基于實測應變的鐵路貨車載荷反求研究

鐘英凱，李曉峰，趙尚超

（1.大連交通大學 機車車輛工程學院，遼寧 大連 116028；2.齊齊哈爾軌道交通裝備有限責任公司，黑龍江 齊齊哈爾 161002）

0 引言

隨著科技的不斷創新與發展，對于目前鐵道車輛的設計要求也逐漸精細化，為了對設計結構做出更加準確的評估判斷，設計人員需要獲得更為準確的載荷。對于工程結構運用的載荷歷程的獲取，通常是測量載荷在結構上產生的應變響應反求而得到的。

在結構動力學中，載荷反求屬于結構動力學中的第二類反問題。反問題不論從解決角度還是解決難度上，都比正問題更加復雜[1，2]。而導致載荷反求解決關鍵難題在于必須對載荷應變響應的傳遞矩陣進行解耦求逆運算。這個過程由于測量載荷應變響應存在誤差，導致傳遞矩陣具有嚴重的病態特性，影響矩陣解耦的準確性。對于病態矩陣的處理以正則化方法為主，如L1正則化，L2正則化等等。

本文提出了一種新的載荷反求解耦思路，以鐵道貨車搖枕為測量對象，在貼片位置的選擇D-Optimal原則[3]為基礎，載荷反求過程采用多目標規劃的解耦方法，解驗證鐵路貨車搖枕載荷反求的準確性。

1 載荷識別方法基本原理

對于結構的載荷識別問題，目前應用最廣泛的是影響系數法[4]，影響系數法基于以下假設[5]：

（1）線性假設：假設載荷與結構響應的變化規律成線性的，滿足線性規律疊加原理。

（2）時不變假設：假設結構的動態特性不隨時間而發生變化。

（3）可觀測性假設：所需要的動態特性數據都是可測量的。

（4）互易性假設：結構應該遵從Maxwell互易性原理。

影響系數法生成的線性矩陣方程可以用如下關系式表示[6]：

式中，εg×1表示未知載荷工況下的應變分布，Fn×1表示未知載荷工況下的載荷分布，Ag×m表示影響系數矩陣，Pn×m表示單位載荷矩陣，βm×1表示線性系數，g表示應變測點數量，m表示單位載荷工況數量，n表示載荷加載點數量。

對（1）（2）進行整理得到一個關于載荷與應變之間的方程：

[K]矩陣受應變分布和載荷分布的影響，定義為載荷與應變之間傳遞矩陣，可以通過物理試驗實際測量或者有限元仿真分析獲取。

式（3）存在解耦難題，即已知應變ε和推導出傳遞矩陣[K]后求解F時，因應變ε存在識別誤差，必定導致求解的載荷F不準確。本文從以下兩個方面對公式（3）解耦改進：（1）對傳遞矩陣選取進行設計；（2）改進解耦方法，通過建立數學模型的多目標規劃的方法求解式（3）。

2 搖枕載荷反求方案

基于本文提出的改進方法，設計搖枕載荷加載反求試驗，研究驗證方法的可靠性。過程按照如圖1流程進行。

圖1 工程問題載荷反求常規流程

該流程第一個問題是如何合理選取應變測點數量和位置，應變測點數量和位置的選取將直接決定傳遞矩陣[K]。本研究先建立有限元模型，采用True-load軟件的D-Optimal原則尋找貼片位置分布應變片。此方法已在文獻[7]詳細敘述。

該流程第二個問題是由于測量誤差不可避免的分布在應變測量中，需要引入有效的方法來求解線性矩陣方程（式3），本文提出多目標規劃法反求，建立如下數學模型：

該模型中，εgi代表應變分布矩陣第i行的行列式；Kgi×n代表傳遞矩陣第i行的行列式；目標函數fi（x）表示實測數據與理論數據之間的誤差率；e代表測量誤差；約束函數hi（x）表示限制目標函數誤差率在測量誤差范圍內。

測試誤差e要基于測試條件設定。對于不同的測試構件，測試誤差e也不同。測試誤差e的設定要大于實際測量中所出現的最大誤差，才能保證真實載荷包含在解集內。測試誤差e的確定可以通過預實驗得到的實測值與計算得到的理論值對比，從而得到合適的測試誤差e。

此問題數學模型的解集設定為所有滿足約束條件的整數解或更高精度的小數解。該解集為一個非劣解——Pareto解集。為此Pareto解集引入一組最接近Pareto最優域的解，本研究采用對所有有效解求均值的方法來得到該模型的唯一解。

3 算法比較

本節針對最小二乘法，Tikhonov正則化以及本文提出的多目標規劃等三種方法求解常規模型的精度進行驗證分析。以方程K F=ε進行驗證，現假設：

對ε施加微小擾動δ=[1-3 2]T。真實值ε變成ε*=ε+δ=[27 25 333]T。此時數據的誤差率見表1。

表1 算例數據誤差率

分別應用最小二乘算法，Tikhonov正則化[8]算法及多目標規劃法反求在該微小擾動下的F，結果見表2。

表2 不同算法計算結果比較

由表2可知：當多目標規劃求解在測量誤差設置為15%的時候的數據準確性最高。通過該算例驗證了該方法的可靠性。

4 搖枕實測數據分析

基于ZK-1型轉向架搖枕作為研究對象，進行的載荷反求的試驗和研究。來驗證該算法對于鐵路貨車結構計算結果的準確性。

首先建立搖枕的有限元模型，再采用以Tie綁定連接圓心和表面節點的約束施加方法限制6個自由度，并對圓心按照簡支梁的方式加以約束[9]。建模為實體建模，單元類型以四面體為主。

圖2 搖枕有限元模型

建模完成后單元的有限元個數為525152個，節點數為131512個。設計試驗工況為三個單力組合工況：A側旁承、B側旁承、C心盤同時加載1kN的載荷。

有限元模型處理完畢，將計算結果導入Trueload軟件，依據D-Optimal原則進行最佳貼片位置計算，對于Ture-Load軟件計算該模型貼片位置的可靠度，已在文獻[7]中驗證完畢，故采用此方法進行貼片位置的處理計算。

設置貼片應變片數量為7個，求得貼片數量位置如下：A1、A2位于A端旁承下筋板的兩側，A3位于B端同樣的位置，A4位于心盤下筋板近A一側，A5位于A側旁承端，A6位于B側旁承端，A7位于中央開孔周圍。測點具體位置如圖3和圖4所示，測量的數據為每個測點下的方向應變。

圖3 計算優化最佳貼片位置

圖4 計算優化最佳貼片位置

在ZK-1型轉向架搖枕結構按照上述貼片位置進行試驗，本次試驗采用對同一工況相同測點位置實施多次不同強度的加載，目的是為了確保測量數據準確性，排除單次測量誤差的干擾。每次加載的應變數據記錄見表3。

表3 搖枕貼片應變實測數據

基于表3搖枕貼片應變實測數據，通過最小二乘法擬合，可以發現測點方向應變與所得應力之間有明顯的線性關系，在這里列出A側旁承的擬合圖像，如圖5所示。

圖5 A側旁承各貼片位置加載擬合情況

對B側旁承與心盤測點數據進行同樣最小二乘法擬合。分析處理不合理數據，保留其他合理數據，如A5、A6、A7測點在B旁承加載序號4、5數據存在明顯測量誤差，不滿足線性關系。在計算時應該舍棄錯誤的測點。通過每個測點的數據擬合，即可得到在該貼片位置分布下的傳遞矩陣。求得數據見表4。

表4 傳遞矩陣系數

基于加載單工況數據得到的傳遞矩陣系數，來驗證當多工況時，使用多目標規劃法載荷反求的準確性。表5是當多工況加載時的測量數據與理論準確數據及它們的誤差值。

表5 多工況實測數據及理論數據對比

在應用多目標規劃法反求該模型時，首先應確定針對該模型最合適的測試誤差e。以表5中的試驗數據1作為預實驗數據，得到在該測試基礎下的最大側點A4的誤差率為24.7%，測試誤差e的設置應大于此值，故在該模型中考慮的測試誤差e取25%來進行求解。每組試驗數據在求得所有有效解后均值處理，得到該試驗結果最優解，對所有結果進行反求，得到的反求數據記錄于表6，將不同試驗下的實測數據與理論數據對比得到圖6至圖10共5組對比數據圖。

表6 多工況實測數據及理論數據對比

圖6 試驗數據1實測及理論數據對比

圖7 試驗數據2實測及理論數據對比

圖8 試驗數據3實測及理論數據對比

圖9 試驗數據4實測及理論數據對比

通過表6數據及圖6至圖10可知，基于本次研究設計的轉向架搖枕模型貼片方案，在應用多目標規劃方法所求載荷的反求結果與試驗結果數據趨勢相同，計算數據可信度高，誤差均在可接受范圍內。

圖10 試驗數據5實測及理論數據對比

5 結語

以鐵路貨車搖枕為研究對象，應用多目標規劃方法載荷反求，在數學模型下通過設定合理的測量誤差e，最終計算得到與實際加載相近的載荷值，驗證了該方法的合理性，得到如下結論：

（1）在誤差波動大于20%的情況下，該方法對關鍵載荷的計算可靠度高，驗證了該算法在計算高誤差測量數據的關鍵加載情況下具有較高的可靠度。

（2）此方法對于測量誤差e的選取較敏感，測量誤差e應依據不同的測試情況不同設定。

（3）該方法的適用范圍只能在線性結構中，并且對于微小載荷的識別不明顯。