軌道幾何動態慣性測量誤差評估方法

陳仕明 侯智雄 王昊 魏世斌 秦哲 程朝陽 李穎 趙延峰

1.中國鐵道科學研究院研究生部，北京 100081；2.中國鐵道科學研究院集團有限公司基礎設施檢測研究所，北京 100081

由于列車頻繁通過、道床變形、路基沉降等因素的綜合影響，鐵路軌道狀態逐漸惡化，因此，軌道幾何狀態的準確測量對行車安全具有重要意義。世界各國用來測量軌道不平順的方法可歸納為弦測法和慣性基準法兩大類，其中以加速度積分與位移相加法為代表的慣性基準法應用于多個國家的軌道檢查車，是軌道動態測量的主要手段［1］，相關學者對其進行了廣泛研究［2-4］。Weston 等［5-6］討論了采用安裝在構架上的陀螺儀進行軌道動態測量的可行性，指出該方法測量結果在高頻部分有一定衰減，在低速條件下比加速度計精度高。Heirich 等［7］嘗試在運營車上安裝MEMS（Micro Electromechanical System）慣性傳感器，通過慣性測量方法觀測軌道特征，并分析了慣性傳感器的動態特性。

慣性傳感器是動態測量的核心傳感器。受到零偏不穩定性等隨機噪聲、車輛振動和電磁干擾產生的高頻噪聲以及其他有害信號分量的影響，信號濾波的預處理方法對測量精度影響較大［8-9］。為達到系統實時性要求，杜建邦等［10］采用了一種降噪技術，通過使用自適應濾波來提高信噪比，具有較高的濾波精度。在此基礎上，Alam［11］等提出了使用可變帶寬的自適應濾波預處理技術。Bhardwaj 等[12-13]針對軌道測量應用場景，提出了一種基于FFT 的濾波器最佳截止頻率分析方法。由于在軌道檢測車上采用空間距離觸發采樣，Chia、Ward、魏世斌等［14-16］認為慣性傳感器的非均勻采樣會增加噪聲并降低采樣信噪比，需要選取特定截止頻率的低通有限脈沖響應（Finite Impulse Response，FIR）濾波器。

慣性傳感器的積分漂移是動態測量的主要誤差來源，因此傳感器隨機噪聲直接決定了長波不平順測量的準確性。而不同波長、傳感器噪聲系數、行車速度與測量精度的復雜對應關系仍缺乏有效討論，慣性傳感器選型和截止速度的設定均需要相關理論進行指導。本文從工程應用角度出發，討論兩類動態測量方法在不同行車速度和噪聲系數下的表現，提出動態測量信噪比，并對系統在理想條件下的測量準確性進行評估。

1 檢測算法

慣性基準法基于慣性測量原理，其基本原理已經發展成熟。傳統慣性基準法以加速度計為主要傳感器。隨著傳感器技術的發展，光學陀螺儀的精度和穩定性有了極大提升。慣性基準法目前有基于加速度和基于角速度兩類主要模式。

以測量高低不平順為例進行研究。如圖1 所示，將檢測系統結構簡化為一系懸掛系統。圖中：φ為軌道俯仰角，即軌道表面切線方向與大地基準線的夾角；φb為慣組（Inertial Measurement Unit，IMU）點頭角；az為軌面的法向加速度為高低不平順的測量值為軌面高低不平順Z關于時間t的2階微分為里程x關于時間t的2階微分；δV為激光攝像組件輸出位移。

圖1 慣性基準法示意

1）加速度測量法

慣性基準法主要利用垂向加速度計測量IMU 載體相對于大地基準的位移變化，用激光攝像組件測量檢測梁相對軌面的垂向位移。根據圖1 的幾何關系，高低不平順測量值的計算式為

實測數據表明，轉向架垂向加速度通常在10g以內。由于垂向加速度敏感值與波長的平方成反比，測量200 m 長波不平順時加速度往往低于10-3g，因此要求加速度計需要具備低帶寬下限、高線性度、低噪聲等特性。

2）角速度測量法

根據曲線積分原理，對軌道俯仰角φ進行空間域積分，可實現對高低不平順的測量。此時高低不平順測量值的計算式為

式中：s為距離；v為車速（檢測速度）。

由于檢測梁與軌面間存在相對振動，角度φ難以用傳感器直接觀測，一般用檢測梁的點頭角度φb近似作為軌道傾角φ。對角度進行空間域積分并與δV合成計算，可以完成對高低不平順的近似測量。

2 傳感器數據分析

選取綜合檢測列車在某無砟軌道區段的實測數據，對比車速350 km/h 條件下車體與構架垂向加速度功率譜密度（Power Spectral Density，PSD）曲線，見圖2。其中理論加速度為測量的軌道不平順遞推得到的理論敏感值。

圖2 垂向加速度功率譜密度曲線

從圖 2 可知：①PSD 曲線在 32 m 和 5 m 處有明顯峰值，分別是32 m 簡支梁動態撓曲變形和軌道板的變形所導致的典型特征周期性不平順。②對懸掛系統導致的動態響應衰減值進行對比，50 m 以內的高頻區段車體減振衰減為25 ～27 dB；構架加速度在5、32 m處與理論加速度基本一致，在40 ～100 m 區段有明顯衰減，最大約為7 dB。故最大衰減幅度為44%。

由于現有軌道檢測系統的慣性傳感器與構架固連，結合上述分析可知，構架加速度與理論敏感值之間有較好的對應關系。以此為基礎，可以進一步討論軌道檢測系統的理論誤差。

3 檢測系統誤差分析

3.1 慣性傳感器理論值

設定軌道高低不平順Z是幅值為A的正弦函數，其表達式為

式中：λ為軌道不平順波長。

若不考慮懸掛特性，認為慣性傳感器能夠直接反映軌道平順性變化。根據式（1），加速度測量法中加速度計測量理論值可表示為

假設測量系統的精度要求為1 mm，即A =1 mm，不同檢測速度和波長條件下傳感器敏感值見表1。可以看出：當檢測速度為50 km/h，軌道不平順波長為120 m 時，理論加速度為5.40×10-5g，角速度為2.18×10-3°/s；1#和3#分別對應傳感器理論敏感值最大值和最小值。慣性基準法要求加速度計動態范圍約為1.6×105，要求陀螺儀動態范圍約為3.2 × 104。從式（4）和式（5）中可以看出，加速度測量法受到檢測速度的影響較大。此外，若要求低速下（50 km/h）測量精度達到1 mm 以內，則加速度分辨率要高于5 × 10-5g，陀螺的分辨率要高于1 × 10-3°/s。

表1 不同檢測方法和波長條件下傳感器敏感值

3.2 隨機噪聲標定

陀螺儀、加速度計和其他傳感器的零偏都可以在初始校準期間歸零，但零偏會隨著時間產生漂移。這主要是由于溫度變化，也可能是因為電源電壓變化、環境因素或材料老化［15］。

目前評價陀螺儀性能的關鍵指標是零偏穩定性，即零偏平均值隨平均時間的變化，但可能會淹沒在角速率白噪聲或其他附加漂移中［10］。Allan 方差可以在時域上對頻域特性進行分析。采用該方法對陀螺儀輸出數據構成的一個樣本空間進行處理，能更準確地辨識出陀螺儀各項誤差的系數［8］。

對某型光纖陀螺儀，靜置IMU，連續采集4 ～5 h的數據并進行Allan 方差分析，繪制標準差對相關時間的雙對數曲線，見圖3。

圖3 陀螺儀Allan方差標定結果

根據Allan 方差定義，利用圖3 計算可知，該光纖陀螺儀的角度隨機游走標定參數為0.02°/h1/2，角速度隨機游走誤差標定參數為0.163 °/h3/2，零偏不穩定性為8.41×10-2°/h。采用同樣方法標定振梁加速度計，得到速度隨機游走標定參數為1.93× 10-3gm·s-1·h-1/2，零偏不穩定性參數為4.38×10-6g。Allan 方差計算得到的零偏不穩定性與廠家提供的零偏穩定性指標有對應關系，反映器件在極端理想條件下的性能極限，一般比后者低一個數量級。

光纖陀螺儀的零偏穩定性指標σ10s為1 °/h（10 s平滑）。實際情況下陀螺儀的輸出常常以白噪聲為主，在這種情況下，σ10s與白噪聲σN之間的關系近似為［11］

式中：T10s=10 s。

3.3 隨機噪聲模型

為分析傳感器噪聲系數對測量系統的影響，對傳感器噪聲進行建模。慣性傳感器的殘余誤差是影響測量精度的重要誤差源，主要包括加速度計、陀螺儀的零偏誤差與比例因子誤差。而在當前技術條件下，比例因子誤差等動態誤差相較于零偏為小誤差項，在加速度計的隨機噪聲建模中只考慮零偏誤差和速度隨機游走噪聲；光纖陀螺儀零偏不穩定性較小，在陀螺儀隨機噪聲建模中只考慮角度隨機游走和角速率隨機游走，即可大概反映噪聲的統計特性。

以陀螺儀為例，設定傳感器的隨機誤差為sm，表達式為［17］

式中：wN(t)為角度隨機游走噪聲；wK(t)為角速度隨機游走噪聲；b（t）為噪聲wK(t)的積分。

3.4 動態測量噪聲傳播模型

系統測量精度不僅受IMU 隨機噪聲影響，還受檢測速度和不平順波長的復合影響，因此須探究有效的評估手段。根據線性系統理論，一個寬平穩隨機信號輸入至線性時不變系統，其輸出信號也是平穩的。根據式（1）與式（2），動態測量系統為線性時不變系統，傳感器噪聲傳播也具備寬平穩特性，在此基礎上展開進一步分析。

采用式（7）的模型，對理想加速度或角速度數據進行加噪，并根據式（1）與式（2）計算測量結果。采用蒙特卡洛法，計算N次（N→∞）測量結果的誤差標準差，作為隨機噪聲經過測量系統后的積分漂移誤差。統計兩類慣性基準法的積分漂移誤差的標準差隨時間的變化。慣性基準測量法噪聲傳播模型見表2。其中，ε、σc均為常數。

表2 慣性基準測量法噪聲傳播模型

由表2 可知：信號在n次積分后的誤差標準差與時間t的n次方正比；加速度測量法的測量誤差主要與時間有關，角速度測量法不僅與時間有關，還與檢測速度正相關。

激光攝像組件的離散測量精度為0.1 mm，且不會隨著時間增長而增加，相較于IMU 的積分漂移誤差可忽略不計，并不是動態測量的主要誤差源。

為綜合分析兩類慣性基準法的測量精度，以測量信噪比（Signal‐Noise Ratio，SNR）為指標，即理論敏感值S與測量隨機噪聲N的比值，表達式為

式中：R為信噪比。

兩類慣性基準法的慣性傳感器敏感值由式（4）和式（5）給出，測量隨機噪聲參見表2。由于慣性傳感器噪聲以白噪聲為主，僅考慮角度隨機游走與速度隨機游走，則加速度測量法的測量信噪比Ra和角速度測量法的測量信噪比Rω的計算式分別為

式中：b=A(2π/λ)2；T為經過一個軌道不平順周期所需的時間，T=λ/v。

從式（9）中可知，慣性基準法的測量信噪比與速度和軌道不平順波長、幅值直接相關。

測量信噪比僅能在理想狀態下對于兩類慣性基準法的測量精度進行定性評價。由于列車一系、二系懸掛對振動響應的不同頻段會帶來不同程度的衰減，實際傳感器敏感值會更低。僅討論傳感器安裝于構架時，由于構架減振效果更弱，測量信噪比可用于對比在不同傳感器噪聲系數的條件下兩類慣性基準法測量精度的差異。

設定系統精度指標為1 mm，IMU 的隨機噪聲系數為Allan 方差標定值，考慮兩種工況：工況1 為加速度測量法的速度隨機游走取1.93×10-3gm·s-1·h-1/2；工況2為角速度測量法的角度隨機游走取0.02°/h1/2。根據式（9）計算不同檢測速度和波長下兩類方法的測量信噪比。為了對比，又計算了角速度測量法的角度隨機游走取0.01°/h1/2（工況3）下的測量信噪比。測量信噪比隨檢測速度和波長的變化曲線見圖4。

圖4 測量信噪比的變化曲線

由圖4 可知：①兩類慣性基準法的測量信噪比隨檢測速度降低而衰減（其中加速度測量法衰減得更為迅速），隨波長增加而緩慢降低。②加速度測量法同時受檢測速度與時間的影響，角速度測量法僅受時間的影響。③低速下，角速度測量法的精度更高；高速下，加速度測量法的精度更高。④工況1 和工況2 的測量信噪比在v= 85 km/h 處接近。⑤將陀螺儀的角度隨機游走噪聲指標從0.02 °/h1/2（工況2）提升至0.01 °/h1/（2工況3），角速度測量法的測量信噪比提升了約3 dB。

在實際應用中，檢測速度降至30 km/h 以內時，加速度測量法對于40 m 以內短波不平順的測量結果發生了明顯漂移。30 km/h 對應加速度測量法的測量信噪比為0 dB［參見圖4（a）］，則以0 dB 作為軌道不平順能否有效觀測的閾值，當前速度記為截止速度。對于角速度測量法，現有傳感器對應有效測量的截止速度約為5 km/h（工況2）；若將陀螺儀角度隨機游走噪聲提升至0.01°/h1/（2工況3），截止速度可降至0 附近，則角速度測量法可實現0 速測量，在地鐵等需頻繁停車的工況下有非常好的應用前景。

檢測系統截止速度隨波長的變化曲線見圖5。可知：①截止速度隨波長增加而增加。②角速度測量法的截止速度明顯低于加速度測量法。對于200 m 波長的軌道長波不平順，加速度測量法（工況1）、角速度測量法（工況2）的截止速度分別為75、65 km/h。將陀螺儀角度隨機游走噪聲提升至0.01°/h1/2（工況3），截止速度可降至40 km/h，測量精度提升較為明顯，更能滿足應用需求。根據式（6）可知，對應動態檢測系統的零偏穩定性指標為0.2°/h（10 s平滑）。

圖5 檢測系統截止速度與波長的關系

綜上，實現精度1 mm、波長200 m 的軌道不平順測量時，加速度測量法要求最低檢測速度為120 km/h；而對于角速度測量法，須將光纖陀螺儀的零偏穩定性指標提升至0.2°/h，要求最低檢測速度為40 km/h。

4 結論

慣性基準法有以加速度計為主的加速度測量法和以陀螺儀為主的角速度測量法兩類主要模式。本文針對軌道動態測量應用場景建立了一套空間相關性的動態測量誤差傳播評估方法，以高低不平順的測量為例，分析了傳感器噪聲系數、不平順波長、行車速度對測量結果的影響。主要結論如下

1）角速度測量法的信噪比與檢測速度無關，加速度測量法的信噪比與檢測速度正相關，二者均與軌道不平順波長負相關。

2）角速度測量法在低速下的測量信噪比更高，加速度測量法在高速下的測量信噪比更高；當行車速度為85 km/h時，二者的準確性達到平衡。

2）實現精度1 mm、波長200 m 的軌道不平順測量時，對于加速度測量法，最低檢測速度為120 km/h；對于角速度測量法，須將光纖陀螺儀的零偏穩定性指標提升至0.2°/h，最低檢測速度為40 km/h。