右下角元素搬移至左上角，得到改進后的軌跡矩陣Q為

(2)

各對角線元素相同且數(shù)量相等，其緣由是重構過程中的對角線平均法需要軌跡矩陣如此的新定義。另外值得注意的是，當首次迭代的序列確定為大趨勢項時，軌跡矩陣應為奇異值分解的標準形式，而不是新定義的形式。

5)對于矩陣Q，存在一對正交矩陣U和V使Q=USVT，其中S為對角矩陣，則矩陣Q可表示為Qi的組合，即

(3)

式中：σi為第i個奇異值；ui為矩陣U的第i行；vi為矩陣V的第i行。

7)從待處理信號z(j)(n)中去除獲得的分量序列g(j)(n)，得到殘余項y(n)為

y(j)(n)=z(j)(n)-g(j)(n)。

(4)

計算所得殘余項與原始信號之間的標準均方誤差可得

(5)

(6)

若不滿足，令z(j+1)(n)=y(j)(n)，j=j+1，重復步驟2—步驟7。

奇異譜分解的重點步驟為奇異譜矩陣構造時的參數(shù)確定以及分量重構時特征向量組的選擇，這2點決定了奇異譜分解對信號有用分量的提取效果。奇異譜分解的流程如圖1所示。

圖1 奇異譜分解流程

2 優(yōu)化奇異譜分解

原始奇異譜分解中，嵌入維數(shù)的取值與每次迭代時捕獲的主峰頻率成反比，使得部分頻段提取時的嵌入維數(shù)太小，進而導致用于重構的特征向量中包含大量不屬于期待頻段的能量。另外，獲得的主峰頻率組及其頻段在實際應用中會有相互重疊或過窄等問題。

為解決上述問題，采用基于順序統(tǒng)計濾波器[11]獲得主峰頻段[fimin,fimax]，此時對應的帶寬為Hi=fimax-fimin。當?shù)鷷r獲得的帶寬Hi較小時，令嵌入維數(shù)變大，所獲取奇異值的個數(shù)會增加，在左特征向量中能夠更精準地選擇頻段[fimin,fimax]內(nèi)的所有特征向量組并獲得更精確的重構分量；反之，當帶寬較大時，令嵌入維數(shù)變小，參與重構的奇異值和左特征向量中的特征向量組會相對減少。優(yōu)化奇異譜分解以迭代過程中劃分的頻段以及重構分量時特征向量的選擇為依據(jù)確定新的參數(shù)，不僅可以使軌跡矩陣的構造更加合理，還可以使分量的重構更加準確。嵌入維數(shù)重新確定為

M=jfs/Hi，

(7)

式中：Hi為第i次迭代時獲得的頻帶寬度；j為正整數(shù)。在第1次迭代過程中，首先令j=1，執(zhí)行(7)式并判斷構造的M值是否超過N/10；若M不大于N/10，增加j并再次執(zhí)行 (7) 式，直至M值超過N/10時將當前值確定為固定值，在隨后的迭代中不再更新j值。另外，每次迭代中的M值不得大于N/3。

上述過程為信號處理過程確定了固定的計算公式，可以使分解過程中的矩陣構造與分量提取具有一致性。由于絕大多數(shù)信號在第1次迭代時獲得的帶寬都相對較窄并有N/10的限制，此時計算獲得的M不會太小，后續(xù)迭代時即使獲得帶寬較大時也不易獲得很小的M值，不會導致無法達到理想的重構效果，亦不會計算出很大的M值，避免造成不必要的運算過程。經(jīng)多次試驗發(fā)現(xiàn)，以N/10為限定最小值的參數(shù)不僅合理，還可以在保證較好重構效果的同時節(jié)省一定的運算時間。

在處理強噪聲信號時，奇異譜分解獲得的模態(tài)分量的頻譜可能會跨越期待的頻段邊界，產(chǎn)生能量泄漏，不僅影響后續(xù)提取過程，而且影響故障診斷效果。在此，通過仿真信號展示優(yōu)化奇異譜分解的優(yōu)勢。

s=sc+η，

(8)

sc=1.2[sin(50πt)+0.8sin(100πt)]·

sin(1 600πt)+sin(1 600πt)，

式中：sc為仿真信號，采樣頻率fs=4 096 Hz，采樣點數(shù)N=1 024；η為噪聲，信噪比為-8 dB，能量集中在800 Hz附近。

仿真信號sc、加噪信號s及其頻譜如圖2所示。由于信號中包含了強噪聲，從時域波形上無法分辨仿真信號的類型與特征；頻譜中800 Hz處峰值較大的頻段包含了sc中的絕大部分能量。優(yōu)化奇異譜分解的目的是提取該頻段能量并減少能量泄漏，使最終獲得的分量中包含更少的噪聲。

圖2 仿真信號、加噪信號及其頻譜

分別采用奇異譜分解與優(yōu)化奇異譜分解處理加噪信號s，結果如圖3所示，頻譜分割為9個頻段，藍色虛線為劃分的各頻段的邊界。迭代過程中各奇異譜分量(Singular Spectrum Component,SSC)的主峰頻率與M值見表1。

圖3 加噪信號的奇異譜分解處理結果

表1 奇異譜分解迭代過程中主峰頻率及其M值

分析圖3及表1可知：

1)在奇異譜分解中，SSC1，SSC3，SSC6和SSC7分量都包含一部分期待頻段之外的成分。其中，SSC1與SSC3分量都包含800 Hz附近的信息，SSC6分量在左邊界之外有嚴重的能量泄漏，這部分能量應當屬于SSC7分量，出現(xiàn)了模態(tài)混疊現(xiàn)象。這種頻段劃分方法雖然在劃分頻段時避免了模態(tài)混疊，但提取的分量卻出現(xiàn)了與理論頻帶不同的情況。同時，SSC1，SSC3，SSC6,SSC7分量對應的嵌入維數(shù)分別為6，4，3,4，較小的M值導致了不合適的重構分量。另外，SSC4和SSC9分量處于頻率較高的范圍，其頻譜幾乎都位于期待頻段內(nèi)，二者的嵌入維數(shù)均為341，由M=N/3計算獲得。

2)優(yōu)化奇異譜分解獲得的9個分量的能量均集中于期待頻段內(nèi)，幾乎沒有能量泄漏。迭代過程中的M值相對較大，且不存在相同的M值，基于(7)式獲得的M值不僅增加了構造矩陣的靈活性，也增強了矩陣與頻段內(nèi)信息的契合度，能量泄漏與模態(tài)混疊現(xiàn)象得到明顯抑制。優(yōu)化奇異譜分解采用了基于順序統(tǒng)計濾波器的頻譜分割法劃分頻譜來獲得主峰頻段[11]，避免了奇異譜分解可能出現(xiàn)預設頻段交叉的問題。

無論是奇異譜分解還是優(yōu)化奇異譜分解，800 Hz處的分量都作為第1個分量進行提取，2種方法所得SSC1分量的波形如圖4所示：奇異譜分解所得SCC1分量中的噪聲較大，難以發(fā)現(xiàn)原信號中的調(diào)制特征；優(yōu)化奇異譜分解所得SCC1分量中雖然也包含噪聲，但可以明顯看出與原信號相同的周期性波峰。為量化優(yōu)化奇異譜分解的優(yōu)勢，計算了2種方法所得SSC1分量的信噪比。奇異譜分解所得SCC1分量的信噪比從原始的-8 dB增至-1.903 dB，優(yōu)化奇異譜分解所得SCC1分量的信噪比則增至3.591 dB，說明優(yōu)化奇異譜分解在邊界確定的前提下可以提取出更精確的分量。

圖4 SSC1分量的時域波形

3 工程應用

采用美國凱斯西儲大學軸承數(shù)據(jù)中心的軸承外圈故障數(shù)據(jù)進行驗證。滾動軸承型號為SKF6203，電動機轉速為1 730 r/min，外圈滾道面上人為制造的故障直徑為0.534 mm，故障軸承和加速度傳感器位于風扇端，采樣頻率fs=12 kHz。經(jīng)計算，軸承外圈的故障特征頻率fe為88.02 Hz。原始信號數(shù)據(jù)長度為121 351，為更貼近在線監(jiān)測系統(tǒng)的應用，將該信號進行截斷，只取其中2 048個數(shù)據(jù)，截取后信號的時域波形及其頻譜、包絡譜如圖5所示。時域波形中無明顯周期性沖擊成分，包絡譜中只有外圈故障特征頻率，需進一步處理得到更準確的診斷結果。

圖5 外圈故障軸承振動信號的時域波形、頻譜與包絡譜

采用SSD和OSSD分別處理該信號，獲得的峭度指標最大的分量均為SSC7，即頻段為[2 121，3 182] Hz的分量。SSC7分量的時域波形、頻譜與包絡譜如圖6所示，由圖可知：

圖6 SSC7分量的時域波形、頻譜與包絡譜

1)SSD獲得SSC7分量迭代過程中的嵌入維數(shù)M=4。在時域中，難以發(fā)現(xiàn)類似軸承外圈故障的周期性沖擊成分；在頻譜中，不僅高頻部分存在模態(tài)混疊，2 000 Hz附近也存在能量泄漏現(xiàn)象，說明該分量中包含了大量噪聲，另外，逐次迭代提取分量時的模態(tài)混疊也對SSC7分量造成了很大的影響，帶走了處于該頻段內(nèi)的部分能量，導致該分量的幅值較低；在包絡譜中，沒有發(fā)現(xiàn)軸承外圈故障特征頻率及其諧波，難以判斷該軸承是否存在故障。

2)OSSD獲得SSC7分量迭代過程中的嵌入維數(shù)M=124。時域波形中出現(xiàn)了明顯的沖擊，相鄰沖擊的時間差Te與外圈故障特征頻率吻合，可初步判斷該軸承外圈可能存在故障；該分量的頻譜集中于期待頻段內(nèi)，幾乎沒有能量泄漏；在包絡譜中存在軸承外圈故障特征頻率及其2，3倍頻，可以判定該軸承外圈存在故障。

采用快速峭度圖處理外圈故障軸承振動信號，結果如圖7所示：信號分為4個等級共7層，峭度最大的頻段位于第4層左數(shù)第9個區(qū)域，其中心頻率fc=3 187 Hz，帶寬Bw=375 Hz，頻帶范圍[3 000,3 375] Hz。該分量的時域波形中有較明顯的周期性諧波，但并非沖擊樣式，包絡譜中只有外圈故障特征頻率的幅值較為突出，同時存在其他頻率成分的干擾，提取效果并不理想。

圖7 外圈故障軸承振動信號的快速峭度圖處理結果

綜上分析可知，優(yōu)化奇異譜分解方法能夠使重構分量的頻譜與劃分的頻段基本吻合，達到較高的分解質(zhì)量并抑制模態(tài)混疊和能量泄漏現(xiàn)象，提高強噪聲背景下滾動軸承故障信號的處理效果。

4 結束語

提出了一種優(yōu)化奇異譜分解方法，用于對強噪聲信號進行自適應分解，新的嵌入維數(shù)確定方法不僅提高了模態(tài)精確度，減少了分量的能量泄漏，也抑制了模態(tài)混疊現(xiàn)象。仿真和試驗信號的分析表明優(yōu)化奇異譜分解方法合理、可靠、高效，彌補了原始奇異譜分解方法的缺陷，能夠有效應用于滾動軸承的故障診斷。

優(yōu)化奇異譜分解方法適用于噪聲較強的滾動軸承振動信號處理，能夠得到較為清晰的故障特征信息，但奇異譜分解時仍需要進行大量的矩陣運算，如何優(yōu)化該算法的分解過程以適用于長數(shù)據(jù)的分析是下一步的研究方向。