量子電池

張國鋒，朱昊，徐凱

（1.北京航空航天大學 物理學院，北京 100191；2.天津理工大學 理學院，天津 300384）

0 引言

電池是用來存儲能量的電化學裝置。如今，電池無處不在是各種儀器設備不可缺少的組成部分。電池的儲能能力從用于牽引大型汽車的500 kwh到植入醫療設備的100 mwh不等［1］。隨著這類設備的小型化，對電池小型化的要求也更加強烈。當組成電池的單元（電池元）接近原子、分子尺寸時，必須考慮量子力學效應［2-4］。同時量子力學系統的充能、放能問題與量子熱力學這一新興領域有著緊密聯系，對量子信息技術的發展和應用有著積極的作用［5］。

這一背景下，量子電池（quantum battery）的概念首先由 Alicki和 Fannes于 2013年提出［6］。其定義為：能夠臨時存儲能量并將能量從產生中心轉移到消耗中心的小型量子系統。隨后的文獻將量子電池進一步定義為：可以通過循環幺正操作可逆地儲存和提取能量、具有非簡并能級結構的有限維量子系統。上述定義中，量子電池是經典電池熱力學概念的量子拓展，不必涉及電化學方式（電能和化學能的轉化），尤其不以輸出電能（電壓和電流）為必要特征。為了表述方便，仍使用經典電池的一些術語，如充電（charge）和放電（discharge），但應作充能和放能理解。

近年對量子電池的研究已經取得很多進展，如對量子電池中的糾纏和其他量子關聯的研究［5-6］、對充電功率上限的討論［4，7］、量子速率極限時間的計算［8］，以及量子最優控制理論等工具的應用［9-11］。然而，這一蓬勃發展的領域還有很多需要解決的問題，如量子優勢的來源問題、如何充分利用量子資源以提高充電性能、如何提高能量存儲的穩定性等。

本文將在前兩部分簡要介紹量子電池的基本模型和性能參數（可提取能和充放電功率）。第三部分將結合三個物理模型討論量子電池的充電問題。最后將總結量子電池研究中存在的問題并展望研究前景。

1 充電模型與協議

類似經典電池，量子電池由三部分構成，即電池（battery），充電器（charger）和環境（environ?ment）。根據充電方式的不同，可將充電模型分為三類，即經典場充電（via classical field），腔場輔助充電（via cavity-assisted）和媒介充電（via charger-mediated）。首先介紹這三種充電模型及其充電協議：

1.1 經典場充電

經典場充電模型的哈密頓量為：H=Hb+λtV(t)，其中Hb是電池的自由哈密頓量，V(t)為經典場作用。電池幺正演化，能量由經典場進入電池并被儲存下來。

為實現充電和放電，約定如下電池協議，另外兩種與此等效的協議見Ferraro等人的工作［12］。這些協議可以在冷原子平臺上實現，是實驗可行的。

（i）在t=0時刻打開相互作用，λ0+=1并在0

（ii）在 τc時刻關閉相互作用，即=0并在 τc

（iii）τc+τs

1.2 腔場輔助充電

腔場輔助充電需要考慮系統與充電器的共同幺正演化，哈密頓量為：

其中，Hb，Hc分別為電池與充電器的自由哈密頓量，V(t)為電池與充電器的相互作用。

這一模型中，初始時刻充電器能量較高而電池能量較低，充電過程是能量從充電器轉移到電池的過程（如圖1（a）所示）。充電協議與上文經典場充電協議相同。

1.3 媒介充電

媒介充電的哈密頓量與腔場輔助充電的哈密頓量相同（見（1）式），但這一模型需要考慮環境的影響且并不要求在初始時刻充電器具有較高能量。在媒介充電的過程中，能量從經典場或環境轉移到電池，充電器只起到媒介作用［13-14］（如圖 1（b）所示）。由于環境的影響，媒介充電中電池和充電器的共同演化也不必是幺正的。

圖1 兩種充電模型（a）直接充電（b）媒介充電（B表示電池，A表示充電器，E表示環境）Fig.1 Two schemes of charging model:(a)Direct charging model,(b)Charger-mediated charging model(B:Battery,A:Charger,E:Environment)

媒介充電的充電協議也與上文經典場充電協議相同，但在第（i）階段，能量由環境（如熱場或驅動場）進入充電器，并同時借助充電器與電池的相互作用進入電池。這種充電方式相當于將電池與環境隔離開來，可以進一步減小電池能量的耗散。

2 性能參數

上述充、放電協議構成的量子熱力學循環實現了量子電池的基本功能。類似經典電池，值得關注的性能參數包括：量子電池最多可以容納多少能量（能容，capacity）、充入的能量中最多有多少可以被提取出來（可提取能，ergot?ropy）、充入能量的速率（充電功率，charging power）和對外輸出能量的速率（放電功率，dis?charging power）。本節對后三者進行較為詳細的介紹。

2.1 可提取能（Ergotropy）

首先定義理想放電過程：這一過程中，電池與外界不發生熱接觸，電池的哈密頓量為H(t)=H0+V(t)，H0是電池的自由哈密頓量。在放電末態，V(t)連續地變為0以結束放電，電池的演化是幺正的。通過選擇不同的V(t)，電池放出能量的大小也不同。可提取能（ergot?ropy）就是理想放電過程所能放出的最大能量。需要特別指出的是，可提取能不是充放電協議（iii）過程中電池真實放出的能量，而只是通過假想的理想放電過程可以放出的最大能量，用以衡量電池某一狀態下的儲能大小［6］。若電池處于ρb，其可提取能的數學表達為：

2.2 關于可提取能的一些性質

由于可提取能是針對有限維量子力學系統專門提出的重要儲能參數，這一小節專門總結了其不依賴模型的性質。

性質一：可提取能不大于熱力學定律給出的電池對外可做的最大功。

在考慮熱力學定律時，一般將絕熱演化到Gibbs態過程中對外做的功理解為可以提取的最大能量。可以證明［15］，有限維量子體系不是所有的態都能幺正地演化到Gibbs態，因此可提取能不大于熱力學定律給出的最大功（見圖2）；兩者的差距會隨著系統維數增加而減小；可幺正地演化為Gibbs態的初態，可提取能與熱力學定律給出的最大功相同，Wth=W=0。

圖2 通過幺正變化達到的最低能量（藍色）和Gibbs態的能量（紅色）的關系Fig.2 The relationship between the allowed lowest energy（blue）and thermodynamic bound（red）

性質二：電池與充電器的量子糾纏會降低電池中的可提取能［16］。

這里只用如下的簡單情況加以說明：若電池處于純態，其密度矩陣只有一個非0本征值，不妨再設ε1=0為參考能量，則（5）式第二項為0，可提取能為W=Tr{ρbH0}。而當電池處于混態時，第二項可能不為0（若基態簡并數小于約化密度矩陣非零本征值個數，則第二項必大于零），相應的可提取能會小于純態情況。因此，若電池與充電器之間的糾纏使電池成為混態，則可提取能會減小。

性質三：電池元越多，可提取能在總的充入電池能量中的占比越高。

不妨設初始時刻t=0電池的能量為0，定義可提取能在充入電池的總能量中的占比為：

其中 E(τ)=Tr{ρb(τ)H0}。對于一些具體的電池模型計算該占比可以發現［16］，占比的最大值Rm=maxR(τ)將隨著電池中的粒子數個數（即電池元個數）的增加趨向于1。可以證明［16］這一現象并不依賴于充電的初始狀態和模型的選擇。

對這一性質可以作如下解釋：E(τ)為廣延量，會隨著電池元個數增加而增加，而W(τ)?E(τ)與糾纏熵有關（利用性質二可以看出），遵循糾纏熵的面積率，因此R(τ)?1會隨著電池元個數增加趨向于0。

2.3 充電功率與放電功率

充電功率是衡量充電性能的重要參數。充電功率有時被定義為充入電池能量的功率，但更多的文獻定義為可提取能的充入功率：

其中W(τ)為τ時刻的可提取能。充電速率最大值 Pb=maxP(τ)=P(τc)反映充電性能的好壞。類似地，可以定義放電功率，用放電功率的最大值來衡量放電性能。

3 量子電池的實現

3.1 Dicke電池

最簡單的量子電池考慮的是腔場與二能級系統（two level system，TLS）的相互作用［12］，即所謂的Rabi電池和Dicke電池。固態Dicke電池可以通過超導量子位元或納米制備半導體量子點來實現，具有較好的實驗基礎。

Rabi電池如圖 3（a）所示，其中每個TLS作為一個電池元，能夠儲存的能量為E(1)，充電功率為P(1)，則n個TLS和各自獨立的光場構成的陣列所能儲存的能量為E(n)=nE(1)，充電功率為P(n)=nP(1)。每個TLS與其光場的相互作用可以用Rabi模型來描寫。

Dicke電池如圖3（b）所示，n個無相互作用TLS與同一個單模光場耦合，通過光場對電池元施加全局操作以期能獲得更好的充電性能。該模型的哈密頓量為：

圖3 （a）Rabi電池（b）Dicke電池Fig.3 (a)Rabi quantum batteries,(b)ADicke quantum battery

計算發現［12］，Dicke電池所能充入的最大能量正比于電池元個數，即E∝n，而其最大充電功率有P∝n3/2。這一結論不依賴于耦合強度λt。對比Rabi電池E∝n，P∝n，Dicke電池在充電功率上具有明顯優勢，但Rossini等人指出［17］，這一優勢的來源是將系統經典地耦合到同一光場中而不涉及量子資源（如相干和糾纏）的利用。

分別考慮TLS和光場弱耦合和強耦合下量子電池的性能：弱耦合時，Rabi模型可以近似為J-C模型，充電過程表現出Rabi震蕩，若τs=τd，則可以保證電池在放電結束時恰好回到充電初態。而Dicke電池可恢復性會較弱，放電結束后不易回到初始態，且放電末態與充電初態的差距會隨耦合強度λt以及TLS數目n的增加而增大。

3.2 自旋鏈電池

量子電池另一種典型的物理模型是自旋鏈模型。這一模型考慮了電池元之間的相互作用對充電性能的影響。記電池元的個數為n，電池元之間的相互作用為k體相互作用，每個電池元參與m個相互作用。可以發現電池的充電功率與n、k和m有著緊密聯系［18］。

自旋鏈電池的哈密頓量為：

圖4 多體自旋鏈量子電池，其中（a）只考慮最緊鄰相互作用；（b）考慮長程作用；（c）考慮均勻作用Fig.4 Spin-chain model with(a)nearest neighbor interactions;(b)long-range interactions;(c)uniform interactions

考慮自旋相互作用哈密頓量的對稱性對充電功率的影響，可以發現，各向同性的XXX海森堡模型下，有無子系統間相互作用，充電功率完全相同。因此在選擇自旋鏈實現量子電池時要尤其注意破環平移或旋轉對稱性從而提高充電功率。

關于自旋鏈電池對充電功率提高的原因是經典的還是量子的這一問題，Le等［18］考慮了p=0模型與經典（classical）自旋鏈模型［19］的對比，結果發現子系統之間的量子關聯對最大充入能量和充電功率并沒有貢獻。這一結論表明自旋鏈電池對充電功率的提高，僅來源于子系統間相互作用能的存在。這一結果也印證了Campaioli等［4］的結論：量子關聯不一定對多體量子電池充電性能有促進作用。

3.3 Sachdev-Ye-Kitaev電池

上述兩個模型中，電池充電的功率都可以具有O(n1+k)或O(nlogn)的形式（n為電池元的個數，k>0），優于獨立電池元獨立外場電池的充電性能。但很多工作表明［4，18］，這些充電功率優勢的來源是經典的而非量子的。為此Julià-Farré等人給出了量子電池量子優勢的判斷方法［20］，并給出了量子電池充電功率上界的表達：

圖5 由n個自旋1/2的單位組成的Sachdev-Ye-Kitaev電池充電協議Fig.5 The charging protocol of a QB made of n spin-1/2 units

4 討論

量子電池是在考慮經典電池小型化時提出的。其量子優勢最初被認為是通過全局操作可以實現充電功率增加超過電池元數目的增加這一優勢，即P∝n1+k且k>0（如Dicke電池的最大充電功率P∝n3/2等）。然而此后很多工作表明，這些充電功率優勢的來源很多是經典的而非量子的，不涉及量子相干和量子糾纏等量子資源。Julià-Farré等人給出了一個判斷充電功率的增加來源于經典還是量子的方法。Rossini等人基于此提出了利用量子資源提高充電功率的Sachdev-Ye-Kitaev量子電池。關于量子電池對量子資源利用的判斷方法以及如何更多地利用量子資源以提高充電性能仍有待進一步研究，且具有重要意義。與之相關的另一個重要問題是充放電功率和能容的理論上限，相關的進展包括Julià-Farré在研究量子資源利用過程中提出的充電功率上限表達與Pirmoradian等人對特定條件下給出的上界［21］。

關于量子電池的實現，本文介紹的三個模型都考慮電池向環境的耗散小，近似看作封閉系統。也有部分文獻考慮了開放系統中的演化行為［13-14］，如媒介充電就試圖利用開放系統的演化實現充電放電過程，本文出于篇幅原因未涉及。但值得指出的是，系統與環境相互作用引起的退相干、能量耗散不可避免，這很大程度上決定了電池的儲能穩定性和充放電效率，具有很大研究價值。

總得來說，對量子電池研究一方面包括如何判斷造成充電功率提高的原因是量子還是經典、如何利用量子資源最大程度地提高充電功率以及其上限問題，另一方面也包括如何利用量子光學控制等方法抵消環境的影響，增強能量儲存的穩定性［22］。這些對量子熱力學的發展以及量子電池的實驗室實現和應用都具有重要意義。